Exercice 1
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Travaux dirigés variables aléatoires (Série N°3) Exercice 1 : Une usine employant 30 personnes dont 4 ingénieurs, 10 techniciens et 16 ouvriers. 1) On choisit de façon successive 3 employés: calculer la probabilité d’avoir un employé de chaque catégorie professionnelle. 2) On choisit de façon successive 3 employés et soit X la variable aléatoire qui représente le nombre d’ingénieurs choisis: donner la loi de probabilité de X. Exercice 2 : Pour vendre un article, un producteur décide de lancer une campagne publicitaire par insertion de photos dans des journaux spécialisés. Le nombre d’articles vendus après une parution est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante: Nombre d’articles Probabilité 0 0.525 100 0.350 200 0.125 Le producteur fait 50 parutions indépendamment les unes des autres. Soit X le nombre d’articles vendus grâce à cette publicité. Calculer l’espérance et la variance de X. Exercice 3 : On est au rez-de-chaussée d’un immeuble de 8 étages. Combien de temps pensez-vous pouvoir attendre, en moyenne, un ascenseur qui ne se trouve pas au rez-dechaussée, qui peut se trouver à n’importe quel étage avec la même probabilité et qui met 5 secondes pour passer d’un étage à l’autre, son démarrage et son arrêt sont instantanés. Chiffrer l’écart type de votre temps d’attente. Exercice 4 : Une poche contient 5 billets de 20DH, 3 billets de 50DH et 1billet de 200DH. Ces billets sont indiscernables au toucher. On tire simultanément trois billets de la poche. Soit X la variable aléatoire représentant le montant de ces 3 billets. 1- Déterminer la loi de probabilité de X. 2- Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de X. Exercice 5 : Johanna aime bien jouer aux fléchettes. Elle arrive toujours à atteindre la cible et la probabilité qu’elle atteigne une zone est proportionnelle à l’aire de cette zone. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de points obtenu par la flèche de Johanna. 1- Déterminer la loi de probabilité de X. 2- Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de X. 1 Exercice 6 : Pour une demande aléatoire X de denrées périssables, un grossiste commande y tonnes de denrées chaque jour. La loi de probabilité de X est la suivante : Demande en tonnes :x 0 1 2 3 4 5 6 Probabilités 0.02 0.15 0.25 0.30 0.15 0.10. 0.03 1- On demande de : a- Calculer la probabilité que le grossiste vende moins de 3 tonnes de denrées dans la journée. b- Calculer l’écart type. 2- Le grossiste gagne 5 000 DH par tonne vendue et perd 2 000 DH par tonne non vendue. Soit la variable aléatoire G dont les valeurs sont égales au gain pour une commande y. Construire un tableau donnant les valeurs de G pour une commande y = 0,1,2,3,4,5,6 tonnes ainsi que les probabilités associées. calculer l’espérance de G pour les mêmes valeurs de Y. Exercice 7 : Le nombre de gâteaux qu’un pâtissier peut vendre en un jour quelconque est une variable aléatoire ayant la distribution de probabilité suivante: x 0 1 2 3 4 5 P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ce pâtissier sait qu’il y a un profit de 10 DH pour chaque gâteau vendu et une perte de 4 DH pour chaque gâteau non vendu. 1- Quel est le profit auquel doit s’attendre le pâtissier, le jour où il a préparé 5 gâteaux ? 2- Que serait ce profit attendu si le pâtissier avait préparé 3 gâteaux uniquement ? Exercice 8 : Deux urnes contiennent chacune 3 boules numérotés 1,2,3. On tire une boule de chacune des deux urnes. Soit X la variable aléatoire égale au produit des deux numéros portés sur les deux boules tirées. 1- Déterminer la distribution de probabilité de X. 2- Calculer l’espérance mathématique de X. 3- Calculer la probabilité pour que le produit X soit supérieur ou égal à 2. Exercice 9 : On étudie la durée X des communications téléphoniques dont la fonction de répartition est : si x 0 0 F(x) = kx si x 0 1 e Sachant que k = 5/6 1- Quelle est la probabilité pour qu’une communication dure plus de 3 minutes ? 2- Quelle est la probabilité pour qu’une communication ait une durée entre 3 et 6 minutes ? 3- Si on ne connaît pas k, quelle valeur faudrait-il lui donner pour que la probabilité d’une communication supérieure à 3 minutes soit égale à 0,1 ? Exercice 10 : 2 Soit X une variable aléatoire représentant le nombre d’heures de vie d’une ampoule électrique. Supposons que X soit distribué avec la fonction de densité de probabilité suivante : x 1 1000 f(x) = pour x > 0 e 1000 Trouver la durée de vie attendue d’une telle ampoule. Exercice 11 : Un appareil a une durée de fonctionnement x de fonction de densité : si x 0 0 (x) = x si x 0 ke 1- Déterminer k et tracer f(x). 2- Calculer la fonction de répartition de X. 3- Calculer: P(x >2) ; P(0,5 < x 1,5) ; P(x < 0). 4- Calculer l’espérance et l’écart-type de X. On rappelle que : -(1+x)e-x est une primitive de xe-x et -(x2+2x+2)e-x est une primitive de x2e-x. Exercice 12 : Soit k un réel et f la fonction définie sur 0;1 par : f ( x) kx 1 x2 1- Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité sur 0;1 . 2- Soit X la variable aléatoire définie sue 0;1 , de loi de probabilité p admettant f comme densité de probabilité. 1 1 1 1 Déterminer p ( X ), p ( X ), et p( X ). 2 2 3 2 3 Loi binomiale Quatre étudiants dont aucun n’a étudié les sujets du cours passent un examen en deux questions. La question 1 a 4 réponses indiquées dont une seule est juste. La question 2 en a 5, dont une seule est juste. Soit la variable aléatoire X qui désigne le nombre d’étudiants qui ont au moins une réponse correcte. 1) Quelle est l’espérance et la variance du nombre d’étudiants qui ont au moins une réponse correcte ? 2) Calculer la probabilité que 2 étudiants au moins aient au moins une réponse correcte ? 4
