Statistiques (approches théorique et logicielle) Licence STAPS 2è

Statistiques (approches théorique et logicielle)
Licence STAPS 2è année (L2)
UFR STAPS de NICE Année Universitaire 2007 / 2008
1
Imed ben Mahmoud
Chapitre 2
LOI DE PROBABILITE
Espace fondamental et évènements
1. Notions de base
Tout d'abord l'évènement élémentaire, est appelé aussi éventualité. Un évènement
élémentaire - il s'en produit un et un seul chaque fois - peut être aussi bien le résultat
d'une expérience que l'on a faite (ou l'observation d'un phénomène dont on ne maîtrise
pas la production) que, avec une formulation de type statistique, le tirage d'un individu
dans une population.
Ensuite l'évènement, ensemble d'évènements élémentaires. Il est bien sûr permis qu'un
évènement soit constitué par un évènement élémentaire tout seul.
Cas limites : l'évènement vide « rien du tout ne s'est passé » qui est donc impossible (et
sa probabilité sera 0), et l'évènement plein « n'importe quoi s'est passé » qui est donc
certain (et sa probabilité sera 1).
Enfin, l'espace fondamental, ensemble de tous les évènements élémentaires possibles,
appelé aussi univers ou univers des possibles.
Tout cela constitue une épreuve, ou expérience aléatoire.
Les notations les plus fréquentes désignent l'espace fondamental par la lettre grecque
majuscule , l'évènement élémentaire générique par la lettre grecque minuscule  (on
écrira donc ), les évènements (élémentaires ou non) par des lettres latines majuscules
(du début de l'alphabet), souvent indicées, A,B,C, ...,Al, A 2, ...,Ai, ...,An, etc.
Pour exprimer qu'un évènement, B par exemple, s'est ou ne s'est pas réalisé, on écrira
B ou B.
2. Probabilités combinatoires
2.1. L'hypothèse d'équiprobabilité
Le principe est le suivant:
• soif  un espace fondamental fini constitué par N évènements élémentaires. On fait
l'hypothèse d'équiprobabilité, dite aussi de probabilités uniformes : on suppose que
tous les évènements élémentaires ont la même probabilité. Si on appelle p la probabilité
d'un évènement élémentaire (quelconque), cette hypothèse entraîne :
P = 1 / N
• soit maintenant A un évènement constitué par la réunion de k évènements élémentaires, on
en déduit:
P(A) = k / N . Cette formule s'énonce souvent:
P(A) = nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
Sont appelés événements élémentaires les différents résultats : pile ou face dans le cas du
lancer d’une pièce ; 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 dans le cas du lancer d’un dé. L’ensemble de ces
événements élémentaires est appelé l’ensemble fondamental ou référentiel que nous noterons
 .
Ainsi dans le cas du lancer d’une pièce,  = {pile, face} ;
dans le cas du lancer d’un dé, = {1,2,3,4,5,6}
Exemple : si A = « le résultat est pair » et B = « le résultat est un multiple de 3 »
A  B = {2,4,6}  {3,6} = {6}

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A  B = {2,4,6}  {3,6} = {2,3,4,6}
Exemple : Jetons un dé : la probabilité d’apparition du 5 est 1/6.
Nous disons : P(5) = nbre de cas favorables = 1
nbre de cas possibles 6
Exemple :
Les organisateurs du Moto-cross de Nice ont organisé une tombola. 5 000 billets ont été émis
pour le tirage d’une moto. Si une personne a acheté 10 billets, la probabilité de gagner la
Moto est, d'après notre définition :
10 = 0,002 soit 2 chances sur 1000.
5000
Une personne qui n'a acheté aucun billet a une probabilité nulle de gagner : 0/5 000 = 0.
Une personne qui aurait acheté tous les billets aurait une probabilité égale à
5000 = 1 de gagner.
5000
3. Opérations sur les évènements
Aussi bien pour travailler sur la situation concrète que l'on modélise, que pour calculer
des probabilités, on doit en permanence combiner des évènements.
Si pour une certaine épreuve, on considère seulement 2 événements possibles et
incompatibles, A et B, B est dit «événement contraire» de A ou «événement
complémentaire» de A et sa probabilité est P(B) = 1 - P(A). Dans ce cas l'événement B
est parfois noté :
Le complémentaire A q u i correspond à la négation logique «non-A» ou encore A (A
prime) :
A A
La réunion A B correspond à la disjonction logique «A ou B » :
( o u )
Attention, le connecteur ou tel qu'il est codifié par la logique mathématique, et
contrairement à certains de ses usages dans la langue courante, est non-exclusif
(exemple : si je tire une carte d'un jeu, l'évènement « trèfle » et l'évènement « Roi » ne
sont pas exclusifs, de sorte que l'évènement « trèfle ou Roi » comprend entre autres
l'évènement élémentaire « Roi de trèfle »).
L'intersection A  B correspond à la conjonction logique «A et B» :
( e t )
Une notation commode, et souvent employée, est AB.
Si A  B =  on dit que les évènements A et B sont disjoints ou incompatibles. On
notera enfin que l'implication logique « A  B » se traduit par l'inclusion A  B.
4. Mesure de probabilité
Le passage d'une description de type ensembliste des phénomènes aléatoires à
l'élaboration d'un véritable modèle mathématique se fait en introduisant les mesures de
probabilité.
Une mesure de probabilité P est une application de l'ensemble des évènements dans
l'intervalle (0, 1), qui satisfait les deux propriétés (ou « axiomes »)
AB=   P ( A B ) = P (A )+ P ( B )
P( ) = 1
Le point essentiel est que le concept mathématique de probabilité modélise les notions
intuitives de proportion et de fréquence. Quand on pose, par exemple, que la probabilité
d'être immunisé contre la tuberculose est de 0,8, on modélise le fait qu'environ 80 % de la
population est immunisée contre la tuberculose. Quand on pose, par exemple, que la

