limites – asymptotes - Liste

RAPPELS DE TRIGONOMETRIE
Valeurs et formules remarquables
x
0
cos x
1
sin x
0

6
3
2
1
2

4
2
2
2
2


cos  x   sin x
2




cos  x    sin x
2


3
1
2
3
2

2
Théorème de la médiane : soit ABC un triangle quelconque,
BC 2
et I le milieu de [BC], on a
AB 2  AC 2  2 AI 2 
2
Dans un triangle quelconque, l’équivalent du théorème de
Pythagore est la relation d’Al Kashi : a 2  b 2  c 2  2bc cos 

L’aire d’un triangle est donné par :
1
1
1
S  bc sin   ac sin   ab sin 
2
2
2

Dans un repère orthonormal, un cercle de centre x 0 ; y 0  et de
rayon R a pour équation :
tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan a  b  
1  tan a tan b
tan a  b  
cos2a   cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2 sin 2 a
sin 2a  2 sin a cos a
On en déduit :
sin  sin  sin 


a
b
c
 x  x 0 2   y  y 0 2  R 2
DERIVEE  PRIMITIVE
u
Formules de linéarisation
cos x  cos   x   2  ou x   2 
sin x  sin   x   2  ou x    2 

1
Formules d’addition
Résolution d’équations

0


sin   x   cos x
2




sin   x   cos x
2

cosa  b  cos a cos b  sin a sin b
cosa  b  cos a cos b  sin a sin b
sin a  b  sin a cos b  cos a sin b
sin a  b  sin a cos b  cos a sin b
RAPPELS DE GEOMETRIE
u
u
u
u
2
u
u e u
v  u .u 
u nu
nu n 1u 
1
 1  tan 2 x
2
cos x
cosax  b
sin ax  b
2 u
ln u

1
u
eu
v  u 
u n 1
n 1
un
tan x
sin ax  b 
a
cosax  b 

a
1/10
Notations trigonométriques et exponentielles
COMPLEXES
Equation du second degré
z  r cos   i sin   est la forme trigonométrique d’un complexe. On a
Re( z )  r cos  et Im( z )  r sin  . z  re i est la forme exponentielle.
az²  bz  c  0
Formule de Moivre :
e 
Formules d’Euler
cos  
z1 
b  
  b²  4ac
b 
et z 2 
2a
2a
az ²  bz  c  a( z  z1 )( z  z 2 )
i
:
n
 e in
e i  e i
2
et
sin  
e i  e i
2i
Utilisation en géométrie
Module
 
Considérons trois points distincts A, B et C dans un repère O, i , j .
z  x²  y ² est la longueur qui sépare l’origine et le point d’affixe z.
zz '  z . z '
z  z'  z  z' (inégalité triangulaire)
z
z

z' z'

z

zI 

Conjugué
Le conjugué de z  x  iy est z  x  iy . On a les relations :

z. z  x ²  y ²
z.z'  z.z'
Re( z ) 
zz
2

1
z

z z²
z z
 
 z'  z'
Im( z ) 
zz
2

Arguments
argzz '  arg z  arg z'
arg( z )  n arg z
n
AB
 z B  z A  ( x B  x A )  i( y B  y A ) donne l’affixe de AB .
z A  zB
avec I le milieu de [AB].
2
az  bz B
avec G le barycentre de
zG  A
ab
AB; AC  argz
A; a, B; b .
 z  zA 
2 
 z A   argz B  z A   arg C
 zB  z A 
 z  zA 
  02 
AB et AC sont colinéaires  arg C
z

z
A 
 B
C
 z  zA  
  2 
AB et AC sont orthogonaux  arg C
 zB  z A  2
Transformations
z
arg    arg z  arg z '
 z' 
arg(  z )  arg z  




M(z)  M'(z+a) est la translation de vecteur v (a).
M(z)  M  ze i est la rotation de centre O et d'angle  .
z  z A  r définit le cercle de centre Az A  et de rayon r.


2/10
LIMITES – ASYMPTOTES
Formes indéterminées
DERIVEE
Nombre dérivé
    : factorisation du terme dominant (+ haut degré).
 : factorisation du terme dominant, simplification.

