Fonctions Hyperboliques - Les

Les fonctions usuelles
I) Fonctions circulaires
A) Définitions des fonctions trigonométriques
Définition
 Dans le chapitre sur les nombres complexes, on a définit :
z  C, ez =
0! n
n
n
z
.
 La fonction cos est définie par cos : x  Re(eix) =
2
ixix ee 
=
0
2
)!2(
)1(
n
n
nn
x
, x  R.
 La fonction sin est définie par sin : x  Im(eix) =
2
ixix ee 
=
0
2
)!12(
)1(
n
n
nn
x
, x  R.
 La fonction tan est définie de façon suivante tan : x  tan x =
x
x
cos
sin
, x  R \{
2
+ k, k  Z}.
 La fonction cotan est définie par cotan : x 
xtan
1
=
x
x
sin
cos
, x  R – {k}k  Z.
Pour les preuves des propriétés suivantes, voir dans le cours sur les nombres complexes :
Propriété
1°) t  R, cos2 t + sin2 t = 1.
4°) cos ( + ) = cos cos - sin sin
cos ( - ) = cos cos + sin sin .
sin ( + ) = sin cos + sin sin
sin ( - ) = sin cos – sin sin
Transformation d’un produit en somme
On a les formules suivantes
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
qpqp
qp
qpqp
qp
et
2
cos
2
sin2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
qpqp
qp
qpqp
qp
Propriété
1°) sin est strictement croissante dans [-
2
,
2
].
2°) cos est strictement décroissante dans [0, ].

3°) tan est strictement croissante dans ]-
2
,
2
[.
4°) cotan est strictement décroissante dans ]0 [.
5°) De plus, elles sont bornées par - 1 et 1 et
x  R, cos2 x + sin2 x = 1.
Preuve
1°) On a :
-
2
 x < x 
2
 -
2
<
2xx 
<
2
 0 <
2xx 
2
.
Or :
sin x – sin x = 2 sin
2xx 
cos
2xx 
.
Mais:
2xx 
 ]-
2
,
2
[  cos
2xx 
> 0
et
2xx 
 ]0,
2
]  sin
2xx 
> 0.
Donc sin x – sin x > 0, et alors:
-
2
 x < x 
2
 sin x < sin x.
Propriété
1°) Les fonctions cos et sin sont continues sur R.
2°) Les fonctions cos et sin sont continûment dérivables sur R et
cos = - sin et sin = cos.
3°) Les fonctions cos et sin sont de classe C sur R et on a :
sin(n)(x) = sin (x + n
2
) et cos(n)(x) = cos (x + n
2
).
4°) cos est une fonction paire et sin une fonction impaire.
Preuve
1°) En deux étapes, on montre d’abord que sin est continue en 0. Pour cela vérifions que :
 > 0,  > 0, |x| <   |sin x| < .
Si  > 1, cette inégalité est toujours pour tout .
Si 0 <   1, posons :  = sin-1   ]0,
2
]. La fonction sin étant strictement croissante dans cet intervalle, on
a :
|x| <   sin |x| < sin  = .
Mais sin |x| = |sin x| car sin est impaire, donc sin est continue en 0.
Par ailleurs, on connaît les formules :

sin x – sin x0 = 2 sin
20
xx 
cos
20
xx 
et cos x – cos x0 = -2sin
20
xx 
sin
20
xx 
.
Par passage à la valeur absolue, il vient :
|sin x – sin x0|  2 |sin
20
xx 
| et |cos x – cos x0|  2 |sin
20
xx 
|.
Comme sin est continue en 0, on obtient finalement :
 > 0,  > 0,|
20
xx 
| <   |sin
20
xx 
| <
2
 |sin x – sin x0| <  et |cos x – cos x0| < .
2°) Pour tout x  R et tout h  R*, calculons :
hxhx sin)sin( 
=
h
h
x
h)
2
cos(
2
sin2 
=
2
2
sin
h
h
cos (x +
2
h
).
Or
0
lim
h
2
2
sin
h
h
= 1, donc
0
lim
h
hxhx sin)sin( 
= cos x.
Par ailleurs, l’application x  cos x = sin (
2
– x) est composée de l’application f : x 
2
– x. On applique
la formule de dérivation des fonctions composée :
cos(x) = (sin o f)(x) = f(x). (sino f)(x) = -cos(
2
– x) = -sin x.
3°) Considérons la propriété P(n) : sin(n)(x) = sin (x + n
2
) et cos(n)(x) = cos (x + n
2
). Il est clair que P(0) et
P(1) sont vraies. Supposons P(n) pour tout n. Calculons :
sin(n + 1)(x) = [sin(n)](x) = cos (x + n
2
) = sin [x + (n + 1)
2
].
Remarque
1°) cos et sin sont solutions de l’équation différentielle : y + y = 0.
2°) On peut étendre les formules d’addition en trigonométrie au champ des complexes. On a :
cos (z + z) =
2
)()( zzizzi ee 
et
cos z cos z  – sin z sin z =
2
iziz ee 
2
zizi ee 
–
iee iziz 2
iee zizi 2
=
4
1
[(eiz + e-iz)(
zi
e
+
zi
e
) + (eiz – e-iz)(
zi
e
–
zi
e
)]
=
2
)()( zzizzi ee 

= cos (z + z).
B) Réciproque des fonctions trigonométriques
Définition
 La fonction sin : [–
2
,
2
]  [–1,1] est continue strictement monotone. Sa restriction à [–
2
,
2
] est donc
une bijection de [–
2
,
2
] dans [-1, 1]. Elle possède donc une réciproque notée Arcsin. On a donc :
y = Arc sin x  y  [–
2
,
2
] et x = sin y.
 On définit arc sin : x  Arc sin x + 2n de [-1, 1] dans R.
Voici un tableau de valeurs :
x
-1
-
2
3
-
2
2
-
2
1
0
2
1
2
2
2
3
1
sin y
Arc sin x
-
2
-
3
-
4
-
6
0
6
4
3
2
y
Propriété
1°) Arc sin est strictement croissante, impaire :
Arc sin (–x) = – Arc sin x
2°) x  [–1,1], sin (Arc sin x) = x
3°) x  [–
2
,
2
], Arcsin (sin x) = x.
Remarque
!!! Mais cette dernière relation est fausse si x appartient à un autre intervalle. Par exemple, on a :
Arc sin (sin
2
7
) = Arc sin[sin (4 –
2
)]
= Arc sin [sin (-
2
)]
= -
2
.
Propriété
La fonction Arc sin est dérivable sur ]-1, 1[ et on a : (Arc sin) x =
2
1
1
x
.
Preuve
On connaît la formule de dérivation pour les fonctions réciproques :
(f-1)(y) =
))((
11yff 
.
Donc

(Arc sin)(x) =
))sin((Arc)(sin 1x
=
)sincos(Arc
1x
=
)sin(Arccos
1
2x
car cos(Arc sin x) > 0
=
)sin(Arcsin1
1
2x
=
2
1
1
x
Remarque
1°) On fera un rapprochement dans la formulation des relations précédentes avec:
x  R+, (
x
)2 = x
y  R+,
2
y
= y.
Mais pour y quelconque dans R, y2 = y:
cos (Arcsin x) =
2
1x
car cos est positif sur [–
2
,
2
], et dans ce cas, cos  =
 2 sin1
.
2°)
x
t
t
02
1
d
= Arc sin x.
Exemple
 On a
arcsin[sin(3
4
)] = arcsin(
2
2
) =
4
.