Analogies électromécaniques.
Dans tout le problème, g(t) désigne la valeur instantanée de la grandeur g. Si la grandeur g varie sinusoïdalement
g(t) = Gmcos ( t + ), son amplitude complexe Gmexp j est notée
.
Ce problème est consacrée aux analogies électromécaniques. Les grandeurs électriques étant de loin plus
facilement modifiables que les grandeurs mécaniques, de nombreuses analogies ont été développées pour simuler
et étudier le comportement de n’importe quel phénomène mécanique ou plus généralement physique.
Partie A.
1. On considère le dispositif mécanique de la figure 1. Une masse m est reliée a un bâti fixe par un
ressort de constante de raideur k et par un amortisseur fluide de coefficient d’amortissement a,
constante positive. Cette masse est de plus, soumise a une force F(t) . La masse, en translation, est
repérée par son abscisse x(t) , comptée à partir de sa position de repos. On rappelle qu’un amortisseur
fluide, placé entre A et B, exerce sur B une force de frottement de composante fx= - a(
) et -
sur A une force de frottement de composante f’x= a(
).
Le coefficient a peut être réglé par la variation du débit d’huile à travers un trou percé dans le piston
mobile de l’amortisseur.
Fig.1 Fig.2a Fig.2.b.
1.a. Ecrire l’équation différentielle liant les grandeurs x(t) et F(t); (F(t) = F(t)ex).
1.b. Déterminer l’amplitude complexe des oscillations
.
1.c. En régime sinusoïdal forcé, le rapport des amplitudes complexes
, V(t) étant la vitesse de la
masse m, définit l’impédance mécanique
de l’oscillateur. Exprimer
en fonction des constantes
du dispositif m, k, a.
2. On considère les deux circuits électriques de la figure 2 constitués des éléments : résistances R, R’, bobines
d’inductance L, L’, condensateurs C, C’. Circuit (a) : R, L, C série. Circuit (b) : R’, L’, C’ parallèle. Sur les
schémas, sont figurés les signaux électriques : tensions v(t), v’(t) , intensités i(t) , i"(t).
2.a. Ecrire les équations différentielles relatives à chaque circuit liant les signaux tension et intensité.
2.b. La comparaison des deux équations précédentes permet d’établir une dualité topologique (principe de
Sire de Villard) entre les circuits (a) et (b). Etablir les correspondances entre les grandeurs électriques v,
i, R, L, C de (a) et v’, i’, R’, L’, C’ de (b).
En régime sinusoïdal, si
désigne l’impédance électrique du dipôle (a), quelle est la grandeur duale du
dipôle (b).
3. Déduire des questions précédentes les grandeurs électriques du circuit (a) (analogie de Maxwell) et du circuit (b)
(analogie de Darrieus) correspondant aux grandeurs mécaniques du système mécanique étudié au 1. Donner la
réponse sous la forme du tableau suivant :
Elec (a). Analogie de Maxwell
Elec (b). Analogie de Darrieus
Partie B.
1. On considère le dispositif mécanique de la figure 3méca. On note xo(t), l’abscisse de la masse mo et x(t) celle de
la masse m.
1.a. Ecrire deux équations différentielles indépendantes satisfaites par x(t) et xo(t).