sommaire

Préliminaires sur les extensions de corps et les polynômes
Mémoire présenté et soutenu par NGNADJO J.
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INTRODUCTION GENERALE
Un corps commutatif K étant donné, on peut construire un sur-corps ou une extension L
de K tel que tout polynôme non constant de L[X] admet une racine dans L. Tout corps L
vérifiant cette dernière propriété est dit algébriquement clos.
Le but du présent mémoire est la construction de ce sur-corps L de K.
La détermination d’un corps de rupture et de décomposition d’un polynôme f sur K étant
un premier pas vers la démonstration de cette propriété, nous allons dans le chapitre un rappeler
les propriétés et définitions préliminaires sur les extensions de corps et les polynômes à une
indéterminée.
Fort de ces notions, et en particulier grâce à l’axiome de choix et au théorème
fondamental de la théorie de Galois, nous allons dans le chapitre deux, plonger K dans un corps
L algébriquement clos.
Le chapitre trois apporte quelques exemples et applications inhérents au théorème de
Steinitz.
Il s’agit tout au long de ce travail des polynômes à une indéterminée.

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CHAPITRE I : PRELIMINAIRES SUR LES EXTENSIONS DE
CORPS ET LES POLYNOMES.
O- Anneaux, Corps et sous-corps
Définition 0.1
Un anneau est une structure (K,+,x), où K est un ensemble non vide, telle :
i) (K,+) est un groupe commutatif
ii)
KxKxKcb,a, 
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
iii)
KxKxKcb,a, 
ax(b+c)=(axb)+(axc) (distributivité à gauche)
( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c ) (distributivité à droite)
iv) Il existe un élément noté 1 dans K tel que
K,a
1 x a = a x 1 = a (élément unité)
On dit que (K,+,x) est un anneau commutatif, si de plus
KxKba, 
a x b = b x a (commutativité de x)
Définition 0.2
Un ensemble K muni d’une addition et d’une multiplication possède une structure de
corps pour ces deux opérations si :
 K possède une structure d’anneau pour ces deux opérations.
 K* =K\{0} (0 élément neutre pour l’addition) possède une structure de groupe
pour la multiplication.
Si la multiplication est commutative, on dit que le corps est commutatif.
Sauf mention du contraire, tous les corps considérés tout au long de ce travail sont
commutatifs
Définition 0.3
On appelle sous-corps d’un corps K toute partie non vide L de K ; stable pour les lois de
K et telle que la structure induite sur L par ces lois soit une structure de corps. On dit que K est
un sur-corps ou une extension du corps L.

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1- Homomorphismes d’anneaux , idéaux et anneaux quotients
Définition 1-1
Soient A et B deux anneaux et f une application de A dans B ; on dit que f est un
homomorphisme d’anneaux si :
i)
f(b)f(a)b)f(a ,A ba, 
iii) f(1A)=1B
ii)
f(a)f(b)f(ab) ,A ba, 
Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de A sur B. Les isomorphismes de A
sur A sont appelés automorphismes.
Théorème1.2
Si f est un homomorphisme d’un anneau A dans un anneau B :
i) f(A) est un sous anneau de B
ii) Ker (f) est un idéal bilatère de A.
Preuve :
Voir [7] page 172
Définition 1.3
Soit I un sous ensemble non vide d’un anneau A. On dit que I est un idéal de A si :
i) I est un sous groupe de (A,+)
ii)
2
Iia , aiIxA ai, 
Définition 1.4 : Anneaux quotients
Soit I un idéal d’un anneau A , comme (A,+) est un groupe abelien, alors
A I 
( I normal
dans A) et par conséquent
I
A
a une structure de groupe quotient. Puisque le produit dans A est
compatible avec la relation selon I, nous pouvons définir sur
I
A
les opérations suivantes :
IabIbxIa
IbaIbIa
Ainsi
 x, ,
I
A
est un anneau appelé anneau quotient de A par I.
Remarque 1.5
L’application
Ia a I
A
A :
est un épimorphisme d’anneaux.