0 : factorisation du terme tendant vers 0, simplification.
0
0   : peut en général se ramener à   ou 0 0 .
Si des racines carrées interviennent, on pourra multiplier par la
quantité « conjuguée ».
f ' ( x 0 )  lim
h 0
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f ( x)  f ( x 0 )
 lim
x  x0
h
x  x0
Pour que f soit dérivable en x 0 , il faut que les nombres dérivés à
gauche et à droite de x 0 soient finis et égaux. La tangente au point
d'abscisse x 0 a pour équation
y  f ' ( x 0 )( x  x 0 )  f ( x 0 )
Propriétés
Bijection


g ( x)  f ( x)  h( x) et lim g ( x)  lim h( x)  l  lim f ( x)  l

lim f ( x)  b et lim g ( y)  l  lim g  f ( x)  l
f est dérivable est strictement croissante sur [a;b] donc f réalise une
bijection de [a;b] sur  f (a); f (b) et pour tout  de  f (a); f (b)
l’équation f (x )   admet une solution unique dans [a;b].
f ( x)  l  g ( x) et lim g ( x)  0  lim f ( x)  l
xa
y b
xa
Limites usuelles
La limite d'une fonction polynôme en   ou en   est la limite du
terme dominant. La limite d'une fonction rationnelle en   ou en  
est la limite du quotient des termes dominants du numérateur et du
dénominateur.
sin x
cos x  1
lim
 1 et lim
0
x0
x 0
x
x
Asymptotes



lim f ( x)    asymptote verticale d'équation x=a
xa
lim f ( x)  b  asymptote horizontale d'équation y=b
x  
lim f ( x)  (ax  b)  0  asymptote oblique d'équation y=ax+b
Inégalités des accroissements finis
f est dérivable sur [a;b] et pour tout x de [a;b] on a :
 m  f'(x)  M  m(b-a)  f(b)-f(a)  M(b-a)
 |f’(x)|  M  |f(b)-f(a)|  M |b-a|
Position de la courbe par rapport à la tangente
La position de (C) la courbe représentative de f par rapport à (T) la
courbe représentative de g est donnée par le signe de h(x)=f(x)-g(x)
h>0 : (C) est au dessus de (G)
h<0 : (C) est au dessous (G)
h=0 : intersection des courbes (C) et (G)
x  
3/10
RECURRENCE
FONCTION PUISSANCES
Soit une propriété P dépendant d’un entier n et n 0 un entier fixé.
- Initialisation :
Si P(n 0 ) est vraie,
- Transmission :
et si P (n )  P ( n  1) pour tout n  n 0 ,
- Conclusion :
alors P (n ) est vraie pour tout entier n  n 0 .
f ( x)  x   e  ln x est définie et dérivable sur 0; . La dérivée
f ( x)  .x  1 est du même signe que  d’où la monotonie de f.
Pour   0 :
ln x
0
x   x 
lim
lim x  e  x  0
x 
ex
 
x  x
lim
LOGARITHME NEPERIEN




ln est une bijection strictement croissante de 0; sur  ;

ln x  1
ln x
ln  u   u
lim
1
lim n  0 n  0
x

0
x  x
u
x
ln( a n ) = n. ln a
1
ln a = ln a
2
ln( a.b) = ln a + ln b
a
ln   = ln a - ln b
b
PARITE / SYMETRIE


f est paire  f est centré en 0 et f(-x)=f(x)
f est impaire  f est centré en 0 et f(-x)=-f(x)

( x 0 ; y 0 ) est centre de symétrie  f ( x 0  h)  f ( x 0  h)  2 y 0

x  x 0 est axe de symétrie  f ( x0  h)  f ( x0  h)
FONCTION EXPONENTIELLE

exp est une bijection strictement croissante de  ; sur 0;

e   u .e

e a b = e a . e b
u
u
ex 1
1
x 0
x
lim
lim
x  
 
e na = e a
n
xn
0
ex
e a b =
n  0
EQUATIONS DIFFERENTIELLES

y   ay a pour solutions l'ensemble des fonctions définies par
f ( x)  k.e ax avec a et k des réels. La solution de l’équation
différentielle vérifiant la condition initiale y( x 0 )  y 0 est la
ea
eb
fonction définie par f ( x)  y 0 .e x  x0 .

y    2 y  0 a pour solutions l'ensemble des fonctions définies
par f ( x)  A cos  .x  B sin  . y avec  , A et B des réels. La
solution de l’équation différentielle vérifiant la condition initiale
y( x 0 )  y 0 est la fonction définie par y ( x 0 )  y 0 .
4/10
INTEGRALES
Intégration par parties

