Fonction de production à plusieurs variables

Fonction de production à plusieurs variables
q  f  L, K  à court terme.
q  f  L, K  à long terme.
Problème du producteur : minimiser les coûts pour un niveau de production donné, on a
alors : Min CT  q   w  L  r  K , et sans constante q0  f  L, K  , alors : Max q  f  L, K  .
La relation CT0  w  L  r  K représente la production maximale pour un niveau de
production donné.
Isoquante : L’ensemble de toutes les combinaisons possibles de 2 facteurs de production qui
sont strictement nécessaire pour produire une quantité d’output donnée  q0  , c’est quasiment
la même chose que la courbe d’indifférence : q  f  L, K   L  K .
Cas n°1 : L  1 et K  1 alors q  1 (A)
1
Cas n°2 : L  et K  2 alors q  1 (B)
2
1
Cas n°3 : L  2 et K 
alors q  1 (C)
2
K
2
(A)
(B)
1
(C)
L
1
2
Caractéristiques des isoquantes :
 Pente négative : substitution possible entre facteurs de production.
 Convexité : taux marginal de substitution technique (TMST) est décroissant.
TMST : Taux marginal de substitution technique du facteur h pour le facteur K évolué en un
point  xh , xk  dans l’espace  h, k  est égal à la quantité du facteur K à laquelle l’entreprise
doit renoncer pour augmenter la quantité du facteur h d’une unité tout en maintenant la
production constante.
f
f
 dL 
 dK  0 , d’où :
 Pente de l’isoquante : q  f  L, K  , d’où : dq 
L
K
f
dK
PmL
TMST 
  L  
 TMST .
f
dL
PmK
K
 Le TMST est décroissant (convexité).
Fonction de production de Cobb-Douglas.
Elle est définie par : q  A  K   L avec A  0 et  ,  0,1 .
q
   A  K   L 1 , et regardons la pente de cette fonction (dérivée de
L
PmL
    1    A  K   L  2  0 .
PmL , elle varie par rapport à L ) :
L