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2- Lemme de Zorn
Définition 2.1
Soit (E, ) un ensemble totalement ordonné. On appelle chaîne de E toute partie de E qui
est totalement ordonnée.
Définition 2.2
On dit que (E, ) est inductif si toute chaîne de E possède un majorant.
Théorème 2.3 : (du bon ordre)
Tout ensemble peut être bien ordonné.
Lemme 2.4 : (de Zorn)
Tout ensemble non vide, ordonné, inductif possède au moins un élément maximal.
Preuve:
Voir BOURBAKI, Théorie des ensembles, chapitre III )
3- Anneau des polynômes à une indéterminée
On s’intéresse maintenant aux polynômes. Si est K un corps commutatif alors K[X] est
un anneau commutatif, intègre, extension de K (‘extension de K’ signifie qu’il existe un
morphisme injectif de (K,+,x) dans (K[X],+,x). Ce morphisme est :
0
aXa
, et grâce à lui, on
identifie a K et aX0 K[X]).
a- : Terminologie
Pour tout polynôme
Nn , XK Xa...Xaaf n
n10 
i) Les ai sont appelés les coefficients de f.
ii) a0 est le terme constant de f
iii) Si ai=0, i=1,2,…,n f est appelé polynôme constant.
iv) Si
0an
le degré de f est n et on note deg. f=n ou de f = n
v) Si an=1, alors f est dite unitaire
vi) On appelle racine de f tout α tel que f(α)=0
b- : Division euclidienne dans K[X]
Pour tout couple (a(x),b(x)) de K[X]xK[X], avec b(x) 0, il existe un couple et un seul
(q(x),r(x)) de K[X]xK[X] tel que a(x)=b(x)q(x)+r(x) avec deg.(r(x))<deg.(b(x)) ou r(x)=0.

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Remarques
Si deg.(a(x))<deg.(b(x)) ou deg.a(x)=0, alors a(x) est son propre reste dans la division par
b(x).
Si r(x)=0 et q(x) 0, alors a(x)=b(x)q(x) et on dit que b(x) divise a(x) ou encore que b(x)
est un diviseur de a(x).
Un polynôme a(x) non nul de K[X] est dit irréductible sur K, si ses seuls diviseurs dans
K[X] sont des polynômes constants non-nuls et les produits de a(x) par des constantes non nuls.
Théorème 3.1 ( de Bezout
1
)
Si a(x) et b(x) sont des éléments non-nuls de K[X], alors a(x) et b(x) sont premiers entre
eux si et seulement s’il existe u(x) et v(x) dans K[X] tels que u(x)a(x)+v(x)b(x)=1.
Théorème 3.2
Si K est un corps, alors K[X] est un anneau principal.
Preuve
On va montrer que tout idéal de K[X] est principal pour conclure. Soit I un idéal 0 de
K[X]. Soit g I un polynôme différent du polynôme nul et ayant le plus petit degré dans I. Pour
tout f polynôme non nul de I on a : f=qg+r où r=0 ou deg.r<deg.g d’après b).
Il vient que r =f-qg I. Donc r=0 car deg. r<deg. g , et g est le polynôme ayant le plus petit degré
dans I. Dès lors I=(g).
Théorème 3.3
Soit K un corps, et soit f un polynôme irréductible dans K[X]. Alors
f
XK
est un corps.
Preuve :
Soit n le degré de f, alors K[X]/(f) est l’ensemble des polynômes de la forme :
ao+a1x1+…+an-1xn-1 muni de l’addition et de la multiplication modulo f(x).
K[X]/(f) est un anneau commutatif
Soit
g
K[X]/(f), avec
g
≠0 ; g est un représentant de la classe
g
. Alors g (f). On
considère maintenant l’idéal I engendré par f et g. I=(t) pour un certain t K[X] puisque K[X] est
un anneau principal ( voir théorème 3.2). Or f I f=wt ; w K[X]. w n’est pas inversible : en
effet s’il l’était, I=(f) entraînerait la contradiction g (f). Puisque f est irréductible, alors t est
inversible. D’où I= K[X] et 1=uf+vg où u,v K[X]. Par conséquent,
 voù 1g v
K[X]/(f)
est la classe de v.
1
Bézout ( Etienne) (Nemours, 1730 – Les Bassesloges, 1783 )
Mathématicien français : théorie générale des équations algébriques (1779)