Définition


b
a
x
a
b
a
u(t ).v (t )dt  u(t ).v(t )a   u (t ).v(t )dt
b
b
a
f (t )dt  F (t )a  F (b)  F (a) est l’intégrale de f entre a et b.
Calcul de volumes
f (t )dt est la primitive de f qui s'annule en a.
Pour un solide dont l'intersection avec le plan de cote z a pour aire
S(z), le volume entre les plans de cote a et b est donné par :
b
Si pour tout x  a; b on a f ( x)  g ( x) , alors l'aire de la partie du plan
comprise entre les deux courbes et les droites d'équations x=a et x=b
est donnée en unité d'aire par
b
V   S ( z )dz
a
 g (t )  f (t )dt .
b
a
SUITES
Propriétés
b
a



f est paire 

f est impaire 



a
f (t )dt   f (t )dt

b

a


a
b
a
b
(kf )(t )dt  k  f (t )dt
a
a

0

a
a

f (t )dt  0
c
b
b
a

a T
a
T
f (t )dt  2 f (t )dt
(relation de Chasles)
( f  g )t dt   f (t )dt   g (t )dt
(linéarité)
b
a
a

0
f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt
b
Suites arithmétiques
a
f (t )dt  2 f (t )dt
f est périodique de période T 
c
b
a
Théorème de la moyenne

|f(x)|  M 

b
a

a
f (t )dt  M(b-a)
i 0
U  U n 1
n(n  1)
r  n 0
2
2
U n 1  U n q

U n  U p  q n p  U n  U 0  q n
q  1  U n  n’a pas de limite et diverge de U 0
0  q  1  U n  converge vers U 0
b
1
  f (t )dt
ba a
f est dérivable sur [a;b] et pour tout x de [a;b] on a :
m  f(x)  M  m(b-a) 
 U i  nU 0 

La valeur moyenne de f est donnée par  

n 1
Suites géométriques

b
U n 1  U n  r
U n  U p  (n  p)r  U n  U 0  nr
q  1  U n  tend vers  

1 q n U 0 U n
 Ui U0 

i 0
1 q
1 q
n 1
f (t )dt  M(b-a)
5/10
Suites monotones, bornées, périodiques
Si la fonction f est croissante sur a; , la suite définie par
U n  f (n) est croissante pour n  a . Attention : la réciproque
est fausse (la suite peut-être croissante alors que la fonction ne
l’est pas).
Une suite à la fois majorée et minorée est appelée suite bornée.
U n  est périodique de période p lorsque U n  p  U n .



Propriétés




On peut changer l'ordre des points pondérés.
On peut multiplier tous les coefficients par un nombre k  0 .
On peut remplacer une partie des points par leur barycentre
partiel affecté de la somme leurs coefficients (associativité).
Les coordonnées ou l’affixe du barycentre sont données par :
  i z i 
n
Limites de suites
zG 

lim U n  l  0  lim U n  l

U n  l  Vn et lim Vn  0  lim U n  l
V n  U n  Wn

lim Vn  lim Wn  l

n  
 lim U n  l (Théorème des gendarmes)
x l
n  
BARYCENTRE




n

  i  0  v est constant, il est indépendant de M.
i 0
i 0
et vérifiant les deux propriétés équivalentes :



  i GAi  0
i 0
n

MG 

  i MAi
i 0
i 0
n
 i
i 0
n
yG 
i 0
n
 i
i 0
Isobarycentre





n
  i  0  il existe un point G appelé barycentre du système,
n
 i
xG 
  i y i 
L'isobarycentre des points Ai 1i  n est le barycentre de ces
points tous affecté du même coefficient non nul.
L’isobarycentre de deux points A et B est le milieu de [AB].
L’isobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravité
du triangle ABC (point d'intersection des médianes).
Ensemble de points
 n
v    i MAi est le vecteur associé à un système de points pondérés.
i 0
n
n
i 0
lim U n  l et lim Vn  l ' et U n  V n  l  l '
lim U n  l et lim Vn  l ' et l  l '  U n  Vn
Les termes de U n  appartiennent à l’intervalle de la fonction f :
lim U n  l et lim f ( x)  l '  lim f (U n )  l '


i 0
  i x i 


MG  r 
dans le plan : cercle de centre G et de rayon r.
dans l’espace : sphère de centre G et de rayon r.
dans le plan : médiatrice de G1G2 
MG1  MG2 
dans l’espace : plan médiateur de G1G2 

