FICHE METHODE sur le CALCUL ALGEBRIQUE I) A quoi le calcul algébrique ? a) Exemples : . Si on ajoute trois entiers consécutifs alors on obtient un multiple de trois ! Preuve : n + ( n+1) + ( n + 2 ) = 3n + 3 = 3( n + 1 ). Augmenter un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par ( 1 + Error!) Preuve : x + Error! x = x 1 + x Error! = x ( 1 + Error! ) Pour trouver le résultat de la somme des n premiers nombres entiers naturels non nuls S=1+2+3+…+n=? Il suffit de calculer Error! Preuve : S = 1 + 2 + 3 + … + n S = n +( n –1) + ( n – 2 ) + … +1 2S = ( n +1) + ( n +1) + (n +1) + … + ( n +1) = n ( n +1) S = Error! Choisissez un nombre, multilpiez le par 2, ajoutez 3, multilpiez par 4 , retirez 4, divisez par 8 ! Le nombre que vous obtenez est égal au nombre du départ plus un ! Preuve : Error! = Error! = Error!= Error! = Error! = n + 1 . b) Remarques : Certains problèmes consistent en le fait de démontrer q’une chose qui semble fonctionner pour quelques nombres fonctionne pour tous les nombres possibles ! On ne peut vérifier que cette chose fonctionne pour tous les nombres car il y en a une infinité ! On utilise alors le calcul avec une lettre ( ou des lettres ) où cette lettre est supposée être un nombre quelconque ! Le calcul algébrique permet alors de simplifier des formules ( exemples , ), de faire des démonstrations ( et ), … Il est nécessaire de connaître et de savoir appliquer quelques règles de calcul algébrique qui sont données dans ce qui suit. II) Propriétés du calcul algébrique ■ Propriété 1: ( Propriétés de l’addition ) Quels que soient a, b et c des nombres réels . a+b=b+a a+(b+c)=(a+b)+c =a+b+c a+0=0+a=a a + ( -a) = ( -a) + a = 0 Preuve: ( admis ) ■ Propriété 2: ( Propriétés de la multiplication ) Quels que soient a, b et c des nombres réels . ab=ba a(bc)=(ab)c =abc a1=1a=a Error! ( a 0 ) Preuve: ( admis ) ■ Propriété 3 : ( Propriétés de DISTRIBUTIVITE ) Quels que soient a, b et c des nombres réels . a ( b + c ) = ab + ac a ( b – c ) = ab – ac ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Preuve: ( admis ) ■ Propriété 4 : ( Produits remarquables ) Quels que soient a et b des nombres réels . (a + b)² = a² + b² + 2ab (a – b)² = a² + b² – 2ab (a + b)(a – b) = a² – b² Preuve: ( admis )