Cours – FONCTIONS

I. Continuité
A. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un réel a.
 On dit que f est continue en a si
f(a) f(x) lim
ax 
.
 On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
Interprétation graphique : On « reconnaît » qu’une fonction est continue sur un intervalle
lorsque sa courbe représentative peut être tracée sans lever le crayon.
Exemple : f est la fonction définie sur  par f(x) = x2 + 3x + 2.
f est continue sur  : la parabole P qui représente f peut être tracée sans lever le crayon.
Contre-exemple : La fonction partie entière.
La fonction h définie sur l’intervalle [- 1, 3] par h(x) = x - xE(x).
Définition : La fonction partie entière est la fonction définie sur  qui, à tout x réel,
associe l’unique entier relatif n tel que n  x < n + 1.
On note E cette fonction et n = E(x).
Théorème :  Les fonctions polynômes, valeur absolue, sinus et cosinus sont continues
sur .
La fonction racine carrée est continue sur +.
 Les fonctions construites par opérations ou par composition à partir des
précédentes sont continues sur les intervalles qui forment leur ensemble de
définition ; c’est le cas, en particulier, des fonctions rationnelles.
Exercice 1 : f est la fonction définie sur  par f(x) = 3x2 + 2x - 5.
On considère les fonctions g et h telles que g =
f h et
f
1
.
Préciser sur quels intervalles chacune des fonctions f, g et h est continue.
B. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème : Si une fonction f est définie et continue sur un intervalle I, et si a et b sont
deux réels de I, alors quel que soit le réel k compris entre f(a) et f(b) il existe
au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
FONCTIONS NUMERIQUES :
LIMITES, CONTINUITE, DERIVABILITE.

Démonstration
La démonstration se fait en deux étapes.
Dans la première étape, on se place dans le cas particulier où zéro se trouve entre f(a) et f(b)
et on démontre qu’il existe un nombre c de [a, b] tel que f(c) = 0.
Dans la deuxième étape, on prouve que le cas général se ramène à ce cas particulier.
A. Première étape
On suppose f(a) < 0 et f(b) > 0 (si f(a) ou f(b) est égal à zéro, le résultat est acquis avec
c = a ou c = b suivant le cas). On construit par dichotomie deux suites (un) et (vn) de la
façon suivante : on pose u0 = a, v0 = b et pour tout n 0,
si
0
2 
nn vu
f
, on pose un+1 = un et vn+1 =
2 nn vu 
;
si
0
2 
nn vu
f
, on pose un+1 =
2 nn vu 
et vn+1 = vn.
1. On prouve que les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes en introduisant la suite (wn)
définie sur par wn = vn – un. On note c leur limite commune.
2. a) On prouve, par récurrence sur l’entier naturel n, que f(un) 0 f(vn).
b) On prouve que la suite (f(un)) converge vers f(c) donc que f(c) 0 et que la suite (f(vn))
converge vers f(c), et donc que f(c) 0.
On conclut par f(c) = 0 avec c dans [a, b].
B. Deuxième étape
1. On suppose f(a) < f(b), y est un réel tel que f(a) < y < f(b). On note g la fonction définie
sur [a, b] par g(x) = f(x) – y.
On justifie la continuité de g et, en utilisant les résultats de la partie A., on justifie
l’existence d’un nombre c de [a, b] tel que g(c) = 0 ce qui équivaut à f(c) = y.
2. On suppose que f(a) > f(b). En utilisant la fonction (- f) on démontre dans ce cas le
théorème.
C. Fonction continue et strictement monotone
Théorème : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b].
Alors, quel que soit le réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k
admet une solution unique dans [a, b].
Démonstration
L’existence d’une solution découle immédiatement du théorème des valeurs intermédiaires.
L’unicité de la solution provient de ce que, pour une fonction strictement (et c’est
l’hypothèse essentielle) monotone, deux réels distincts ont des images distinctes, donc on ne
peut pas avoir f(c) = k = f(c’) avec c c’.

L’existence de la solution est assurée par L’unicité de la solution est assurée par
la continuité. la stricte monotonie.
Remarque : En d’autres termes, avec les hypothèses du théorème, f réalise une bijection de
[a, b] sur [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)].
Ce théorème est parfois nommé « théorème de la bijection ».
On admettra que ce théorème se prolonge au cas où f est définie sur un intervalle ouvert ou
semi-ouvert, avec a et b finis ou infinis, les limites de f aux bornes de l’intervalle étant
connues.
Ainsi, l’image d’un intervalle I par une fonction f, continue et strictement monotone sur I, est
encore un intervalle J = f(I) appelé intervalle-image de I par f.
N.B. Dire que f est une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J
signifie que : pour tout x de I, f(x)  J.
Exemple d’application : Combien l’équation x5 - 5x + 1 = 0 admet-elle de solutions dans  ?
Fonction réciproque : Lorsqu’une fonction f est une bijection d’un intervalle I sur un
intervalle J = f(I), on peut alors définir une fonction g sur J de la manière suivante :
si y est un réel de J alors g(y) = l’unique réel x antécédent de y par f.
On dit que g est la fonction réciproque de f ou la bijection réciproque de f.
On note encore g = f –1, mais cette notation prêtant à confusion elle est de moins en moins
usitée.
Les courbes représentatives de deux bijections réciproques dans un même repère orthonormé,
sont symétriques l’une de l’autre par rapport à la droite d’équation y = x (première
bissectrice du repère).
est, si f est
strictement
L’image de l’intervalle I =
croissante
décroissante
[a, b]
[f(a), f(b)]
[f(b), f(a)]
]a, b]
]
f lim
a
, f(b)]
[f(b),
f lim
a
[
[a, b[
[f(a),
f lim
b
[
]
f lim
b
, f(a)]
]a, b[
]
f lim
a
,
f lim
b
[
]
f lim
b
,
f lim
a
[
O
x
x
O
y
y
C
C
1
3
6
2
5
1
2
3
4
3
1
4

