PROBABILITÉS

PROBABILITÉS.
A. Langage des probabilités.
Définitions.
Exemple.
On appelle expérience aléatoire une expérience dont On lance un dé à six faces et l’on s’intéresse au
les résultats dépendent du hasard.
nombre obtenu sur la face supérieure.
Chaque résultat envisageable d’une
aléatoire est appelé une éventualité.
expérience Les éventualités, c’est-à-dire les résultats possibles
sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On appelle univers, et l’on note en général Ω, L’univers est l’ensemble des six résultats possibles.
l’ensemble des éventualités d’une expérience
Ici Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
aléatoire.
Un événement est une partie de l’univers, c’est-à-dire
un ensemble d’éventualités.
Si une éventualité appartient à un événement, on dit
qu’elle réalise cet événement.
« Obtenir un nombre pair » est un événement. Pour le
décrire symboliquement on lui donne un nom, par
exemple P et on écrit : P = {2, 4, 6}.
L’éventualité « obtenir un 6 » réalise l’événement
« obtenir un nombre pair » car 6  P.
Un événement élémentaire est un événement qui ne L’événement « obtenir un 4 » est un événement
contient qu’une éventualité.
élémentaire.
On dit qu’un événement est l’événement contraire de L’événement contraire de P est l’événement
l ‘événement A, et on le note A , si il contient toutes P = {1, 3, 5}, c’est-à-dire l’événement « obtenir
les éventualités ne réalisant pas A.
un nombre impair »
Des événement sont incompatibles ou disjoints si leur Les événements A : « obtenir 1 ou 2 » et B : « obtenir
intersection est vide, c’est-à-dire si aucune éventualité un multiple de 3 » sont incompatibles car : A = {1, 2},
ne réalise simultanément les deux évènements.
B = {3, 6} et A  B = .
Remarque. Dans tout ce qui suit les univers considérés ne contiendront qu’un nombre fini
d’éventualités.
Exercice. Dans un jeu de cartes, on garde les valets (V), les dames (D) et les rois (R) des quatre
couleurs (trèfle (T), carreau (K), cœur (C) et pique (P)) et on retire du jeu les autres cartes.
On tire une carte dans ce paquet. Écrire l’univers correspondant à cette expérience aléatoire.
Combien y a-t-il d’événements élémentaires ?
On considère l’événement A : « la carte tirée est un roi » et l’événement B : « la carte tirée est
un carreau ». Écrire sous forme d’ensemble ces événements.
Écrire sous forme d’ensemble et définir par une phrase les événements suivants :
A  B, A  B, A , B , A  B , A  B , A  B , A  B .
B. Probabilité sur un univers fini.
B.1. Définition.
La fréquence d’un résultat lors d’une expérience aléatoire semble être relativement stable
lorsqu’on répète un grand nombre de fois cette expérience. Remarquons que :
 d’une part, une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.
 d’autre part, que la fréquence d’un événement est la somme des fréquences des
éventualités qui le réalisent.
Définition. Soit Ω, un univers fini.
Exemple. Lancer d’un dé équilibré à six faces.
On dit que Ω est un univers probabilisé si l’on La fréquence d’apparition de chacune des faces, si l’on
définit une application p : P (Ω)  [0 ; 1] telle que : répète un grand nombre de fois l’expérience est
sensiblement la même.
 p(Ω) = 1
Définissons la probabilité p qui à chaque événement
 quels que soient les événement incompatibles
élémentaire, associe le même nombre, compris entre 0 et
A et B : p(AB) = p(A) + p(B)
1:
Cette dernière propriété, dite propriété d’additivité  d’une part :
est généralisable à un nombre quelconque p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6})
d’évènements incompatibles deux à deux.
 d’autre part :
p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) + p({5}) + p({6}) = 1
P (Ω) désigne l’ensemble des parties de Ω.
On en déduit que la probabilité de chacun des
événements doit être égal à Error! .
Remarque. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des évènements
élémentaires qui le composent.
Exercice. On utilise un dé à six faces, pipé de la façon suivante : la probabilité d’obtenir un
nombre impair est le tiers de celle d’obtenir un nombre pair. Les trois nombres impairs ont la
même probabilité de sortie. Les trois nombres pairs également.
1° Déterminer, pour l’expérience consistant à lancer ce dé et à regarder le nombre inscrit sur la
face supérieure, la probabilité de chaque événement élémentaire.
2° Déterminer les probabilités des évènements suivants :
a) « obtenir un nombre pair » ;
b) « obtenir un multiple de 3 » ;
c) « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ».
B.2. Propriétés d’une probabilité.
Soit Ω un univers fini muni d’une probabilité p. Pour tout événement A, pour tout évènement B
on a :

0  p(A)  1.

p( A ) = 1 - p(A).

