Forme algébrique d`un nombre complexe - Maths

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NOMBRES COMPLEXES
I- Introduction et définition
Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racine 3 et –3.
Par contre, aucun réel négatif n'a de racine (réelle).
C'est pour pallier à cette discrimination que furent créés les nombres complexes.
Le nombre j
On appelle i un nombre dont le carré est égal à –1.
On décrète que i est la racine carrée de –1. Ainsi : i 2 = –1
De plus, son opposé – i a aussi pour carré –1. En effet : ( – i) 2 = [( –1) × i]2 = ( –1) 2 × i 2 = –1
Les deux racines de –1 sont deux nombres irréels i et – i.
Le nombre i est appelé nombre imaginaire.
La forme factorisée de (x 2 + 1) est (x + i) (x – i).
Un peu d'histoire
Au début du XVIe siècle, alors que les mathématiciens hésitent à utiliser les nombres négatifs (notamment
François Viète (1540-1603) créateur du calcul algébrique), les algébristes italiens de la Renaissance osent
introduire des nombres « impossibles », racines carrées de nombres négatifs. Jérôme Cardan pour effectuer les
calculs sur ces nombres « impossibles » introduit une unité imaginaire appelé « piu di meno » très voisine de
notre nombre i. La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du XIXème
siècle. Cependant le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637.
En sciences, pour éviter les confusions, ce nombre est noté j.
Les ensembles de nombres
 N est l'ensemble des entiers naturels. C'est l'ensemble des entiers positifs ou nuls.
Dans N l'équation x + 1 = 0 n'a pas de solution.
Cette équation a une solution notée –1, élément de l'ensemble Z.
 Z est l'ensemble des entiers relatifs. C'est l'ensemble des entiers positifs, négatifs ou nuls.
N est contenu dans Z, ce que l'on note N  Z.
Dans Z l'équation 2x = 1 n'a pas de solution.
Cette équation a une solution notée Error!, élément de l'ensemble Q.
 Q est l'ensemble des nombres rationnels.
C'est l'ensemble de tous les nombres de la forme Error! avec p  Z et q  Z*.
Q contient Z. On a donc N  Z Q.
Dans Q l'équation x 2 = 2 n'a pas de solutions.
Cette équation a deux solutions notées 2 et – 2 , éléments de l'ensemble R.
 R est l'ensemble des nombres réels. C'est l'ensemble des abscisses de tous les points d'une droite.
R contient Q. On a donc Q  R.
Dans R l'équation x 2 = – 1 n'a pas de solutions.
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Cette équation a deux solutions notées j et – j, solutions de l'ensemble C.
 C est l'ensemble des nombres complexes.
C'est l'ensemble des nombres de la forme a + jb avec a  R et b  R
C contient R. On a donc N  Z  Q  R  C.
Définition
On appelle corps des nombres complexes, et on note I;C un ensemble contenant I; R tel que :
 Il existe dans C un élément noté i tel que j 2 = – 1
 Tout élément de C s'écrit sous la forme a + jb , où a et b sont des réels.
 C est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que celles connues
dansR.
Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z.
Nombres complexes particuliers
Soit un nombre complexe z = a + jb avec a  R et b R.
 si b = 0 , on a z = a , z est un réel.
 si a = 0 , on a z = jb , on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire).
Remarques
 R correspond à l'ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d'abscisse x sur
la droite. On peut donc toujours comparer deux nombres réels.
 C, ensemble des nombres a + jb avec a  R et b R, correspond à l'ensemble des points d'un plan.
Un nombre complexe a + jb avec a  R et b  R correspond au point du plan de coordonnées (a ; b).
On ne peut donc pas comparer deux nombres complexes : il n'y a pas de relation d'ordre dans C.
On ne peut donc pas dire qu'un nombre complexe z est inférieur à un nombre complexe z' ou qu'un nombre
complexe z est positif (c'est-à-dire supérieur à 0).
II- Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition
Soit un nombre complexe z.
L'écriture z = a + jb , où a et b sont des réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
a est appelé partie réelle de z, et b partie imaginaire de z : on note a = Re(z) et b = Im(z).
Remarque : la partie réelle de z et la partie imaginaire de z sont des nombres réels.
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a a + ib = a' + ib'  (a ; b) = (a' ; b') 
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{ a = a';b = b'
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Exemple 1
Soit z = 2 + 3j ; z' = j – 5.
Calculer et écrire sous la forme algébrique
z + z' ; z – z' ;
2z - 3z' ;
zz' ;
z2
z + z' = 2 + 3j + j – 5 = – 3 + 4j
z – z' = 2 + 3j – (j – 5) = 2 + 3j – i + 5 = 7 + 2j
2z – 3z' = 2(2 + 3j) – 3(j – 5) = 4 + 6j – 3j + 15 = 19 + 3j
zz' = (2 + 3j)(j – 5) = 2j – 10 + 3j 2 – 15j = 2j – 10 – 3 – 15j = – 13 – 13j
z 2 = (2 + 3j) 2 = 2 2 + 2  2  3j + (3j) 2 = 4 + 12j + 9j 2 = 4 + 12j – 9 = – 5 + 12j
Exemple 2
1. Calculer (3 + 2j)(3 – 2j). En déduire la forme algébrique de Error! (utiliser l’expression conjuguée).
(3 + 2j)(3 – 2j) = 3 2 – (2j) 2 = 9 – (– 4) = 9 + 4 = 13
La forme algébrique de Error! = Error! est Error! – Error! j.
2. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes : Error! ; Error! ; Error!
La forme algébrique de Error! est Error! – Error! j.
La forme algébrique de Error! est Error! + Error! j.
La forme algébrique de Error! est – j.
III- Représentation graphique
Un nombre complexe est formé de deux nombres réels. Or deux nombres réels forment un couple de
coordonnées. Ainsi, si le plan est muni d'un repère orthonormé, on peut repérer tout point par un nombre
complexe.
1. Affixe
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O ; Error! , Error!).
 Au point M de coordonnées (a ; b), on peut associer le nombre complexe z = a + jb.
On dit que z = a + jb est l'affixe de M.

 Au vecteur V de coordonnées (a ; b) , on peut associer le nombre complexe z = a + jb.

On dit que z = a + jb est l'affixe de V .
 Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu'on se
place dans le plan complexe.
Exercice 3
Placer dans le plan complexe, les points d'affixes : z1 = 2 + 3j ; z2 = 3 + j ; z3 = – 1 + 2j ; z4 = 2 – j
z5 = j ; z6 = – j ; z7 = 1 ; z8 = – j – 3 ; z9 = 2z1 – 3 z2 ; z10 = z3 ( z4 – z2).
Propriétés
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Si M a pour affixe z = a + jb, et si M' a pour affixe z' = a' + jb' , avec a, b, a', b' réels, alors :
 le vecteur MM ' a pour affixe z' – z = (a' – a) + (b' – b)j
 OM = OM 
 MM' = MM' 
a 2 b 2
(a'  a) 2  (b'  b) 2
 Le milieu I de [MM'] a pour affixe zI = Error!
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