Exemple : Courbes représentatives des fonctions f et g définies sur + par
f(x) = x2 et g(x) =
x
.
Exercice 2 : On considère la fonction f définie sur + par f(x) =
1 xx
2
2
.
1. Montrer que cette fonction est strictement croissante sur + .
2. Montrer que f définit une bijection de + sur un intervalle que l’on précisera.
Soit g la bijection réciproque de f. Définir g.
3. Tracer les courbes représentatives de f et g dans le même repère orthonormé.
1. La fonction f est la restriction à + d’une fonction fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule
jamais sur  donc f est définie et dérivable sur +, et
f ’(x) =
.
1 x
2x
(x)' fsoit
1 x
x2x - 1 x2x 2
2
2
2
22
Donc, f ’(x) = 0  x = 0 et f ’(x) > 0  x > 0. On en déduit que f est strictement croissante sur +.
2.
1. f lim donc
x
1
1
1
lim f lim
2
x
Ainsi, la fonction f est définie, dérivable et strictement monotone croissante sur +. On en déduit qu’elle
réalise une bijection de + sur l’intervalle-image
f lim f(0), 
c’est-à-dire sur [0,1[.
3. Soit f -1 la bijection réciproque de f. Pour tout x de + et pour tout y de l’intervalle [0,1[,
.
y - 1y
x
y - 1y
xy - 1) -y ( x x 1) y(x
1 xx
y 2222
2
2
Donc la bijection réciproque de f est définie de la manière suivante :
4. Les courbes C et C’ représentatives, respectivement, de f et de sa bijection réciproque f -1 sont
symétriques l’une de l’autre par rapport à la première bissectrice du repère, la droite d’équation y = x.
II. Dérivation
A. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement de f en a
admet une limite réelle l en a c’est-à-dire lorsque :
l
hf(a) - h) f(a
limou l
a -x f(a) - f(x)
lim 0hax 
.
Dans ce cas, l est appelé le nombre dérivé de f en a, et on le note f’(a).
f –1 : +
x
y - 1y
[0,1[

ou
On dit que f est dérivable en a lorsqu’il existe un réel l, un intervalle J
centré en 0 et une fonction  définie sur J telle que, pour tout réel h de J
vérifiant (a + h)  I,
f(a + h) – f(a) = lh + h(h) avec
0. lim
0
Remarques :
1. Lorsqu’une fonction est dérivable en un point a de son ensemble de définition, sa courbe
représentative admet, au point d’abscisse a, une tangente d’équation :
y = f ’(a)(x – a) + f(a).
2. Lorsqu’une fonction f est dérivable en un point a de son ensemble de définition, la
fonction f admet une bonne approximation affine lorsque x est voisin de a :
f(x) = f(a) + f ’(a)(x – a).
3. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si sa fonction dérivée f ’ est elle-même
dérivable sur I elle admet une fonction dérivée appelée fonction dérivée seconde de f et
notée
f
. On dit que f est deux fois dérivable sur I.
On définit ainsi les fonctions dérivées successives de f sur I. On note f(3) la fonction dérivée
de
f
, c’est la fonction dérivée troisième de f et, pour tout n de , on note f(n) la fonction
dérivée nième de f avec, par convention, f(0) = f.
Donc, pour tout n de , f(n+1) = [f(n)]’.
Exercice 3
Soit a, b et c trois nombres réels.
On note f la fonction numérique de variable réelle définie pour tout x de  par :
f(x) =
c x
2
bsin x
2
acos 
.
1. Démontrer par récurrence que, quel que soit l’entier naturel non nul n et quel que soit le
réel x,
2 n x
2
bsin
2
n x
2
acos
2
(x)f n
(n)
sachant que f (n) désigne la fonction dérivée nième de f.
2. On pose, pour tout n de *, un =
(0)f
4
1(2n)
n
.
Calculer u1.
Montrer que la suite (un), n  *, est une suite géométrique de raison
16
- 2
.
3. Calculer Sn = u1 + u2 + … + un en fonction de n et de a et étudier
n
nS lim
.