Exercice 1 Première partie : Calculer l`intégrale . Deuxième partie La

Exercice 1
Première partie : Calculer l’intégrale
1
0
x
xe dx
.
Deuxième partie
La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère
orthonormal
;,O OI OJ
, la ligne courbe C reliant le point O au point M est une partie de la
courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par
x
f x xe
.
Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure ci-
dessous.
Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des
parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible,
ni la courbe C .
Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à
l’extérieur de la cible avec une probabilité de
1
2
et que les
probabilités d’atteindre les parties A et B sont
proportionnelles à leurs aires respectives.
1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est
égale à
1
2e
. Quelle est la probabilité d’atteindre la partie
B ?
2. On lance de manière indépendante trois fléchettes.
a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de
fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de
probabilité de X. En déduire la valeur exacte de son
espérance mathématique.
b. Soit E l’évènement : « Exactement deux fléchettes
atteignent la partie A ». Calculer une valeur approchée au
millième de la probabilité de E.
c. Soit F l’évènement : « les trois fléchettes atteignent la
partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera la
valeur exacte).
Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la
cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se
trouvent dans la partie B ?
3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes.
a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au
moins une des fléchettes atteigne la partie A.
b. Déterminer le plus petit naturel n tel que
0,99
n
p
.
J
N
O
partie
B
partie
A
00
M
I

Exercice 2
On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le
numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.
On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les
lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).
Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
Deuxième étape :
• si le dé indique 1, il tire au hasardune boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule
porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la
partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la
partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
À la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s).
On définit les évènements suivants :
D1 : « le dé indique 1 », D2 : « le dé indique 2 »,
D3 : « le dé indique 3 », G : « la partie est gagnée ».
A et B étant deux évènements tels que
( ) 0pA
, on note pA(B) la probabilité de B sachant que
A est réalisé.
1. a. Déterminer les probabilités
1()
D
pG
,
2()
D
pG
et
3()
D
pG
.
b. Montrer alors que
23
() 180 pG 
.
2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en
donner une valeur arrondie à 10−2 près.
Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au
moins une soit supérieure à 0,9 ?

Correction
1. a.
1()
D
pG
: s’il tire un 1, il gagne s’il tire une voyelle, soit 4 chances sur 10,
14
() 10
D
pG
.
2()
D
pG
: s’il tire un 2, il gagne s’il tire 2 voyelles, soit
44.3 6
22
chances sur
10 10.9 45
22
,
262
() 45 15
D
pG
;
3()
D
pG
: s’il tire un 3, il gagne s’il tire 3 voyelles, soit
44.3.2 4
33.2
chances sur
10 10.9.8 120
33.2
,
341
() 120 30
D
pG
.
b. On applique les probabilités totales :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
()
4 1 2 2 1 3 23
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) . . . .
10 6 15 6 30 6 180
D D D
p G p D G p D G p D G
p G p D p G p D p G p D
.
2. Ce coup-ci on cherche
1
11
1
41
.
( ). ( )
() 180 4 12
10 6
( ) .
23
( ) ( ) 23 60 23
180
D
Gp G p D
p G D
pD p G p G
.
3. Un joueur fait six parties : loi binomiale avec n = 6 et
23
180
p
. On cherche
24
623 23
( 2) 1 0,14
2180 180
pk 
.
On remplace 6 par n et k par 0 :
0
23 23 157
( 1) 1 ( 0) 1 1 1
0180 180 180
nn
n
p k p k 
; il faut
donc résoudre
ln(0,1)
157 157
1 0,9 0,1 16,8
180 180 ln(157 / 180)
nn
n
soit 17 parties minimum.