angles et trigonometrie - PCSI

Mathématiques
ANGLES ET TRIGONOMETRIE
Utilisation du cercle trigonométrique
En visualisant le cercle trigonométrique, on retrouve rapidement quelques relations simples :

cos(   ) = sin(θ)
2

sin(   ) = cos(θ)
2
cos(    ) = - cos(θ)
sin(    ) = sin(θ) d’où tan(    ) = - tan(θ)
cos(    ) = - cos(θ)
sin(    ) = - sin(θ) d’où tan(    ) = tan(θ)
Quelques valeurs particulières à connaître :
θ (rad)
cos(θ)
sin(θ)
tan(θ)
0
1
0
0
π/6
1/2
3 /2
1/ 3
π/4
1
2 /2
2 /2
π/3
1/2
3 /2
3
π/2
π
0
-1
1
0
→+∞
0
Relations trigonométriques usuelles
Deux relations fondamentales sont :
cos(θ)2 + sin(θ)2 = 1
cos(θ)2 - sin(θ)2 = cos(2θ)
De ces deux relations, on en déduit d’autres relations utiles :
1  cos( 2 )
cos(θ)2 =
2
1

cos(
2 )
sin(θ)2 =
2
sin(2θ) = 2cos(θ)sin(θ)
1
1 + tan(θ)2 =
cos( ) 2
Angles orientés :
Dans certains domaines de la physique, en particulier l’optique, les angles orientés sont
abondamment utilisés ; En outre les bases cylindriques et sphériques sont aussi orientées.
Mathématiques
Définition :
La définition de l'angle formé par une direction quelconque (éventuellement variable) par
rapport à une direction de référence (fixe) est indiquée par une flèche allant de la référence
vers la direction à définir. Par exemple en optique géométrique, la référence est la normale au
dioptre.
Un choix d'orientation dans le plan contenant l'angle, permet ensuite d'obtenir un angle α
algébrique. Sur la figure a l'angle α est positif, et sur la figure b l'angle α est négatif (sa
définition n'a pas changé).
II y a donc deux possibilités d'orientation des angles dans un plan. Pour le choix d'orientation
ci-contre, on parle de sens trigonométrique :
Comment gérer les angles orientés :
Vous commettrez très vite des erreurs de signe si vous n'êtes pas très, très soigneux avec les
angles orientés !
 Pour éviter toute erreur, écrivez la relation angulaire étudiée avec des angles non
orientés, autrement dit avec des valeurs absolues sur chaque angle.
 Ensuite, enlevez les valeurs absolues en gardant un œil sur votre figure : si un angle
est dans le sens trigonométrique (choisi comme sens positif), laissez son signe
inchangé ; s'il est dans le sens horaire, inversez son signe.
Angles et distances :