Méc_Chapitre2_ETE_2010

Hiver 2010
CHAPITRE 2 – LES VECTEURS
Professeur : Josianne Béchard
Sujets du cours : 203 NYA 05
Toutes les représentations des présentes notes
de cours sont tirées (ou inspirées) du livre de
Harris Benson Physique 1 : Mécanique
Chapitre 2 : Les vecteurs
Être capable :
- de définir et de représenter par symbole ou par graphique une quantité vectorielle ;
- de faire la différence entre quantité scalaire et quantité vectorielle ;
- de transformer l'expression d'un vecteur de la forme polaire à la forme cartésienne et
inversement ;
- d'additionner et de soustraire les vecteurs par la méthode graphique et analytique;
- de multiplier un vecteur par un scalaire ;
- de décomposer un vecteur suivant un système d'axe donné ;
- d'effectuer le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs.
2.1 Vecteur et scalaire
Scalaire : grandeur physique qui n’a pas d’orientation.
Vecteur : quantité mathématique définie par une longueur, une direction et un sens.
y
260 km
Qc
200 km
θ
Mtl
x
Ce graphique représente la trajectoire d’une automobile de
Montréal à Québec. La courbe représente la distance
parcourue. La variation ou le changement de position de
l’automobile est appelé déplacement. Le déplacement
dépend uniquement des coordonnées des positions initial et
final. Le déplacement dépend de la longueur du segment de
droite et de son orientation (angle θ fait avec l’axe des x).
Pour exprimer qu’une grandeur est vectorielle : 𝐴⃗ ou bien A, Dans le Benson ⃗𝑨⃗
On exprime une grandeur vectorielle de trois façons :



Module d’un vecteur;
La grandeur d’un vecteur;
L’intensité d’un vecteur;
⃒⃗⃗, ⃗𝑨
Et on l’écrit de la façon suivante : ⃒𝑨
⃦⃗ ⃦
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CHAPITRE 2 – LES VECTEURS
Il y a deux façons d’exprimer un vecteur dans un repère :


Longueur et un angle (Coordonnées polaires);
Les coordonnées cartésiennes des points final et initial.
⃗𝑨⃗
⃗⃗⃗, il faut :
Pour que ⃗𝑨⃗ =𝑩
θA
⃗⃗⃗
𝑩
ΘB


⃗⃗ ⃦
⃦ ⃗𝑨⃗ ⃦ = ⃦ ⃗𝑩
θA = θB
On peut additionner, soustraire ou égaler des
grandeurs physiques de même dimension. Ces
grandeurs doivent aussi être de même nature.
⃗⃗
𝐴 ≠ 𝐵
⃗⃗
A+𝐵
Ex. : Ici A est un scalaire, A = 5 (par exemple)
⃗⃗ = (3,4), ils ne sont donc pas de même
et 𝐵
⃗⃗ ⃦ équivaut à
nature même si le module de ⃦𝐵
A.

On peut multiplier un vecteur par un nombre pur ou par un scalaire.
⃗⃗, k appartient aux réels, par exemple k = 6
⃗⃗⃗⃗ = 𝑘𝒂
Ex. : 𝒘
Ceci entraine la modification du module du vecteur, ici d’un facteur 6.

⃗⃗ devient - 𝑨
⃗⃗ ;
Si je multiplie le vecteur par -1, par exemple 𝑨
Ceci a pour conséquence d’inverser le sens du vecteur. Ces deux vecteurs sont opposés
mais de même module.
⃗⃗ = (3,5), −𝑨
⃗⃗ = (−3, −5)
Si 𝑨
Et
(3,5)
θ-A = θA + 180
180 + θA
(-3,-5)
2
θA
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CHAPITRE 2 – LES VECTEURS
2.2 L’addition de vecteurs :
Ex. : Une personne qui marche 4 km vers l’est puis 3 km vers le Nord.
⃗⃗
𝐶⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
𝐶⃗
⃗⃗
𝐵
⃗⃗ ∥
∥ 𝐶⃗ ∥≠∥ 𝐴⃗ ∥ +∥ 𝐵
3 km
⃗⃗ ∥2
∥ 𝐶⃗ ∥ = √∥ 𝐴⃗ ∥2 +∥ 𝐵
𝐴⃗
4 km
Propriétés :



⃗⃗ = 𝐵
⃗⃗ + 𝐴⃗ ;
L’addition de vecteur est commutative : 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗) + 𝐶⃗ = 𝐴⃗ + (𝐵
⃗⃗ + 𝐶⃗);
L’addition de vecteur est associative : (𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = 𝐴⃗ + (−𝐵
⃗⃗)
Soustraction : 𝐴⃗ − 𝐵
𝐴⃗
𝐴⃗
⃗⃗
𝐵
𝐴⃗
⃗⃗
𝐴⃗ − 𝐵
⃗⃗
𝐵
⃗⃗
−𝐵
Addition et soustraction de vecteurs par la méthode graphique
Méthode du triangle
On fait coïncider l’origine du deuxième vecteur avec
l’extrémité du premier. La somme est le vecteur obtenu
en joignant l’origine du premier vecteur avec l’extrémité
du deuxième.
La comparaison des figures a) et b) montre que le
résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel est
additionne les vecteurs. L’addition de vecteur est
⃗⃗ + 𝑩
⃗⃗⃗ = 𝑩
⃗⃗⃗ + 𝑨
⃗⃗
commutative. 𝑨
(Exemple 2.1)
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CHAPITRE 2 – LES VECTEURS
On peut généraliser la méthode du triangle à l’addition de plusieurs vecteurs. Ici on voit que le
vecteur résultant ne dépend pas de la manière dont les vecteurs sont regroupés, l’addition des
vecteurs est associative.
⃗⃗ = 𝑨
⃗⃗)
⃗⃗ + 𝑩
⃗⃗⃗) + 𝑪
⃗⃗ + (𝑩
⃗⃗⃗ + 𝑪
(𝑨
2.3 Composantes de vecteurs unitaires
Étudions maintenant la méthode analytique. Cette méthode est plus précise et pratique pour les
calculs, surtout lorsque l’on fait intervenir une troisième dimension.
y
Composantes cartésiennes d’un vecteur dans un
plan à partir de son module et de son orientation.
Ay
𝐴⃗
θA
Ax
x