MG1  MG 2  0  plan : cercle de diamètre G1G2 
espace : sphère de diamètre G1G2 
n
 i
i 0
6/10
DENOMBREMENT
Propriétés des combinaisons
Cnp  Cnp 1  Cnp11
Cnp  Cnn  p
(somme)
C C
n 1
n
Cardinal d’un ensemble
C  C 1
Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre d’éléments de cet
ensemble. Soit A et B deux événements d’un univers fini  .
Dans tous les cas, Card  A  B  Card  A  Card B  Card  A  B .
Si A et B sont incompatibles, Card  A  B  Card  A  Card B .
Si complémentaires, Card  A  B  Card  A  Card B  Card  .
Pour déterminer les cardinaux de certains ensembles, on s’aide de
diagrammes, tableaux ou arbres ou schémas à case.
Les C np sont données par le triangle de Pascal :
0
n
n
n
1
n
(parité)
n
Arrangements
Un arrangement est une liste ordonnée de p éléments distincts
choisis parmi les n éléments d’un ensemble. On l’utilise par exemple
pour un tirage avec ordre et sans remise.
n!
Anp  n  (n  1)  (n  2)    (n  p  1) 
(n  p)!
Permutations
Les coefficients des égalités remarquables sont ceux du triangle de
Pascal. La formule du binôme de Newton les résume :
a  bn  Cn0 a nb0  Cn1a n1b1  Cn2 a n2b 2    Cnn a 0b n  p0 Cnp a n pb p
n
n
Pour a=b=1, on a un cas particulier et  Cnp  Cn0  Cn1    Cnn  2n
p 0
Une permutation est un arrangement des n éléments de l’ensemble.
On l’utilise par exemple pour trouver tout les anagrammes d’un mot.
Ann  n!  n  (n  1)  (n  2)   1
Le nombre de combinaisons d’un ensemble à n éléments est 2 n .
Introduction aux probabilités
Combinaisons

Une combinaison est une liste non-ordonnée de p éléments choisis
parmi les n éléments d’un ensemble (une combinaison est une partie).
On l’utilise pour un tirage sans ordre et sans remise.
n  (n  1)  (n  2)    (n  p  1) Anp
n!
p
Cn 


p!
p! p! (n  p )!

Les formules pour les probabilités sont similaires à celles du
cardinal (incompatibilité, complémentarité…).
Lorsque tous les éléments d’un univers ont même probabilités,
il y a équiprobabilité. La probabilité pour chaque élément est
Card  A
1
et pour tout événement A, on aura p A 
.
Card  
Card  
7/10
PROBABILITES
Etude d’une variable aléatoire

Probabilités conditionnelles
A et B sont deux événements et pB  0 . La probabilité conditionnelle
de A sachant que B est déjà réalisée est définie se note :
p A  B 
 p A  B  p A B pB
p A B  
p B 
A et B sont indépendants lorsque p A  B  p A pB . On a donc :
p A B  p A et pB A  pB
On détermine la loi de probabilité de X en trouvant toutes les
probabilités des événements associant une partie de l’univers
aux différentes valeurs prises par la variable aléatoire.
xi
x1
x2

xn
pi
p1
p2

pn
n
p
i 1
i
 p1  p 2    p n  1

La fonction de répartition est définie par F ( x)  p X  xi 
pour tout réel x. C’est une fonction en escalier qui présente des
« sauts ». Elle est croissante, minorée par 0 et majorée par 1.

L’espérance mathématique, ou moyenne de X, est définie par :
n
E  X    xi p i  x1 p1  x 2 p 2    x n p n
Arbres pondérés
La somme des probabilités des
branches issues d’un même nœud
est toujours égale à 1.
La probabilité d’un chemin est le
produit des probabilités des
branches de ce chemin.
La probabilité d’un événement est
la somme des probabilités
conduisant à cet événement.
i 1

La variance de la variable aléatoire est un réel positif défini par :
n
n

2
2
V  X    p i x i  E ( X )     x i2 p i   E  X 
i 1
 i 1


L’écart type de X est le nombre réel positif défini par :
 (X )  V (X )
Schéma de Bernoulli
Variable aléatoire
Une variable aléatoire X est une application de l’univers  dans R.
X :   1 , 2 ,, n   X   x1, x2 ,, xn 
X
 x i  est l’ensemble des éléments de  qui ont pour image x i .
La probabilité de l’événement  X  x i  est noté p X  xi   p i .
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant
que deux issues : le succès ou l’échec. Un schéma de Bernoulli est la
répétition n fois, de façon indépendante, d’une épreuve de Bernoulli.
La loi binomiale permet de calculer la probabilité d’obtenir k succès.
Soit p la probabilité du succès à chaque épreuve et X la variable
aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des n épreuves :
nk
Pk  Cnk  p k  1  p 
8/10
PRODUITS SCALAIRE - VECTORIEL
Produit vectoriel