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probabilité d'obtenir le 3 lorsque l'on jette un dé est égale à 1/6, on modélise le fait que,
lorsque l'on répète un très grand nombre de fois le jet d'un dé (non truqué), le quotient du
nombre de fois où l'on a obtenu le 3 sur le nombre total de jets, c'est-à-dire la fréquence du
3, est très voisine de 1/6 (d'autant plus voisine expérimentalement que le nombre de jets est
plus grand).
De ces axiomes découlent les propriétés additives des probabilités, d'usage permanent, qui
sont récapitulées ci-dessous.
• Réunion de deux évènements disjoints
A B= P(A B)=P(A)+P(B)
• Réunion de deux évènements quelconques
P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)
• Probabilité du complémentaire
P( ) = 1-P(A)
Signalons pour terminer l'appellation standard que l'on trouvera dans beaucoup de manuels :
un espace probabilisé désigne un espace fondamental et ses évènements muni d'une
mesure de probabilité.
5. Indépendance en probabilité
On dit que deux évènements A et B sont indépendants si l'on a :
P(A B)=P(A)P(B)
Il arrivera souvent que l'on pose comme hypothèse que des évènements sont indépendants,
ou plus généralement, que deux épreuves sont indépendantes, ce qui signifie que tous les
évènements de la première sont indépendants avec tous les évènements de la seconde. Ce
sera notamment le cas lorsque l'on répètera un lancer de pièce ou de dé, un tirage de
cartes, etc.
Exemple : le loto
Le tirage au hasard dans lequel il est impossible de remettre le sujet au sein de la population.
Si plusieurs événements sont indépendants, la probabilité de leur apparition simultanée est le
produit des probabilités individuelles :
P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C)
Je considère d’abord la probabilité que le premier tirage corresponde à un de mes numéros
cochés :
Nombre de cas favorables : 6
Nombre de cas possibles : 49
Soit : 6/49
Au second tirage, la probabilité qu’un de mes numéros sorte est :
Nombre de cas favorables : 5
Nombre de cas possibles : 48
Et ainsi de suite jusqu’au 6e tirage.
On voit que la probabilité d’avoir coché les 6 bons numéros est :
6/49 * 5/48 * 4/47 * 3/46 * 2/45 * 1/44 = 7,15.10-8
Soit 7 chances sur 100 millions.
6. Probabilités totales
La probabilité de se voir réaliser dans une épreuve l’un ou l’autre de deux événements A et B
ne s’excluant pas mutuellement est égale à la somme des probabilités de A et de B diminuée
de la probabilité d’avoir à la fois A et B :
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B) soit P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Exemple :
Probabilité de tirer dans un jeu de 32 cartes un trèfle ou un valet,

