Chapitre 9 : Equations et Inéquations

Chapitre 9 : Equations et Inéquations
I. Résoudre une équation :
1) Définition :
Def : Résoudre une équation dans IR, c’est trouver tous les nombres réels qui vérifient l’égalité
proposée.
Ces nombres s’ils existent sont les solutions de l’équation.
Prop : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation :
- si l’on ajoute un même nombre aux deux membres de cette équation
- si l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres de cette équation
On dit que ces deux équations sont équivalentes.
Exemple : l’équation 2x  5  3 est équivalente à l’équation 2x  5  1  3  1
Et l’équation 3x  1  7 est équivalente à l’équation 4  3x  1  4  7
2) Equation de références :
Equation
A
Equation du premier degré :
ax  b  0 avec a  0
B
x a
C
x b
Résolution
Une solution unique : x  



2
a  0 : deux solutions a et - a
a  0 : pas de solution
a  0 : une seule solution 0
x  b2
D
Equation produit :
A( x)  B( x)  0
A( x)  0 ou B ( x)  0
E
Equation quotient :
A( x)
0
B( x)
A( x)  0 et B ( x)  0
Exercices du type A : n°12 à 21 page 151
Exercices du type B et C : n°43, 44, 46, 47, 48 page 152
Exercices du type D : n°22 à 37 page 152
Exercices du type E : n°38 à 42 page 151
1
b
a
3) Résolution graphique d’équation :
a) L’équation f ( x)  k (avec k un réel)
On a déjà vu cette méthode Chapitre 5 : III Résolution graphique
Méthode
Le nombre de solution de l’équation f ( x)  k est égal au nombre de
points d’intersection de la courbe Cf et de la droite d.
Les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation f ( x)  k .
Cf
y
d
Exemple
x1 O
x2
x3
x
b) L’équation f ( x)  g ( x) (f et g fonctions données)
Méthode
Le nombre de solution de l’équation f ( x)  g ( x) est égal au nombre de points
d’intersection de la courbe Cf et de la courbe Cg.
Les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation f ( x)  g ( x) .
Cf
Cf
Cg
Cg
Exemples
2
II. Résoudre une inéquation :
1) Définition :
Def : Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble des réels qui est solution de l’inéquation.
Prop : Les règles énoncées sur les inégalités s’appliquent lorsqu’on résout une inéquation.
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :
+(-5)
 3 x  5  2
 3x
 2   5
 3 x  7
7
x
3
÷(-3)
+(-5)
×3
+(-3)
 2x  3
5
3
 2x  3  5  3
 2x
 15  (3)
×3
+(-3)
 2 x  12
÷(-3)
÷(-2)
7

La solution de l’inéquation est :   ; 
3

12
2
x  6
x
÷(-2)
La solution de l’inéquation est :  ;6
2) Signe de ax + b
On a déjà étudié le signe de la fonction affine f(x)=ax + b (Chap 7), on avait le théorème suivant :
Théorème :
Le signe d’une fonction affine f(x)=ax + b est donné, selon le signe de a par les tableaux suivants :
Si a < 0 :
Si a > 0 :
–
–
–
–
+
x
x

Error!


Error!
Variation
Variation
0
0
de f
de f
Signe de
Signe de
0
0
+
–
–
+
f(x)
f(x)
Ce théorème est essentiel pour comprendre le signe de l’expression ax +b, mais en pratique on le
résumera et on l’utilisera sous la forme :
Théorème :
Le signe de ax + b est donné par le tableau suivant :
x
Signe de
ax+b

Signe de (-a)
–
Error!
0

Signe de (a)
3
+

Exemple : à l’aide du théorème précédent, on étudie le signe des expressions suivantes :
a) Signe de 3x-1
1
3x  1  0  3x  1  x 
3
On en déduit :
1
x

3
-
Signe de 3x-1
a 30
et

Le signe de 3 est +
+
0
b) Signe de -3x+4
4 4
 3x  4  0  3x  4  x 

3 3
On en déduit :
4
x

3
+
Signe de -3x+4
a  3  0
et

-
0
Le signe de -3 est -
3) Signe d’un produit
A partir du 2) on peut ainsi étudier le signe d’expression produit de la forme : ax  b  a' x  b'
Exemple : on va étudier le signe de f ( x)  ( x  1)( 2 x  5)
f (x ) est un produit, donc f (x ) est nul si l’un des facteurs est nul :
f ( x)  0 
x  1  0
ou

x 1
ou

x 1
ou
x
Signe de x-1
Signe de 2x+5
Signe de f(x)
Le produit de 2
négatifs est positif
2 x  5  0
2 x  5
5
x
2


+
5
2
0
0

1
+
-
0
0
Le produit
d’un positif et
d’un négatif
est négatif
+
+
+
Signe de 1
est +
Signe de 2 est +
Le produit de 2
positifs est positif
4
On va étudier le signe de f ( x)  (2 x  1)(3x  4)
f (x ) est un produit, donc f (x ) est nul si l’un des facteurs est nul :
f ( x)  0 


 2 x  1  0
 2 x  1
1
x
2
Signe de -2x+1
Signe de 3x+4
Signe de f(x)
Le produit d’un
négatif et d’un
positif est négatif
3x  4
4
x
3
ou
+
-
0
0

1
2
4

3

x
3x  4  0
ou
ou
+
+
+
0
0
Signe de -2
est -
+
-
Signe de 3 est +
Le produit d’un
positif et d’un
négatif est
négatif
Le produit de
2 positifs est
positif
4) Résolution graphique :
On l’a déjà vu au chapitre 5
Les solutions de l’inéquation f ( x)  k sont les
Abscisses des points Cf situés en dessous de la
droite d.
Ici dans l’exemple les solutions est l’ensemble
x1 ; x2   x3 ; x4 
x1
x2
Voir module résolution équation et inéquation.
5
O x3
x4