Produit scalaire


OA  OB  OA  OB  sin  AOB 
O; OA; OB; OC  est une base directe
Le produit scalaire est une valeur numérique réelle. Soit H le
projeté orthogonal du point B sur la droite OA  :

OA  OB  OA  OH  OA  OB  cos  AOB 

   
u v  v u
ku v  k u  v 

      
u  v  w  u  v  u  w

u

u  v   u  v   u 2  v
2


 
 u 2  u  u u
 
u v
2

 u
2
 
u v 
2
 2
 
 v  2u  v 
2 2  
u  v  u v
 
 
 
u  v  u v  0  u  v
2

 u

  


u  v  0  u et v sont colinéaires.

AB  AC  0  A, B, C sont alignés.
2

 v
2

Un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal
à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur
normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.

L’ensemble des points M de l’espace tel que AM u  0 est le plan
 
passant par A et de vecteur normal u  0 .
Un repère est dit positif ou direct lorsque ses vecteurs unitaires
respectent la règle des trois doigts de main DROITE.


Soit u x; y; z  et v x ; y ; z  dans un repère orthonormal, on a :
 
u  v  xx   yy   zz 

u  x2  y2  z 2
Orientation de l’espace
      
u  v  w  u  v  u  w
Expression analytique

2
ku   v  k u  v 
2
Orthogonalité dans l’espace

 
 
u  v  v  u 
Colinéarité et alignement
Norme et produit scalaire

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur
normal au plan formé par les deux autres vecteurs :

y
X 
z


z
 
u  v Y 

x

x

Z  y


y
 yz   zy  
z


z
 zx   xz  

x

x

 xy   yx  
y




 
u  v   yz   zy i  zx   xz  j  xy   yx k

La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire
du parallélogramme construit à partir de ces vecteurs. L’aire du
triangle ABC est donc égale à la moitié de cette norme.
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COURBES PARAMETREES
Vecteur dérivé en un point

S’il n’est pas nul, le vecteur dérivé vt 0  f (t 0 ); g (t 0 )  est un
vecteur directeur de la tangente à la courbe en M t0  .

f (t 0 )  0  la courbe admet une tangente verticale en M t0  .
g (t 0 )  0  la courbe admet une tangente horizontale en M t0  .
Représentation paramétrique d’une droite
Le système d’équations paramétriques de la droite (D) passant par le

point Ax A ; y A ; z A  et de vecteur directeur u a; b; c  détermine
l’appartenance ou non d’un point de l’espace à la droite.
 x  ta  x A

M x; y; z  D   y  tb  y A
 z  tc  z
A


Les coefficients du système sont
les coordonnées d’un vecteur
directeur de la droite.
Equation cartésienne d’un plan
L’équation cartésienne du plan (P) passant par le point Ax A ; y A ; z A 

et de vecteur normal na; b; c  détermine l’appartenance ou non d’un
point de l’espace au plan.
M x; y; z  P  AM  n  0
ax  x A   b y  y A   cz  z A   0
ax  by  cz  d  0
Les coefficients de l’équation
sont les coordonnées d’un
vecteur normal au plan.
Astuce : si on connaît trois points non alignés du plan (P), on pourra
se servir du produit vectoriel pour trouver un vecteur normal à (P).
Courbes paramétrées

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle donné.
Lorsque la variable t décrit cet intervalle, le point M(t) de
coordonnées  f (t ); g (t ) décrit une courbe paramétrée.
 x  f t 
est la représentation paramétrique de la courbe.

 y  g t 
Méthode pour tracer une courbe paramétrique :
- rechercher l’ensemble de définition des fonctions f et g
- réduire le domaine d’étude par périodicité et symétrie
- faire un seul tableau de variation pour f et g
- placer les points remarquables et les tangentes
- joindre dans le sens des t croissants en lissant au mieux
- compléter par les intervalles de symétrie et périodicité.
ThAt’s aLL !
Ces fiches de cours ont été réalisées par
SoULiAne <[email protected]>
avec l’aide de quelques livres, du cours du prof
et de l’excellent site http://xmaths.free.fr
Faites attention tout de même et vérifiez toujours avec
le cours de votre prof car je ne suis pas à l’abris des
fautes de frappes !! Merci de me signaler les erreurs
que vous trouverez en m’écrivant à l’adresse ci-dessus.
Ensuite, quand vous aurez le bac, vous pourrez
télécharger les fiches pour le DEUG MIAS sur
http://mathinfo.free.fr (c’est mon site de cours).
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