p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB).
Exercice. Une usine fabrique des pièces en grande série. Ces pièces sont suceptibles d’avoir
deux types de défaut. Lors d’un contrôle de fabrication le défaut A apparaît sur 3 % des pièces,
le défaut B sur 5 % des pièces et 0,15 % des pièces ont les deux défauts.
On considère que la fréquence des défauts est stable et qu’en conséquence, la probabilité
qu’une pièce prise au hasard présente le défaut A est 0,03, la probabilité qu’elle présente le
défaut B est 0,05 et la probabilité qu’elle présente les deux défaut est 0,0015.
Une pièce doit être éliminée de la production si elle présente au moins un défaut. Quelle est la
probabilité qu’une pièce prise au hasard soit à éliminer ?
B.3. Cas d’équiprobabilité.
Soit Ω un univers fini muni d’une probabilité p. On dit qu’il y a équiprobabilité ou qu’on se
trouve dans une situation d’équiprobabilité si tout les événements ont la même probabilité.
Exemple. On tire une carte au hasard dans un paquet de 32 cartes.
Définir l’univers Ω.
Définir la probabilité sur cet univers sachant que toutes les cartes ont la même probabilité
d’être tirées.
Quelle est la probabilité de l’événement A : « obtenir un roi ».
Remarque. Dans le cas de l’équiprobabilité si l’univers Ω comporte n éléments, la probabilité
de chaque événement élémentaire est Error! .
Si A est un événement quelconque, la probabilité de A est égale au quotient du nombre
d’éléments de A par le nombre d’éléments de l’univers Ω.
p (A) = Error!.
C. Variable aléatoire.
C.1. Variable aléatoire et loi de probabilité.
Considérons une épreuve à issues numériques : x1, x2, … xr.
Ces nombres sont les valeurs d’une grandeur que l’on note X et qu’on appelle variable aléatoire.
Définition.
une variable aléatoire est une application qui à chaque issue possible associe un nombre.
X:Ω 
e  xi
xi  X(Ω)
L’urne de Bernoulli qui représente l’épreuve est constituée de boules portant ces différentes valeurs numériques.
La distribution de probabilité décrite dans le tableau ci-dessous prend alors le nom de loi de probabilité de X.
valeurs possibles
x1
x2
...
xr
probabilité
p1
p2
...
pr
On la représente souvent par un diagramme en bâton, où les valeurs possibles de X sont placées en abscisses
et leurs probabilités en ordonnées.
Remarque : Notons LX la loi de probabilité de la variable aléatoire X ;
LX : X(Ω)  [0 ; 1]
xi  pi
Dans votre livre les pi sont notés p(« X = xi »)
Exemple 1. Dans une tombola, on a préparé 100 enveloppes :
Une enveloppe contient 20 €, cinq enveloppes contiennent 10 €, dix enveloppes contiennent 5 €, les autres sont
vides. On note X son gain brut.
0,9
0,8
0,7
0,6
valeurs possibles
du gain brut
0
5
10
20
probabilité
0,84
0,1
0,05
0,01
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
5
10
20
Exemple 2. Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes. On tire deux boules au hasard
successivement et sans remise. On note X le nombre de boules rouges tirées.
0,6
0,5
0,4
valeur possible du
nombre de boules
rouges
0
probabilité
0,1
1
2
0,3
0,2
0,6
0,3
0,1
0
0
1
C.3. Fonction de répartition.
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω muni d’une probabilité p.
2
On appelle fonction de répartition de X, la fonction F définie sur  par : F(x) = p(« X ≤ x »).
Exercice.
Dessiner les courbes représentatives des fonctions de répartitions des exemples 1 et 2.
Remarque. Ce sont des fonctions en escalier.
C.4. Espérance mathématique.
Définition.
L’espérance d’une loi de probabilité est la moyenne de ses valeurs possibles, pondérées
(coefficientée) par leurs probabilités d’apparition.
Si la grandeur numérique étudiée est notée X, l’espérance est notée E(X) et est appelée
espérance de X.
r
E( X ) 
x p
i 1
i
i
r
p
i 1
r
  xi pi puisque
i 1
r
p
i 1
i
 1.
i
Exemple 1. Cas de la tombola, X étant le gain brut :
E ( X )  0  0,84  5  0,1  10  0, 05  20  0, 01  1, 2.
L’espérance de gain brut est 1,2 €. Le gain brut espéré en moyenne est 1,2 €..
Exemple 2. Cas de l’urne, X est le nombre de boules rouges :
E ( X )  0  0, 01  1  0, 6  2  0,3  1, 2.
C.5. Écart-type.
Connaître la valeur μ de E(X) renseigne sur l’ordre de grandeur de la valeur qu’on peut
attendre. Mais cela ne dit rien des fluctuations possibles autour de cette valeur centrale.
Ces fluctuations sont mesurées par les différences xi - μ, qui sont les valeurs possibles de la
quantité X On pourrait envisager d’évaluer la fluctuation moyenne en calculant l’espérance de X – μ mais
cette espérance est nulle :
E(X - μ) = E(X) – μ = μ – μ = 0
Cela signifie que les différences positives xi – μ (correspondant aux valeurs xi supérieures à μ)
compensent les différences négatives (correspondant aux valeurs xi inférieures à μ).
Pour éviter cette compensations, on élève au carré ces différences, c’est-à-dire que l’on
considère la quantité (X –
uite de
prendre la racine carrée du résultat pour rétablir la même unité que X.
Définitions.
L’espérance de X étant μ, on appelle variance de X , l’espérance de (X –
la note V(X) :
V(X) = E[(X - μ)²].
On appelle écart-type de X la racine carrée de sa variance et on le note σ(X) : σ(X) = V(X)
Remarque. On a aussi V(X) = E(X 2) – μ2 en effet :
E[(X - μ)²] = E(X 2 – 2 μX + μ2) = E(X 2 – 2 μX) + μ2 = E(X 2) – E(2 μX) + μ2
= E(X 2) – 2 μE(X) + μ2
= E(X 2) – 2 μ  μ + μ2
= E(X 2) – 2 μ2 + μ2
= E(X 2) – μ2