Exercice 3 : Etude d`un oscillateur - leprof

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Exercice 1 : Pendule simple et énergie
Calculatrice autorisée
Le mouvement d'un pendule a été enregistré à l'aide d'une table à digitaliser reliée à
un ordinateur et disposée verticalement.
Ce pendule est constitué du mobile à coussin d'air de masse m, adapté à la table,
suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible et de masse négligeable devant celle du
mobile. L'autre extrémité du fil est accrochée en un point fixe O. On pourra
assimiler ce pendule à un pendule simple de longueur L.
Le plan vertical du mouvement du pendule est rapporté à un axe horizontal x'x et à
un axe vertical z'z, d'origine G0, orientés comme l'indique la figure ci-dessus.
Données : L = 41 cm ; m = 236 g et g = 9,8 m.s-2.
À l'aide d'un logiciel adapté, on enregistre les différentes positions du centre d'inertie G du mobile. On obtient
la succession de points représentée sur le document 1 en annexe :
1- Etude du mouvement
L'intervalle de temps entre 2 points consécutifs est  = 30 ms .
1.1- Déterminer, dans le système d'axes, les valeurs V3 et V5 des vecteurs vitesse instantanée du centre d'inertie
du mobile aux points G3 et G5. Représenter ces vecteurs à l'échelle : 1 cm 0,1 m.s-1 .[0,75 pt]
1.2- Construire, avec l'origine au point G4, le vecteur V4 = V5 - V3, et déterminer, à l'aide de l'échelle
précédente la valeur V4 du vecteur V4. [0,75 pt]
1.3- Calculer la valeur a4 du vecteur accélération du centre d'inertie au point G4. [0,5 pt]
2- Etude énergétique
2.1- Etude théorique
Rappeler l'expression, en explicitant chaque terme :
2.1.a) de l'énergie cinétique du pendule simple ainsi constitué, [0,25 pt]
2.1.b) de l'énergie potentielle du pendule en fonction de z. Le niveau de référence des énergies potentielles est
choisi à la position d'équilibre. [0,25 pt]
2.1.c) Donner l'expression de l'énergie mécanique totale du pendule. [0,25 pt]
2.2- Exploitation des courbes d'énergie 2.2.a) En justifiant votre choix, attribuer
l'énergie correspondant à chaque type de courbe
ci-après.
[0,75 pt]

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2.2.b) Expliquer brièvement ce qui se passe du point de vue énergétique lors des oscillations. [0,5 pt]
2.3- Etude des oscillations Faire l'analyse dimensionnelle des quatre formules suivantes. En déduire l'expression
de la période propre des petites oscillations d'un pendule simple.
T0 =
L
mg
2
; T0 =
L
g
2
; T0 =
g
L
2
; T0 =
g
L
2
. [1,25pt]
2.4- Dans la réalité, au cours du temps, on constate que les oscillations sont légèrement amorties.
2.4.a) Quelle est l'origine de cet amortissement ? [0,25 pt]
2.4.b) Que devient l'énergie perdue ? [0,25 pt]
ANNEXE
Document 1 :
Exercice 2 : Sur une balançoire
Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes.
Deux enfants, Pierre (10 ans) et Sophie (7 ans) font de la balançoire dans un square.
Pour simplifier l’étude mécanique, le système S1 {Sophie sur le siège, balançoire} peut être modélisé par un
pendule simple de longueur L et de masse m1.
De même, le système S2 {Pierre sur le siège, balançoire} peut être modélisé par un pendule simple de longueur
L et de masse m2 > m1.
Toute l’étude mécanique est effectuée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
Données numériques : longueur du pendule simple L = 1,80 m
distance sol-extrémité du pendule à l’équilibre : h = 0,50 m
intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg-1
Dans les deux premières parties de cet exercice, on vérifiera par une étude mécanique si les intuitions physiques
des enfants sont exactes.
Partie 1 : oscillations libres
Cette première partie permet de savoir si l’affirmation suivante de Pierre est correcte :
« Je suis plus lourd que toi, je me balancerai donc plus rapidement ». Cette affirmation peut être
traduite en langage scientifique par : « la période de mes oscillations sera plus courte ».

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1.1- Dans le cas d’oscillations de faibles amplitudes l’expression de la période propre des oscillations du
système S2 est l’une des trois proposées ci-dessous :
T02 = 2
g
m2
T02 = 2
L
m2
T02 = 2
g
L
En procédant à une analyse dimensionnelle, proposer la seule possible.
1.2- En déduire si l’affirmation de Pierre est correcte ou non.
1.3- Sophie, assise sur la balançoire, est lâchée à la date t0 = 0, sans vitesse initiale, d’un point A d’abscisse
angulaire A = m = 50°. Le repère d’étude choisi est (O,
i
,) : voir figure 1.
k
En considérant qu’il n’y a pas de frottements choisir, en justifiant parmi les quatre courbes suivantes, celle qui
correspond à l’évolution temporelle de l’abscisse angulaire  du système S1 en fonction du temps.
1.4- Mesurer alors la valeur de la période propre T01 du système S1.
Figure 2
Figure 3
Figure 4
Figure 5
Figure 1
m
B
h
i
z
x
O
L
A
+

