Ce problème est consacrée aux analogies électromécaniques. Les grandeurs électriques étant de loin
plus facilement modifiables que les grandeurs mécaniques, de nombreuses analogies ont été
développées pour simuler et étudier le comportement de n’importe quel phénomène mécanique ou plus
généralement physique.
Partie A.
On considère le dispositif mécanique de la figure 1. Une masse m est reliée a un bâti fixe par un ressort
de constante de raideur k (ou de souplesse s = 1
k) et par un amortisseur fluide de coefficient
d’amortissement a. Cette masse est de plus, soumise a une force F(t) . La masse, en translation, est
repérée par son abscisse x(t) , comptée à partir de sa position de repos. On rappelle qu’un amortisseur
fluide exerce sur chacune de ses deux extrémités une force de frottement de norme au où a est une
constante positive et où u désigne la norme de la vitesse relative d’une extrémité par rapport à l’autre.
Le coefficient a peut être réglé par la variation du débit d’huile à travers un trou percé dans le piston
mobile de l’amortisseur.
Fig.1 Fig.2a Fig.2.b.
1.a. Ecrire l’équation différentielle liant les grandeurs x(t) et F(t) (F(t) = F(t)ex).
1.b. En régime sinusoïdal forcé, le rapport des amplitudes complexes
, u(t) étant la vitesse de
la masse m, définit l’impédance mécanique
de l’oscillateur. Exprimer
en fonction des
constantes du dispositif m, k, a.
2. On considère les deux circuits électriques de la figure 2 constitués des éléments : résistances R, R’,
bobines d’inductance L, L’, condensateurs C, C’.
Circuit (a) : R, L, C série. Circuit (b) : R’, L’, C’ parallèle. Sur les schémas, sont figurés les signaux
électriques : tensions v(t), v’(t) , intensités i(t) , i"(t).
2.a. Ecrire les équations différentielles relatives à chaque circuit liant les signaux tension et
intensité.
2.b. La comparaison des deux équations précédentes permet d’établir une dualité topologique
(principe de Sire de Villard) entre les circuits (a) et (b). Etablir les correspondances entre les
grandeurs électriques V, I, R, L, C de (a) et V’, I’, R’, L’, C’ de (b).
En régime sinusoïdal, si
désigne l’impédance électrique du dipôle (a), quelle est la grandeur
duale du dipôle (b).
3. Déduire des questions précédentes les grandeurs électriques du circuit (a) (analogie de Maxwell) et
du circuit (b) (analogie de Darrieus) correspondant aux grandeurs mécaniques du système mécanique
étudié au 1. Donner la réponse sous la forme du tableau suivant :
Elec (a).
Analogie de
Maxwell
Elec (b).
Analogie de
Darrieus
Partie B.