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I.
Continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère donné.
1) Notion intuitive de continuité
Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est définie sur cet intervalle et si sa
courbe se trace d’un « trait continu », sans lever le crayon.
Exemples :
f(x) =
x
1
x
fonction partie entière : h(x) = E(x)
g(x) =
Ex 6 à 12 p.79
Ex 73 p.84
2) Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème :
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b ], et si k est un réel quelconque situé
entre f(a) et f(b) ( ces deux valeurs comprises), alors l’équation f(x) = k admet au moins une
solution sur l’intervalle [ a ; b ].
Cas particulier :
Si f est continue sur [a ; b] et que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors l’équation f(x) =
0 admet au moins une solution sur [a ; b].
Théorème :
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b ], et si k est
un réel quelconque situé entre f(a) et f(b) ( ces deux valeurs comprises), alors l’équation f(x)
= k admet une unique solution sur l’intervalle [ a ; b ].
Ex 50 à 58 p.82
Ex 81-82 p.86
II. Dérivation
1) Nombre dérivé
f( a  h)  f( a)
admet une limite finie quand h tend vers 0, alors la fonction f
h
est dérivable en a.
Si le quotient
La limite de ce quotient est le nombre dérivé de f en a.
f( a  h)  f( a)
On le note f’(a) et f’(a) = lim
.
h0
h
1
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2) Tangente en A
Soit A le point d’abscisse a de Cf .
La droite T passant par A, de coefficient directeur f’(a), est la tangente en A à la courbe Cf.
Son équation réduite est : y = f’(a) ( x – a ) + f(a).
Ex 36-34-35-39 p.80
Ex 74-75-76 p.84
3) Fonction dérivée
Si f est une fonction définie sur un intervalle I telle que :
pour tout x de I le nombre dérivé de f en x existe alors f est dérivable sur I et la fonction
dérivée de f est la fonction f’ qui, à tout réel x de I associe f’(x).
f’ : x  f’(x)
La définition du nombre dérivé permet le calcul ponctuel d’un nombre dérivé ou permet de
démontrer qu’une fonction est dérivable en une valeur.
La plupart du temps, on applique les règles de calcul ci-dessous :
4) Dérivées de fonctions usuelles
Fonction f
Fonction dérivée f’
f(x) = k ( constante )
f(x) = x
f(x) = x n (n  2 )
1
f(x) =
x
1
f(x) = n
x
f’(x) = 0
f’(x) = 1
f’(x) = nxn-1
1
f’(x) =  2
x
n
f’(x) =  n 1
x
1
f’(x) =
2 x
f(x) =
x
Ensemble de
dérivabilité
Ë
Ë
Ë
Ë*
Ë*
Ë+*
Ex 13 à 19 p.79-80
5) Règles de dérivation
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel ; les formules suivantes
permettent de déterminer la dérivée d’une fonction f obtenue par opérations.
Fonction f
Fonction dérivée f’
Somme
Produit
f=u+v
f’ = u’ + v’
f=ku
f’ = k u’
f=uv
f’ = u’ v + v’ u
1
v
u
f=
v
 v'
v2
u'v  v'u
f’ =
v2
f=
Quotient
f’ =
2
v(x)  0
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6) Exemples
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
3
x 3  3x  2
f(x) =
f’(x) = (x 2  1)
4
4
2
2x  x  8
x2  4
g(x) =
g’(x)
=
( x 2  4) 2
x2  4
1
4
1 8
h(x) =  2
h’(x) = 2  3
x x
x
x
Ex 20 à 33 p.80
7) Dérivée et sens de variation
Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
 Si f’(x) est strictement positive sur I sauf pour un nombre fini de points où elle s’annule,
alors la fonction f est strictement croissante sur I.
 Si f’(x) est strictement négative sur I sauf pour un nombre fini de points où elle s’annule,
alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
 Si f’(x) est nulle sur I, f’(x) < 0, alors la fonction f est constante sur I.
Ce théorème permet d’obtenir le tableau de variations d’une fonction et de lire les
extremums, s’ils existent : si la dérivée s’annule en changeant de signe, la fonction f admet
un extremum.
Exemple :
Etudier le sens de variation de la fonction f(x) = x2 ( 2 – x )3.
( f’(x) = x (2 – x )( 4 – 5x ) )
Ex
Ex
Ex
Ex
37-38 p.80
40 à 49 p.81
77-78-79 p.85
101-102 p.92
III. Convexité et inflexion
1) Convexité
Définitions :
 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et Cf sa courbe représentative sur I.
Si pour tous points A et B de I, le segment [AB] est au-dessus de Cf, alors on dit que
la fonction f est convexe sur l’intervalle [AB].
 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et Cf sa courbe représentative sur I.
Si pour tous points A et B de I, le segment [AB] est en-dessous de Cf, alors on dit
que la fonction f est concave sur l’intervalle [AB].
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Conséquences :
 Une fonction est convexe sur I lorsque sa courbe Cf est située entièrement audessus de chacune de ses tangentes.
 Une fonction est concave sur I lorsque sa courbe Cf est située entièrement endessous de chacune de ses tangentes.
Exemples :
La fonction carré est convexe sur Ë.
La fonction inverse est convexe sur ] 0 : +∞ [, concave sur ] –∞ ; 0[.
La fonction racine carrée est concave sur ] 0 ; +∞ [.
Ex 60-61 p.83
Ex 80 p.85
Propriété :
Soit f définie et continue sur un intervalle I.
 f est convexe sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I,
 a  b  f( a)  f(b)
.
f

2
 2 
 f est concave sur I si et seulement si pour tous réels a et b de I,
 a  b  f( a)  f(b)
.
f

2
 2 
Ex 67-68 p.83
Théorème :
 Une fonction f est convexe sur un intervalle I si et seulement si la dérivée f’ est
croissante.
 Une fonction f est concave sur un intervalle I si et seulement si la dérivée f’ est
décroissante.
Ex 63-63 p.83
Conséquence :
On note f’’ la dérivée seconde de f ( la dérivée de la dérivée de f’ ).
 Si la dérivée seconde f’’ est positive sur I, alors la fonction f est convexe sur I.
 Si la dérivée seconde f’’ est négative sur I, alors la fonction f est concave sur I.
Ex 65-66-69-70-72 p.83
2) Point d’inflexion
Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa représentation graphique .
S’il existe un pt A de la courbe Cf tel que la tangente à la courbe en A traverse la courbe en
A, alors on dit que ce point est un point d’infléxion.
Exemples :
La fonction cube admet comme point d’inflexion l’origine du repère.
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Ex 61-62 p.83
Conséquence :
En un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente ; cela signifie que la fonction change
de convexité, ce qui se traduit par un changement de signe de la dérivée seconde.
Propriété :
La courbe d’une fonction admet un ppt d’inflexion là où sa dérivée seconde s’annule en
changeant de signe.
Ex : f(x) = -x3 + 3x2, le point I(1 ; 2) est un point d’inflexion pour sa courbe représentative.
Ex 84-85 p.86
Ex 100 p.92
Pb 103- … p.93 à 95
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