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Partie 2 : chutes libres
Lors des oscillations, Sophie procède à une expérience en lâchant une bille de métal pendant le mouvement de
façon à ce qu’elle touche le sol loin du point O.
Pierre dit : « pour que la bille aille loin du portique, tu dois la lâcher lorsque tu arrives tout en haut ». Sophie
répond : « non, la bille ira encore plus loin si je la lâche du point le plus bas car c’est là qu’elle va le plus vite ».
Dans toute la suite de l’exercice, on considère que la bille est assimilable à un point matériel de
masse m = 30 g, que la position initiale de la bille avant la chute est confondue avec l’extrémité du pendule
simple et que le mouvement s’effectue sans frottement.
2.1- Quelle est la valeur de vA, vitesse de la bille au point A, si l’on considère que Sophie lâche la bille sans lui
donner d’impulsion ?
2.2- Quelle est la nature du mouvement de la bille après avoir été lâchée du point A ?
2.3- Déterminer l’abscisse x1 de la bille lorsqu’elle atteint le sol.
On étudie maintenant le cas où la bille est lâchée du point B.
2.4- Au cours du mouvement, l’énergie potentielle de pesanteur de la bille est maximale au point A (A = m =
50°) et vaut EPA = 0,34 J.
L’origine des énergies potentielles est choisie à l’altitude du point O tel que z = 0.
En appliquant la loi de conservation de l’énergie mécanique entre A et B, donner l’expression littérale de la
vitesse vB de la bille et montrer que sa valeur est vB = 3,6 m.s –1. 2.5- On a représenté ci-dessous sans souci
d’échelle (figure 6) le vecteur vitesse
B
V
de la bille, lors du second passage de Sophie par la verticale.
B
V
Donner les valeurs des coordonnées vBx et vBz du vecteur vitesse
B
V
.
2.6- En utilisant la seconde loi de Newton, donner les coordonnées ax et az du vecteur accélération
a
de la bille
au cours de sa chute.
2.7- Établir les équations horaires x(t) et z(t) en prenant pour origine des dates l’instant de passage au point B
dans le sens indiqué sur la figure 6.
2.8- Montrer que l’équation de la trajectoire de la bille est de la forme : z(x) = -
2
B
V
g
2
1
x² + h
2.9- Donner l’expression littérale de l’abscisse x2 de la bille lorsqu’elle atteint le sol et calculer sa valeur.
2.10- Comparer x1 et x2 et dire si Sophie a raison dans ce cas d’étude.
Exercice 3 : Etude d’un oscillateur
Notre objectif est d'étudier le mouvement d'une masse m attachée à un support immobile
par un ressort horizontal de constante de raideur k.
1- L'oscillateur harmonique
Une masse est libre de se déplacer sans frottement sur un rail horizontal. Après avoir
écarté la masse de sa position d'équilibre, on la libère sans vitesse initiale.
Figure 6
m
B
h
i
z
x
O
L
A
+

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1.1- Représenter sur le schéma donné en annexe 1 à rendre avec la copie les forces agissant sur la masse m. Le
point O donne l'abscisse du centre de gravité G à la position d'équilibre du système. Dans cette position le
ressort n'est ni étiré ni comprimé.
1.2- En utilisant la deuxième loi de Newton, démontrer que l'équation différentielle du mouvement relative à
l'abscisse x du centre de gravité G du mobile à l'instant t s'écrit :
x
dtxd 2
0
2
2
=0 où
m
k
2
0
On établira cette équation dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
1.3- Montrer que l'expression x(t) = A.sin(0 t + ) est solution de cette équation différentielle.
1.4- On suppose qu'à l'instant initial t = 0 s, l'oscillateur possède une amplitude x0 = 2 cm et une vitesse
s0t
dt
dx
= 0. Déterminer les constantes A et  qui correspondent à ces conditions initiales.
1.5- Exprimer la période propre T0 des oscillations de l'oscillateur en fonction de k et m.
2- Etude énergétique
2.1- Établir l'expression du travail élémentaire W d'une force extérieure appliquée à l'extrémité du ressort pour
un allongement très petit x. Déterminer par méthode graphique ou par intégration le travail effectué W par
cette force pour un allongement x à partir de l'origine O.
2.2- Donner l'expression de l'énergie potentielle élastique du système {masse - ressort} en fonction de
l'allongement x.
2.3- Donner l'expression de l'énergie cinétique de la masse m et de l'énergie totale du système.
2.4- Quelle est l'hypothèse qui permet d'affirmer, dans cet exercice, que l'énergie totale du système reste
constante ? En déduire son expression en fonction k et de l'amplitude maximale x0.
3- application a la molécule de chlorure d'hydrogène
Notre objectif est d'étudier le mouvement de vibration d'une molécule de chlorure d'hydrogène (HCI). Cette
molécule peut-être modélisée par une masse m correspondant à l'atome d'hydrogène, un support immobile
correspondant à l'atome de chlore, les deux parties étant reliées par un ressort de constante de raideur k qui
représente la liaison entre les deux atomes.
3.1- Calculer la période propre T0 pour la molécule de chlorure d'hydrogène sachant que la constante
d'Avogadro NA vaut 6,02.1023 mol–1, que la masse molaire atomique M de l'hydrogène est de 1,00 g.mol–1 et
que la constante de raideur k vaut 510 N.m–1.
3.2- Ce système peut fonctionner comme un résonateur, une onde électromagnétique de fréquence  constituant
son excitateur. Pour quelle valeur de la fréquence de l'onde observera-t-on le phénomène de résonance ?
3.3- Calculer la longueur d'onde dans le vide correspondant à cette fréquence et en déduire dans quel domaine
de radiation est située l'onde excitatrice.
(Célérité de la lumière : c = 3,00.108 m.s–1).
3.4- On remplace l'hydrogène par le deutérium noté
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1
H de masse double par rapport à celle de l'hydrogène ;
que devient la fréquence propre de vibration (ou d'oscillation) ?
ANNEXE
Exercice 4 : La suspension de la 2 CV Citroën
Produite à plus de 5 millions d'exemplaires de 1948 à 1990 par les usines Citroën, la 2 CV présente un système
de suspension dont le schéma simplifié est représenté figure 1 Le rôle de la suspension est d'assurer le confort
x
O
G