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A : apparition d’un trèfle : 8/32 = 1/4
B : apparition d’un valet : 4/32 = 1/8
AB ou A  B : le valet de trèfle 1/32
La probabilité cherchée est 1/4 +1/8 – 1/32 = 11/32
Exemple :
Une enquête effectuée auprès de 1500 étudiants portant sur les pratiques sportives indique :
- 1182 pratiquent un sport collectif (A)
- 310 pratiquent un sport individuel (B)
- 190 pratiquent autant de sport individuel que collectif (A et B)
a) Si un étudiant est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu'il pratique, soit un sport
collectif, soit un sport individuel?
C'est l'application directe de la formule des probabilités totales:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 1182 + 310 - 190 _ = 1302 = 0,868.
1500 1500 1500 1500
b) Quelle est la probabilité qu'il pratique uniquement un sport individuel?
Pratiquer uniquement un sport individuel correspond à l'événement «pratiquer un sport
individuel et ne pas pratiquer un sport collectif»
Soit BA' = B - (AB). On peut déduire facilement le nombre d’étudiants correspondant à
cette catégorie, soit 310 - 190 = 120 et la probabilité cherchée est P(BA') = 120 = 0,08.
1500
Remarques :
a) Dans le cas où A et B sont incompatibles, l'événement «A et B» est impossible, alors
P(AB) = 0 et la formule des probabilités totales se réduit à P(AB) = P(A) + P(B).
b) La règle du calcul des probabilités totales se généralise au cas de plusieurs événements.
Dans le cas de trois événements A, B, C, on écrit:
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC).
7. Événements liés, probabilité conditionnelle, probabilités composées
7.1. Événements liés
Les probabilités, telles que définies précédemment l'ont toutes été par rapport à l'ensemble de
tous les résultats possibles (espace échantillonnal). On peut également s'intéresser à évaluer la
probabilité d'un événement B, non pas par rapport à l'espace échantillonnal S, mais par
rapport à un autre événement A de S, qui s'est déjà réalisé. Dans ce cas, la réalisation de
l'événement B est conditionnée par la réalisation de l'événement A que nous notons B A. Cet
événement est dit événement lié (B lié par A). Dans l'exemple des probabilités totales, on peut
s'intéresser à évaluer la probabilité qu'un étudiant choisi au hasard, pratique un sport
individuel, sachant qu'il pratique un sport collectif.

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7.2. Probabilité conditionnelle
Soient deux évènements A et B d'un espace , avec P(A) 0. On appelle probabilité
conditionnelle de l'évènement de B par rapport à A, la probabilité de réalisation de
l'événement B «B si A» (ou «B sachant A»), le quotient :
P(B A) = P(A B) , P(A)> 0. de meme P(A B) = P(A B) , P(B) > 0.
P(A) P(B)
On notera que P(A A) = 1.
Un cas particulier est d'autant plus important qu'il peut constituer involontairement un
piège: si B est inclus dans A, alors A B = B et donc P(B A) = P(B)
P(A)
Dans un certain nombre de situations, le contexte et l'interprétation des probabilités
conditionnelles invitent à qualifier les probabilités «ordinaires» de probabilités a priori, et
les probabilités conditionnelles de probabilités a posteriori.
Définition des probabilités conditionnelles
Exemple :
Afin d’orienter ses élèves à une épreuve athlétique (course de fond), un enseignant d’EPS fait
passer un test Cooper à l’ensemble de ses élèves composé de 45 % de garçons et 55 % de
filles. On sait que la probabilité nationale de cette tranche d’âge pour qu’un garçon réussisse à
cette épreuve est de 30 % et celle qu’une fille réussisse est de 20 %. Tirons au hasard un
individu de cette collectivité, on constate qu’il a réussi. Quelle est la probabilité que ce soit un
garçon ?
On peut ici considérer que le référentiel  est l’ensemble des individus de la collectivité. Le
tirage étant au hasard, nous adapterons le principe d’équiprobabilité (sous lequel tous les
événements élémentaires ont la probabilité, ils sont tous équivalents.
On doit ici considérer les événements :
H = « l’individu » choisi « est un homme »
F = « l’individu » choisi « est une femme »
R = « l’individu » choisi « a réussi »
On sait que P(H) = 0,45 et que P(F) = 0,55
Enfin que P(R H) = 0,3 et que P(R F) = 0,2
On cherche à déterminer P(H R)
Par définition : P(H R) = P(HR)
P(R)
Or R = (RH)  (RF)
P(R) = P(RH) + P(RF)
De plus on peut écrire :
P(RH) = P(R H) P(H) =0,3  0,45 = 0,135
De même P(RF) = = P(R F) P(F) = 0,2  0,55 = 0,11
Donc, P(R) = 0,135 + 0,11 = 0,245.
Et P(H R) = 0,135 = 0,551
0,245
Le conditionnement d’événements peut se visualiser par un graphe séquentiel ou arbre :