Chapitre 9 : Equations et Inéquations

1
Chapitre 9 : Equations et Inéquations
I. Résoudre une équation :
1) Définition :
Def : Résoudre une équation dans IR, c’est trouver tous les nombres réels qui vérifient l’égalité
proposée.
Ces nombres s’ils existent sont les solutions de l’équation.
Prop : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation :
- si l’on ajoute un même nombre aux deux membres de cette équation
- si l’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres de cette équation
On dit que ces deux équations sont équivalentes.
Exemple : l’équation
352 x
est équivalente à l’équation
13152 x
Et l’équation
713 x
est équivalente à l’équation
74134  x
2) Equation de références :
Equation
Résolution
A
Equation du premier degré :
0bax
avec
0a
Une solution unique :
a
b
x
B
ax 
2
0a
: deux solutions
a
et -
a
0a
: pas de solution
0a
: une seule solution 0
C
bx 
2
bx 
D
Equation produit :
0)()(  xBxA
0)( xA
ou
0)( xB
E
Equation quotient :
0
)( )(  xB xA
0)( xA
et
0)( xB
Exercices du type A : n°12 à 21 page 151
Exercices du type B et C : n°43, 44, 46, 47, 48 page 152
Exercices du type D : n°22 à 37 page 152
Exercices du type E : n°38 à 42 page 151

2
3) Résolution graphique d’équation :
a) L’équation
kxf )(
(avec k un réel)
On a déjà vu cette méthode Chapitre 5 : III Résolution graphique
Méthode
Le nombre de solution de l’équation
kxf )(
est égal au nombre de
points d’intersection de la courbe Cf et de la droite d.
Les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation
kxf )(
.
Exemple
O
x
y
Cf
d
x1
x2
x3
b) L’équation
)()( xgxf 
(f et g fonctions données)
Méthode
Le nombre de solution de l’équation
)()( xgxf 
est égal au nombre de points
d’intersection de la courbe Cf et de la courbe Cg.
Les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation
)()( xgxf 
.
Exemples
Cf
Cg
Cf
Cg
d

3
II. Résoudre une inéquation :
1) Définition :
Def : Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble des réels qui est solution de l’inéquation.
Prop : Les règles énoncées sur les inégalités s’appliquent lorsqu’on résout une inéquation.
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :
3
7
73
523
253
x
x
x
x
6
2
12
122
)3(152
3532
5
332
x
x
x
x
x
x
La solution de l’inéquation est :
 3
7
;
La solution de l’inéquation est :
6;
2) Signe de ax + b
On a déjà étudié le signe de la fonction affine f(x)=ax + b (Chap 7), on avait le théorème suivant :
Théorème :
Le signe d’une fonction affine f(x)=ax + b est donné, selon le signe de a par les tableaux suivants :
Ce théorème est essentiel pour comprendre le signe de l’expression ax +b, mais en pratique on le
résumera et on l’utilisera sous la forme :
Théorème :
Le signe de ax + b est donné par le tableau suivant :
x
–
Error!
Signe de
ax+b
Signe de (-a)
0
Signe de (a)
+(-5)
+(-5)
÷(-3)
÷(-3)
+(-3)
+(-3)
×3
×3
÷(-2)
÷(-2)
Si a > 0 :
x
–
–
Error!
+
Variation
de f
0
Signe de
f(x)
–
0
+
Si a < 0 :
x
–
–
Error!
+
Variation
de f
0
Signe de
f(x)
+
0
–

4
Exemple : à l’aide du théorème précédent, on étudie le signe des expressions suivantes :
a) Signe de 3x-1
3
1
13013  xxx
et
03 a
On en déduit :
x
3
1
Signe de 3x-1
-
0
+
b) Signe de -3x+4
3
4
3
4
43043   xxx
et
03a
On en déduit :
x
3
4
Signe de -3x+4
+
0
-
3) Signe d’un produit
A partir du 2) on peut ainsi étudier le signe d’expression produit de la forme :
'' bxabax 
Exemple : on va étudier le signe de
)52)(1()(  xxxf
)(xf
est un produit, donc
)(xf
est nul si l’un des facteurs est nul :
2
5
1
521
052010)(
xoux
xoux
xouxxf
x
2
5
1
Signe de x-1
-
-
0
+
Signe de 2x+5
-
0
+
+
Signe de f(x)
+
0
-
0
+
Le signe de 3 est +
Le signe de -3 est -
Signe de 1
est +
Signe de 2 est +
Le produit de 2
positifs est positif
Le produit de 2
négatifs est positif
Le produit
d’un positif et
d’un négatif
est négatif

5
On va étudier le signe de
)43)(12()(  xxxf
)(xf
est un produit, donc
)(xf
est nul si l’un des facteurs est nul :
3
4
2
1
4312
0430120)(
xoux
xoux
xouxxf
x
3
4
2
1
Signe de -2x+1
+
+
0
-
Signe de 3x+4
-
0
+
+
Signe de f(x)
-
0
+
0
-
4) Résolution graphique :
On l’a déjà vu au chapitre 5
Les solutions de l’inéquation
kxf )(
sont les
Abscisses des points Cf situés en dessous de la
droite d.
Ici dans l’exemple les solutions est l’ensemble
4321 ;; xxxx 
Voir module résolution équation et inéquation.
Signe de -2
est -
Signe de 3 est +
Le produit d’un
positif et d’un
négatif est
négatif
Le produit d’un
négatif et d’un
positif est négatif
Le produit de
2 positifs est
positif
O
x1
x2
x3
x4