Cours

Arithmétique
Le mot vient du grec « arithmos » = nombre. En effet, l’arithmétique est la science des nombres.
Citons la célèbre conjecture de Goldbach énoncée en 1742 et à ce jour jamais démontrée :
« Tout nombre entier pair est la somme de deux nombres premiers »
Activités 1 et 2 p20
1) Diviseur d’un entier naturel
Définition :
Pour deux nombres entiers naturels a et b non nuls :
D est un diviseur de a si il existe un entier k tel que a = d * k, (k étant non nul) il est aussi un diviseur de a
Remarques :
Quelque soit le nombre entier naturel n, nous avons 1 * n = n
Donc 1 est un diviseur de tout nombre entier naturel.
Et tout nombre naturel est un diviseur de lui-même
Exemple :
Comme 6 = 1 * 6
1 et 6 sont des diviseurs de 6
Vocabulaire :
 2 est un diviseur de 6
 6 a pour diviseur 2
 6 est divisible par 2 Activité 4 p21
2) Diviseurs communs et PGCD
Définition :
Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b, est un entier naturel qui divise à la fois a et b
Exemple :
Diviseur de 12 : 1 2 3 4 6 12
Diviseur de 42 : 1 2 3 6 7 14 21 42
Diviseurs communs à 12 et 42 sont 1 2 3 et 6
Définition :
Soit a et b deux entiers naturels, le plus grand entier qui divise à la fois a et b est appelé le Plus Grand Commun
Diviseur de a et b, il est noté PGCD (a ; b)
Exemple :
PGCD( 12 ; 42) = 6
Propriété :
La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier.
Exemples :
 Prenons deux multiples de 3 : 12 et 21
21 + 12 = 33 = 3 * 11
21 – 12 = 9 = 3 * 3
 Prenons deux multiples de 8 : 16 et 32
16 + 32 = 48 = 8 * 6
32 – 16 = 16 = 8 * 2

Propriétés :
Soit a et b deux nombres entiers positifs :
PGCD (a ;a) = a
Pour a >b, PGCD (a;b) = PGCD (a-b;b)
Si a est un diviseur de b, PGCD (a;b) = b
Exemple :
PGCD (31 ;31) = 31
PGCD (25 ;3) = PGCD (25-3 ;3) = PGCD (22 ; 3)
PGCD (7 ;42) = 7
3) Méthode de calcul du PGCD
Soustractions successives :
 On prend les deux nombres et on soustrait le plus grand par le plus petit
 On prend les deux plus petit et on recommence
 On s’arrête lorsqu’on obtient deux nombres égaux.
Par l’algorithme d’Euclide :
Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi (IXème siècle).
Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent toujours de la même façon.
 (pour a> b) On fait la division euclidienne de a par b. On obtient le reste r.
 Si r = 0 alors le PGCD est b
 Si r 0 alors on fait la division de b par r
o On continue de même jusqu’à obtenir un reste nul.
o Le PGCD est alors le dernier reste non nul.
Exemple :
PGCD(261 ; 203) = 29
4) Nombres premiers entre eux
Définition :
Deux nombres entier positifs sont premiers entre eux lorsque leur diviseur commun est 1, c’est à dire lorsque
leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
Donc PGCD (12 ;35) = 1 donc 12 et 35 sont premiers entre eux.
5) Fraction irréductible
Définition :
Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, la fraction est dite irréductible
(on ne peut pas la réduire, c’est à dire la simplifier).
Exemple :
13 et 18 sont premiers entre eux, donc la fraction 13/18 est irréductible.
Propriété :
En simplifiant une fraction
b
a
=
);( );( baPGCDb baPGCDa
, on obtient une fraction irréductible.
Exemple :
PGCD (42 ;28) = 14, la fraction 42/28 peut se simplifier par 14 :
42/28 = (42/PGCD(42 ;28)) / (28/PGCD(42 ;28)) = 3/2 et 3/2 est irréductible