Ax = A cos θA
Ay = A cos θA

𝐴 = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2

𝜃𝐴 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝐴𝑥
Voir précision sur l’évaluation de l’angle : p.27 ainsi que l’exemple 2.2
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𝐴𝑦
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L’addition de vecteurs se fait par l’addition des composantes :






⃗⃗ = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦)
Admettons deux vecteurs : 𝐴⃗ = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦) 𝑒𝑡 𝐵
⃗⃗, s’effectue de la façon suivante;
𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
(𝑅𝑥, 𝑅𝑦) = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦) + (𝐵𝑥, 𝐵𝑦);
(𝑅𝑥, 𝑅𝑦) = ((𝐴𝑥 + 𝐵𝑥), (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦));
𝑅𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥
𝑅𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦
Si on veut le module et l’orientation ;

𝑅 = √𝑅𝑥 2 + 𝑅𝑦 2 = √(𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)2 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)2

𝜃𝑅 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑅𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐴𝑥+𝐵𝑥)
𝑅𝑦
(𝐴𝑦+𝐵𝑦)
Les vecteurs unitaires
Les vecteurs unitaires 𝑖,
⃗⃗ 𝑗⃗ 𝑒𝑡 𝑘⃗⃗ , sont des vecteurs orientés selon chacun des axes et de module
d’une unité. Un vecteur unitaire est une grandeur sans dimension qui sert uniquement à définir
une orientation dans l’espace.
z
𝑘⃗⃗
𝑗⃗
Norme d’un vecteur unitaire :
𝑖⃗
x

∥ 𝑖⃗ ∥=∥ 𝑗⃗ ∥=∥ 𝑘⃗⃗ ∥ = 1
y
Expression des vecteurs en fonction des
vecteurs unitaires :
z
𝐴⃗ = 𝐴𝑥𝑖⃗ + 𝐴𝑦𝑗⃗ + 𝐴𝑧𝑘⃗⃗
𝐴⃗
𝑘⃗⃗
𝑗⃗
𝑖⃗
Module d’un vecteur à trois dimensions :
𝐴𝑧
𝐴 = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2
x
𝐴𝑦
y
𝐴𝑥
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(Exemple 2.2)
L’utilisation de la rose des vents
Nord
Nord-Ouest
Nord-Est
Le Nord-Est est à 45⁰,
Le Nord-Ouest est à 135⁰,
Le Sud-Ouest est à 225⁰,
Ouest
Est
Le Sud-Est est à 315⁰
Sud-Est
Sud-Ouest
Sud
Exemple
⃗⃗ de 10 m à 53⁰ ouest
On donne le vecteur 𝐴⃗ de 5 m à 37⁰ nord par rapport à l’est et le vecteur 𝐵
par rapport au nord.
Voici la représentation graphique de ces deux vecteurs :
y
⃗⃗
𝐵
𝐴⃗
53⁰
37⁰
x
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2.4 Le produit scalaire
⃗⃗ est, par définition égal à
Le produit scalaire de deux vecteurs 𝐴⃗ et 𝐵
⃗⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ et on multiplie
On projette le vecteur 𝐴⃗ sur le vecteur 𝐵
⃗⃗. L’inverse est équivalent.
le résultat par la norme de𝐵
𝐴⃗
𝜃
⃗⃗
𝐵
𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
Propriétés :


⃗⃗ : 𝐴⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(0 𝑜𝑢 1800 ) = 𝐴𝐵 · 1 = 𝐴𝐵;
Si 𝐴⃗ est parallèle à 𝐵
⃗⃗ : 𝐴⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(900 𝑜𝑢 270⁰) = 𝐴𝐵 · 0 = 0;
Si 𝐴⃗ est perpendiculaire à 𝐵
Pour les vecteurs unitaires :
𝑖⃗ ∙ 𝑖⃗ = 1
𝑗⃗ ∙ 𝑗⃗ = 1
𝑘⃗⃗ ∙ 𝑘⃗⃗ = 1
𝑖⃗ ∙ 𝑗⃗ = 0
𝑗⃗ ∙ 𝑖⃗ = 0
𝑘⃗⃗ ∙ 𝑖⃗ = 0
𝑖⃗ ∙ 𝑘⃗⃗ = 0
𝑗⃗ ∙ 𝑘⃗⃗ = 0
𝑘⃗⃗ ∙ 𝑗⃗ = 0
Ceci implique que :
⃗⃗ = (𝐴𝑥𝑖⃗ + 𝐴𝑦𝑗⃗ + 𝐴𝑧𝑘⃗⃗ ) · (𝐵𝑥𝑖⃗ + 𝐵𝑦𝑗⃗ + 𝐵𝑧𝑘⃗⃗ )
𝐴⃗ ∙ 𝐵
⃗⃗ = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
𝐴⃗ ∙ 𝐵
(Exemple 2.3)
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