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6) Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
f(x) =
f’(x) =
g(x) =
g’(x) =
h(x) =
h’(x) =
Ex 20 à 33 p.80
7) Dérivée et sens de variation
Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Si f’(x) est strictement positive sur I sauf pour un nombre fini de points où elle s’annule,
alors la fonction f est strictement croissante sur I.
Si f’(x) est strictement négative sur I sauf pour un nombre fini de points où elle s’annule,
alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
Si f’(x) est nulle sur I, f’(x) < 0, alors la fonction f est constante sur I.
Ce théorème permet d’obtenir le tableau de variations d’une fonction et de lire les
extremums, s’ils existent : si la dérivée s’annule en changeant de signe, la fonction f admet
un extremum.
Exemple :
Etudier le sens de variation de la fonction f(x) = x2 ( 2 – x )3.
( f’(x) = x (2 – x )( 4 – 5x ) )
Ex 37-38 p.80
Ex 40 à 49 p.81
Ex 77-78-79 p.85
Ex 101-102 p.92
III. Convexité et inflexion
1) Convexité
Définitions :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et Cf sa courbe représentative sur I.
Si pour tous points A et B de I, le segment [AB] est au-dessus de Cf, alors on dit que
la fonction f est convexe sur l’intervalle [AB].
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et Cf sa courbe représentative sur I.
Si pour tous points A et B de I, le segment [AB] est en-dessous de Cf, alors on dit
que la fonction f est concave sur l’intervalle [AB].