q A K  L
De plus, on a : PML  
 A  K   L 1 , la pente de PML est donc :
L
L
PML
    1  A  K   L  2  0 .
L
D’après ces deux relations, nous pouvons établir que : PmL    PML , d’où PmL  PML .
On a alors : PmL 
PM
Pm
Compléments (proportion fixe) => Léontief :
Dans ce système, on utilise des facteurs de producteur en proportion fixe : q  Min  L, K  .
Substituts parfaits => L’entreprise va utiliser le moins cher des deux facteurs :
On a : q  L  K . Si w  r , alors on utilise seulement L .
Si w  r , alors on utilise seulement K .
q0
q1
q2
q1
q2
q3
Proportion fixe
Substitut parfait
Iso-coûts :
La relation est : CT0  w  L  r  K . Nous pouvons donc en conclure que :
dK
w
  ).
dCT0  W  L  r  K  0 le long d’une droite d’isoucoût. (on a :
dL
r
 Une augmentation du coût de production à prix des facteurs donné entraîne un
déplacement parallèle de la droite d’isocoût
 Une variation relative des prix et des facteurs entraîne une variation de la pente
d’isocoût.
Niveau de production et utilisation des facteurs :
On peut distinguer 2 approches :
1) On choisit le couple  L, K  qui maximise la production pour un niveau de coût donné.
2) On choisit le couple  L, K  qui minimise le coût total pour un niveau de production
donné.
K
R
T : L’optimum.
R et S appartiennent a q0
T
K
*
q1
S
q0
*
L
L
Sentier d’expansion
Il s’agit du lien entre tous les points optimaux  L* , K *  , résultat d’une variation du CT .
K
q2
Sentier d’expansion
q1
q0
L
Rendements d’échelle
C’est l’impact d’une variation dans l’utilisation de deux facteurs sur l’output. On peut
distinguer trois cas possibles (avec   1 ) :
1) Croissants : l’output augmente plus vite que les facteurs :  f  L, K   f   L,  K  .
2) Constants : l’output augmente dans les mêmes proportions que les facteurs :
 f  L, K   f   L,  K  .
3) Décroissants : l’output augmente dans une proportion moindre que les facteurs :
 f  L, K   f   L,  K  .
K
K
K
1,5  q
2q
q
q
L
constant
4q
q
L
décroissant
L
croissant
Pour le graphique 16, on peut donner les définitions suivantes :
SRTC : Coût total à court terme.
LRTC : Coût total à long terme.
SRAC : Coût moyen à court terme.
LRAC : Coût moyen à long terme.
SRMC : Coût marginal à court terme.
LRMC : Coût marginal à long terme.
Coût à long terme : Tous les facteurs sont variables, les coûts sont donc variables.
Graphique du haut, coût total :
On a considérer 3 niveaux de tailles d’usines ( K fixé), on désigne par SRTCi le coût total
avec l’usine i (pour un niveau de production correspondant à q ) .
Si q 0, q1  , alors on choisit la taille de l’usine 1 car le coût total est le plus faible pour ce
niveau de production.
Si q   q1 , q2  , alors on choisit la taille de l’usine 2 car le coût total est le plus faible pour ce
niveau de production.
Si q  q2 , q3  , alors on choisit la taille de l’usine 3 car le coût total est le plus faible pour ce
niveau de production.
Conclusion : Le coût total de production à long terme (lorsque tout est variable) pour un
niveau d’output q est toujours inférieur au coût total de production à court terme.
Graphique du bas, coût moyen :
A q1 , q2 et q3 , on a CMLT  CMCT .
Remarque : le minimum du CMCT ne correspond pas nécessairement au point de tangence
entre le coût moyen long terme et le coût moyen court terme.
Le coût marginal
Le Coût marginal à Long Terme (CmLT) passe par le minimum du Coût Moyen à Long
Terme (CMLT).
Les rendements d’échelle
Dans le cas d’une économie d’échelle (augmentation de la productivité marginale), on
observe un progrès sur le plan de la gestion.
Dans le cas d’une déséconomie d’échelle, on observe des rendements d’échelle décroissants,
un financement, la présence de travailleurs spécialisés et la naissance de la publicité.
La déséconomie entraîne une lourdeur administrative, un manque de flexibilité et une
recherche plus poussée dans la technologie.
Concurrence pure et parfaite :
Dans la réalité, le mot concurrence désigne rivalité, mais en économie, les entreprises sont
passives les unes par rapport aux autres.
La concurrence parfaite en économie est définie par ces 4 hypothèses :
 Atomicité des agents : les agents sont trop petits pour avoir un impact sur le prix.
 Homogénéité des produits et des biens : tous les biens sont substituables, il n’y a pas
de différenciation.
 Mobilité des facteurs :
Mobilité parfaite

Pas de coûts de transfert d’une utilisation à l’autre.
Information complète
Vendeurs et acheteurs possèdent tous la même information.
Il n’y a pas d’incertitude.
A court terme, les firmes sont déjà sur le marché et elle choisit q* qui maximise son profit.
A long terme, les firmes ne sont pas sur le marché et elle choisit q* qui maximise son profit à
long terme. Leur but est de rentrer sur le marché avec q*  0 et non q*  0 .
Maximisation des profits
Les profits sont définis par : profits  RT  q   CT  q    p  q   CT  q  . On note également
que le prix est indépendant de la production.
Prix de marché
P
2 remarques :
- si l’entreprise fixe un prix supérieur à P , l’entreprise perdra tous ses
clients.
- l'entreprise n’a pas intérêt à fixer son prix inférieur à P car elle peut
vendre au prix du marché.
Recette marginale :
C’est la variation de la recette totale résultant de la production d’une unité supplémentaire, on
RT  q 
p
p
a alors : RmQ 
 0.
 p  q   p car le prix est constant, donc on a :
q
q
q
Recette moyenne :
C’est le rapport entre la recette totale et le niveau de production, on a : RM  q  
pq
 p  Rm  q  en concurrence parfaite.
q
La relation caractérisant l’optimum du profit   est :
De plus : RM  q  
Max   q   RT  q   CT  q    p  q   CT  q 
RT  q 
.
q
La solution de cette relation est :
RT  q  CT  q 
 (q)
0

