la geometrie sans cercle dans la formation de la pensee geometrique

LA GEOMETRIE SANS CERCLE DANS LA FORMATION DE LA PENSEE
GEOMETRIQUE
A l’origine j’ai eu l’idée de travailler dans des constructions géométriques à l’aide du bord de la
règle et du compas à pointes sèches. Puis j’expérimentée ceci dans la formation des professeurs et j’ai vu
que ceci est très intéressant pour l’investissement des propriétés géométriques. Je vous propose un extrait
des activités riches pour la formation initiale et continuée des enseignants de mathématiques.
IUFM de Basse-Normandie, IREM de Basse-Normandie, Université de Caen, France
[email protected]
Niveau éducatif: formation des professeurs et licence de mathématiques.
Introduction
Il est intéressant en didactique de la géométrie de proposer des constructions où on interdit certains instruments.
Une idée m’est venue de n’utiliser que le bord de la règle et la possibilité de « transporter » la longueur d’un
segment à l’aide du compas à pointes sèches. Peut être que le fait d’avoir vu mon père qui se servait beaucoup de
ce compas dans son banc de menuisier amateur et qui m’a appris à m’en servir pour résoudre plein de problèmes
dits « pratiques » que l’idée m’est venue. Ceci conduit très vite à sortir des constructions classiques de la
géométrie euclidienne à la règle et au compas, car le tracé d’un cercle effectif est impossible avec les compas à
pointes sèches. C’est ainsi que des questions de constructibilité se posent. Cette géométrie à suscité l’intérêt de
nos collègues, en particulier Danielle Salles Le-Gac et Eric Lemman qui ont contribué à enrichir la gamme des
constructions possibles et qui travaillent aussi sur des problèmes de constructibilité.
Construction de la bissectrice d’un angle
La construction de la bissectrice d’un angle est fondamentale car elle permet de trouver des
droites parallèles et des droites perpendiculaires.
Il s’agit de tracer quatre segments [OA] ;[AB] ; [OA’] ; [A’B’] tous isométriques, à l’aide du
compas à pointes sèches. Ensuite on trace les segments [AB’] et [BA’] qui se coupent en I
Finalement la droite (OI) est la bissectrice cherchée.
Notons au passage que les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles et que ces droites sont
perpendiculaires à la droite bissectrice (OI)

Commentaire : j’ai posé ce « problème de la bissectrice » à des étudiants ayant fait la licence
de mathématiques et à des professeurs et la solution n’est pas trouvée immédiatement. Ceci
nous renseigne sur la possibilité de mettre en situation de recherche les formés avec des
problèmes de construction issus de cette géométrie.
Un autre aspect est le niveau de justification de la solution trouvée. Là aussi c’est un terrain
fertile pour échanger à propos de la notion de « niveau de justification ». S’agit-il de le faire à
la manière d’Euclide ?
A dire prouver tout ce que l’on voit par l’utilisation des propriétés connues de la géométrie.
Par exemple faut-il prouver que le point I existe toujours ?
Construction d’un angle droit de sommet donné A
Etant donnée un point A on veut construire un angle droite ayant pour sommet ce point A.

Solution 1
Pour cela on utilise une des conditions suffisantes pour qu’un quadrilatère soit un rectangle.
« Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et de même point milieu, alors c’est
un rectangle »
Dans cette solution l’image mentale qui est à la base de la construction est le rectangle
Solution 2
Pour cela on utilise la propriété : « l’angle qui a pour sommet un point quelconque A d’un
demi-cercle, autre que les points extrémités du diamètre [BC], et pour côtés les demi-droites
[AB) et [AC) est toujours un angle droit »
Bien que ce soit une propriété du demi-cercle, on peut effectuer la construction sans tracer de
demi-cercle. Pour cela il suffit de tracer un segment quelconque [AO]. Par la suite une droite
quelconque passant par O. Puis deux points B et C sur cette droites tels que AO=OB=OC
Une autre image mentale que peut être utilisée ici est celle de la propriété : « si la médiane
[AO] d’un triangle ABC est telle que AO est la moitié de la longueur du côté opposé à A,
alors le triangle est rectangle en A ».
Construction d’une perpendiculaire à une droite donnée
Etant donnée une droite (d) on se propose de construire une perpendiculaire (p)

On utilise pour cela le fait que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes dans un point
H. C’est ainsi que on trace O et B sur la droite (d) tels que AO=OB
Ensuite on trace un segment quelconque [ON] tel que ON=OA De même un point M tel que
OM=OA. Les angles en M et en N sont droits. On trace les droites (AM) et (BN) qui se
coupent dans un point C Alors les droites (BM) et (AN) sont hauteurs du triangle ABC. Ces
deux hauteurs se coupent en H Alors la droite (CH) est la troisième hauteur du triangle ABC
et elle est perpendiculaire à la droite (d) donnée.
Commentaire : nous avons proposé ce problème de construction formation initiale et continue
et d’une part les stagiaires professeurs ou professeurs expérimentés sont très vite placés en
situation de recherche et ils prennent parfois des figures particulières. En revanche ils ont
trouvé d’autres constructions valides pour ce problème. D’autre part une autre solution qui
utilise les bissectrices et le triangle isocèle, est proposée, dans l’ouvrage « Du dessin perçu à
la figure construite » éditions Ellipses, août 2005, par Ruben Rodriguez Herrera et Danielle
Salles le-Gac
Construction d’une parallèle (d’) à une droite (d) donnée, passant par un point M
donné.
On utilise le théorème de Thalès ou la propriété de la parallèle moyenne dans un triangle

On trace une droite auxiliaire passant par M et sécante à (d) en A
On trace sur cette auxiliaire deux points A’ et C tels que A’A=AM=MC
On trace une autre auxiliaire passant par M et sécante en B à (d)
On trace un point M’ tel que B soit le milieu de [MM’]
On trace un point B’ sur (d) tel que AB=BB’
On trace les droites (B’C) et (A’M’) qui se coupent en D
On trace le point D’ sur la droite (CD) tel que B’D’=B’D
Alors la droite (D’M) est la parallèle à (d) passant par M
Commentaire : nous avons présenté une autre construction dans l’ouvrage cité plus haut.
Construction d’une perpendiculaire à une droite (d) passant par un point M donné.
Nous avons ici pour la première fois à utiliser le caractère constructif, à la manière des « Les
Eléments d’Euclide » de la suite des constructions de cette géométrie.
En effet, on peut raisonner ainsi :
D’abord on trace un perpendiculaire quelconque (p’) à la droite (d) et ensuite une parallèle à
(p’) passant par le point M
Ces deux constructions étant résolues précédemment, elles sont donc possibles dans cette
géométrie. C’est ainsi que la suite de deux constructions permet de résoudre cette nouvelle
construction.
Construction d’un segment ayant pour mesure 1/n par rapport à un segment donnée.
Soit un segment donnée [AB] on veut construire un segment [AC] tel que AC = (1/n) AB ou
bien que nAC=AB