On constate que si le cours d’une action monte au cours d’une séance boursière, il a 80%
de chances de continuer à monter le lendemain. En revanche, si il baisse au cours d’une
séance, il a 30% de chances de monter le lendemain.
Soit pn la probabilité de hausse du cours le jour n et soit p1 la probabilité de hausse du
cours à l’issue de la première séance de cotation (jour de l’introduction en bourse).
1°) Exprimer pn en fonction de pn-1
2°) En déduire pn en fonction de p1 et de n
3°) On pose qn = probabilité de baisse du cours le n-ième jour. Exprimer qn en fonction de
qn-1 et de pn-1.
4°) En déduire une représentation matricielle des expressions de pn et de qn
1°) Soit Mn = « le cours de l’action monte le n-ième jour » et
l’événement contraire (à
savoir « le cours baisse le n-ième jour »). On peut écrire :
Mn-1
Mn
Chaque jour, soit le cours de l’action monte, soit il baisse, donc Mn est nécessairement
précédé soit de Mn-1 soit de
. On peut alors écrire : P(Mn-1)+P(
)=1 ce qui permet
d’appliquer à Mn la formule des probabilités totales :
P(Mn)=P(Mn/Mn-1)P(Mn-1)+P(Mn/
)P(
) soit :
pn = 0,8pn-1+0,3(1-pn-1) (équation 1) soit encore : pn=0,5pn-1+0,3.
2°) pn=0,5pn-1+0,3 est une suite arithmético-géométrique donc : pn=0,5n-1(p1-
)+
soit finalement : pn=0,5n-1(p1-0,6)+0,6.
3°) On s’intéresse désormais à P(
). La baisse du cours le n-ième jour est précédée, la
veille, soit de la hausse soit de la baisse. On peut alors écrire comme précédemment :
Mn-1
avec P(Mn-1)+P
)=1, ce qui permet d’appliquer à
la formule des probabilités
totales :
P(
)=P(
/Mn-1)P(Mn-1)+P(
/
)P(
) soit :
qn = 0,2pn-1+0,7qn-1 (équation 2).
En reprenant les équations 1 et 2 sous forme d’un système linéaire :
11
1-n1-n 7,02,0
q3,0p8,0
nnn
nqpq
p
soit matriciellement :