Analogies électromécaniques

Analogies électromécaniques.
Dans tout le problème, g(t) désigne la valeur instantanée de la grandeur g. Si la grandeur g varie sinusoïdalement
g(t) = Gmcos ( t +  ), son amplitude complexe Gmexp j est notée G m .
Ce problème est consacrée aux analogies électromécaniques. Les grandeurs électriques étant de loin plus
facilement modifiables que les grandeurs mécaniques, de nombreuses analogies ont été développées pour simuler
et étudier le comportement de n’importe quel phénomène mécanique ou plus généralement physique.
Partie A.
1. On considère le dispositif mécanique de la figure 1. Une masse m est reliée a un bâti fixe par un
ressort de constante de raideur k et par un amortisseur fluide de coefficient d’amortissement a,
constante positive. Cette masse est de plus, soumise a une force F(t) . La masse, en translation, est
repérée par son abscisse x(t) , comptée à partir de sa position de repos. On rappelle qu’un amortisseur
fluide, placé entre A et B, exerce sur B une force de frottement de composante fx= - a( x B (t )  x A (t ) ) et sur A une force de frottement de composante f’x= a( x B (t )  x A (t ) ).
Le coefficient a peut être réglé par la variation du débit d’huile à travers un trou percé dans le piston
mobile de l’amortisseur.
Fig.1
Fig.2a
Fig.2.b.
1.a. Ecrire l’équation différentielle liant les grandeurs x(t) et F(t); (F(t) = F(t)ex).
1.b. Déterminer l’amplitude complexe des oscillations X m .
1.c. En régime sinusoïdal forcé, le rapport des amplitudes complexes F m / V m , V(t) étant la vitesse de la
masse m, définit l’impédance mécanique Z m de l’oscillateur. Exprimer Z m en fonction des constantes
du dispositif m, k, a.
2. On considère les deux circuits électriques de la figure 2 constitués des éléments : résistances R, R’, bobines
d’inductance L, L’, condensateurs C, C’. Circuit (a) : R, L, C série. Circuit (b) : R’, L’, C’ parallèle. Sur les
schémas, sont figurés les signaux électriques : tensions v(t), v’(t) , intensités i(t) , i"(t).
2.a. Ecrire les équations différentielles relatives à chaque circuit liant les signaux tension et intensité.
2.b. La comparaison des deux équations précédentes permet d’établir une dualité topologique (principe de
Sire de Villard) entre les circuits (a) et (b). Etablir les correspondances entre les grandeurs électriques v,
i, R, L, C de (a) et v’, i’, R’, L’, C’ de (b).
En régime sinusoïdal, si Z désigne l’impédance électrique du dipôle (a), quelle est la grandeur duale du
dipôle (b).
3. Déduire des questions précédentes les grandeurs électriques du circuit (a) (analogie de Maxwell) et du circuit (b)
(analogie de Darrieus) correspondant aux grandeurs mécaniques du système mécanique étudié au 1. Donner la
réponse sous la forme du tableau suivant :
x (t) F(t)
Système mécanique
m
k
a
mx 2 kx 2 Z m
2
2
Elec (a). Analogie de Maxwell
Elec (b). Analogie de Darrieus
Partie B.
1. On considère le dispositif mécanique de la figure 3méca. On note xo(t), l’abscisse de la masse mo et x(t) celle de
la masse m.
1.a. Ecrire deux équations différentielles indépendantes satisfaites par x(t) et xo(t).
Fig.3méca
Fig.3elec
Fig.4
1.b. Dans le cas particulier où la masse mo est négligeable, écrire l’équation différentielle vérifiée par xo(t).
2. On considère le circuit électrique de la figure 3elec, sur laquelle sont figurées les constantes R, L, C et les
signaux électriques v(t), i(t) , io(t).
2.a. Quel est l’équivalent mécanique de ce circuit?
Partie C. Applications.
1.a. Déterminer le circuit électrique équivalent au dispositif mécanique de la figure 4, deux ressorts en
parallèle, de même allongement x, de raideurs k1 , k2.
2. On considère le filtre mécanique résonant à deux cellules de la figure 5.
Figure 5.
Figure 6.
2.a. On considère tout d’abord une seule cellule [m, k1, F(t)]. Comment doit-on modifier les circuits
électriques de la figure 2 pour qu’ils soient équivalents à ce système mécanique ? En régime sinusoïdal
forcé, à la pulsation , établir le rapport des amplitudes complexes de la vitesse V m1 de la masse m1 et
de la force appliquée F m . Exprimer ce rapport H = V m1 / F m en fonction de , m1, k1. Justifier le terme
de filtre résonant.
2.b. Ecrire les deux équations mécaniques du filtre à deux cellules, en régime sinusoïdal forcé, liant les
amplitudes complexe F m , V m1 , V m 2 .
2.c. Transposer les deux équations mécaniques en utilisant l’analogie de Maxwell. Représenter le circuit
correspondant sur lequel on notera les constantes et les signaux électriques.
2.d. Déterminer la fonction de transfert mécanique H = U 1 / F m, du filtre à deux cellules en utilisant
l’équivalent électrique.
3. Un véhicule, de masse M = 4m, est posé sur quatre ressorts et amortisseurs identiques. La figure 6 représente de
façon schématique et partielle, un amortisseur d’un véhicule se déplaçant sur une route horizontale ou ondulée. On
note x(t) l’abscisse de la masse m et xo(t) l’abscisse du point bas de la suspension (x(t) et xo(t) sont des écarts par
rapport à la situation statique). Sur route horizontale, en régime stabilisé, x(t) et xo(t) sont identiquement nuls.
3.a. Montrer que x(t) vérifie une équation différentielle de la forme m x + a x + kx = F(t). Exprimer F(t) en
fonction de xo(t), x o (t ) et des constantes a et k. Commenter la signification de F(t) .
3.b. Le profil de la route est tel que F(t) est une fonction sinusoïdale d’amplitude Fm et de pulsation .
Calculer l’amplitude réelle Vm de la vitesse d’oscillation verticale du véhicule en régime permanent.
3.c. Déterminer la réponse en fréquence H  X m / X mo du système, en régime sinusoïdal, à la pulsation .
On notera o =
k
a

.
,q 
et p 
m
O
2 mk
3.d. Calculer H . Commenter qualitativement la situation particulière où le ressort du système est très raide.
DS5. 98/99.