Démonstration

Fonctions logarithmes
9

1. Introduction :
Rappel :
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur  . De plus
0lim 
x
xe
et
x
xelim
.
Donc d’après le théorème de la bijection, quel que soit le réel k appartenant à
*
, l’équation
kex
a une solution unique dans  notée
kln
et appelée logarithme (népérien) de k .
D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
La fonction définie sur
*
qui, à tout réel
0k
, associe
kln
s’appelle fonction logarithme
(népérien) et est notée ln .
Conséquences immédiates :
 Le domaine de définition de la fonction ln est
*
.
 Pour tout réel
0x
et pour tout réel y,
y
exxy  ln
 Pour tout réel
0x
et pour tout réel y,
yey)ln(
 Pour tout réel
0x
et pour tout réel y,
xe x
ln
*
fonction exponentielle
xy ln
. .
xey
fonction logarithme
0 . .
1
0e
1 . .
ee 
1
2 . . e²
2
1
. .
ee 
2
1
-1 . .
e
e1
1
 Valeurs particulières :
01ln1
0e
1ln
1 eee
2)ln()2exp( 22  ee
2
1
)ln()
2
1
exp(  ee
1)
1
ln(
1
1 ee
e

 Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et
logarithme sont symétriques par rapport à la droite d’équation
xy 
.
Exercice :
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f :
)3ln( 2xxx 
:
La fonction ln étant définie sur
*
,
)(xf
existe si et seulement si
03
2 xx
.
Or
)3(3
2 xxxx
est un trinôme du second degré dont les racines sont 0 et 3 . Il est
donc strictement positif à l’extérieur des racines et négatif ou nul ailleurs .
D’où :
 ;30;
f
D
.
2. Propriétés de la fonction ln :
T
TH HE EO OR RE EM ME E
La fonction ln transforme les produits en sommes :
bababa lnln)(ln,, **   
Démonstration :
Soient a et b deux réels strictement positifs quelconques .
Comme la fonction exponentielle transforme les sommes en produits,
baeee baba 
lnlnlnln
.
On en déduit que
ba lnln 
a pour image
ba
par la fonction exponentielle, donc
inversement
ba
a pour image
ba lnln 
par la fonction ln, c’est-à-dire
que :
baba lnln)(ln 
.
De cette égalité de base, se déduisent d’autres propriétés algébriques :
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E
Pour tout
0a
, pour tout
0b
et pour tout entier naturel n :
1.
a
aln
1
ln 
2.
ba
b
alnlnln 
3.
ananlnln 
4.
ana nlnln 
5.
aa ln
2
1
ln 
et plus généralement
6. Si
2n
,
a
n
a
nln
1
ln 
.

Démonstration :
1. Pour tout
0a
,
1
1 a
a
donc
1ln
1
ln 
a
a
. Or la fonction logarithme
transforme les sommes en produit et
01ln 
. Par conséquent,
0
1
lnln  a a
. D’où :
a
aln
1
ln 
.
2. Pour tous a et b strictement positifs,
b
a
b
a1
, donc , d’après le théorème puis la
propriété 1,
ba
b
a
b
a
b
alnln 1
lnln
1
lnln 
.
3. Soit a un réel strictement positif . Considérons la suite
n
u
de terme général
n
nau ln
. Alors pour tout entier naturel n, d’après le théorème,
n
nnn
nuaaaaaau   lnlnlnlnln 1 1
. Il en découle que
n
u
est une
suite arithmétique de raison
ar ln
et de 1er terme
01lnln 0 auà
; donc pour
tout entier naturel n,
anrnuunln
0
. D’où :
ananlnln 
.
4. Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier naturel n, d’après les propriétés 1
et 3,
ana
a
an
n
nlnln
1
lnln 
.
5. Pour tout réel a strictement positif,
aa 
2
donc
aa lnln 2
, d’où d’après la
propriété 3,
aa lnln2
, ce qui implique que
aa ln
2
1
ln 
.
6. Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier naturel
2n
,
aa n
n
donc
aa n
nlnln 
, d’où d’après la propriété 3,
aan nlnln 
ou encore
a
n
a
nln
1
ln 
.
Exemples :
Exprimer en fonction de
2ln
et de
3ln
,
24ln
,
144
1
ln
,
8ln
,
9
8
ln
:
2ln33ln2ln3ln23ln24ln 33 
3ln22ln432ln)144ln(
144
1
ln 24 
2ln
2
3
2ln
2
1
8ln
2
1
8ln 3
3ln22ln33ln2ln9ln8ln
9
8
ln 23 

Exercice :
Soit
n
u
la suite définie par :
nn uun
eu
3,
9
1
0
. Pour tout entier naturel n, on
pose
9 ln n
nu
v
.
1. Démontrer que la suite
n
v
est géométrique .
2. Exprimer alors
n
v
, puis
n
u
en fonction de n .
1. Pour tout entier naturel n,
n
nn
nn
n
nv
uu
uu
u
v2
1
9
ln
2
1
9
ln
3
ln
9
3
ln
9
ln 1
1
. ceci prouve
que
n
v
est une suite géométrique de raison
2
1
q
.
2. Comme
n
v
est géométrique de raison
2
1
q
et de 1er terme
1ln
9
9
ln
9
ln 0
0
e
e
u
v
, alors pour tout entier naturel n,
n
n
nqvv 
 2
1
0
. On peut alors exprimer
n
u
; en effet , comme
9 ln n
nu
v
,
alors
n
nee
uv
n
 2
1
9
. D’où :
,n
n
eun  2
1
9
3. Etude de la fonction ln :
3.1. Sens de variations de la fonction ln : ____
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E
La fonction ln est strictement croissante sur
*
.
Démonstration :
Soient a et b deux réels tels que
ba 0
.
Raisonnons par l’absurde et supposons donc que
ba lnln 
. Comme la fonction
exponentielle est croissante sur , cette inégalité implique que
ba ee lnln 
, ou encore
que
ba 
. Notre supposition contredit l’hypothèse de la démonstration, cette
supposition est donc fausse . Donc son contraire est vrai, soit
ba lnln 
.
On a ainsi prouvé que pour tous réels a et b,
baba lnln0
. Donc la fonction ln
est strictement croissante sur
*