 0  Rm  q   Cm  q  .
q
q
q
Graphique Varian p404
Explications :
A gauche de y* , on a p*  Cm , donc chaque unité supplémentaire rapporte plus que le coût
de production additionnel.
A droite de y* , on a p*  Cm , donc chaque unité supplémentaire rapporte moins que le coût
de production additionnel.
On a :
RT  q    CT  q  

  q   RT  q   Ct  q    q 
   q
  q   RM  CM   q   p  CM  .
q  
q 

Il y a donc 3 cas possibles : -   0 si p  Cm  CM .
-   0 si p  Cm  CM .
-   0 si p  Cm  CM .
La question que nous pouvons nous poser est : Est il intéressant de faire des profits négatifs ?
Cela dépend des conditions :
RT  q    CVT  q  

  q   RT  q   CT  q   RT  q   CVT  q   CFT   q 
   q
  CFT
q  
q


   q   q   p  CVM   CFT .
Donc si p  CVM , alors q  p  CVM   0 donc   q   CFT .
Donc si p  CVM , alors q  p  CVM   0 donc   q   CFT
 q*  0 .
La courbe d’offre d’une entreprise concurrentielle est la partie de la courbe de Cm
qui se situe au-dessus de la courbe du CVM .
q*  0 si p  Min CVM
q*  0 et tel que p  Cm si p  Min CVM .
Seuil de fermeture  p f  : C’est le prix tel que p  Min CVM , ou encore, le seuil à partir
duquel on a q*  0 .
Seuil de rentabilité  pr  : C’est le prix tel que p  Min CM , ou encore, le seuil à partir
duquel on a   0 .
Résumé
Si p  pr , alors q*  0 et   0 .
Si p f  p  pr , alors q*  0 et   CFT .
Si p  p f , alors q*  0 et   CFT
Cas n°1 : ( p  Min CM et   0 ) :
Cm
CM
p
CVM
pr
pf
q*
La zone marquée en pointillés représente la zone de profits.
Nous pouvons faire le même graphique dans le cas n°2 (où nous pourrions observer un
déficit).
Offre concurrentielle à long terme  LT  :
Tous les facteurs sont variables, d’où :
Max   q   RT  q   CTLT  q    p  q   CTLT  q    p  q    q  CM LT  q   .
Nous avons donc :
  q 
 p  CmLT  0  p  CmLT .
q
A court terme : Avec q*  0 : si p  Min CVM , alors   CFT .
Avec q*  0 : si p  Min CVM , alors   CFT .
A long terme : Avec q*  0 : si p  Min CM LT , alors   0 .
Avec q*  0 : si p  Min CM LT , alors   0 .
Equilibre partiel à court terme:
Exemple :  G  3  2 p , fonction croissante
 D  5  3 p , fonction décroissante.
A l'équilibre, on a  D   G , d'où p* 
2
19
et q*  .
5
5
Offre des entreprises individuelles: 3 Cas possibles:
Equilibre partiel à long terme :
 Tous les facteurs peuvent être ajustés.
 Courbe d'offre à long terme, au-dessus du minimum de CM LT .
 On se déplace le long de la courbe d'offre Court Terme vers la courbe d'offre à Long
Terme.
Libre entrées et sorties des entreprises.
 Si   0 , alors il y a entrée des entreprises.
 Si   0 , alors il y a sortie des entreprises.
 A long terme, on a   0 et P égal au minimum de CM LT .
La courbe d'offre à long terme est horizontale.
Offre de la branche à long terme:
 Entrée sur le marché si   0 , alors q est choisi tel que P  Cm LT .
 N'entre pas autrement, alors on a q  0 si P  Min CM LT .
 Indifférence entre entrée ou non-entrée si P  Min CM LT , alors on choisit q  EME .
La libre entrée / sortie
 Pente de l'offre de la branche décroissante avec le nombre d'entreprise dans la branche.
On a   0 , le profit économique est différent du profit comptable (équivalent aux bénéfices).
Coût d'opportunité :
Les facteurs de production sont rémunéré à leur coût d'opportunité (valeur du marché).
Equilibre de Long Terme et entré :
Dans une firme active, on a : q*  EME .
Si on a n entreprise dans la branche, alors on a :  G  n  EME  n   G  Min CM LT  , d'où on
a: n
 G  Min CM LT 
.
EME
L'ajustement à Long Terme se fait sur le nombre d'entreprises dans la branche.
Exemple :
Analyse :
 Equilibre initial : ELT et q (pour chaque firme)
 et
 La hausse de la demande engendre un nouvel équilibre à Court Terme ELT
P  PLT .
 P  Min CM LT    0 .
 Entrée d'entreprises
 Hausse de la production totale
 Les prix reviennent vers PLT  Min CM LT .
  0
Rendements d'échelle à Long Terme :
Rendements croissants :
 Si P  Cm  0 , alors on a :   0 .
 Entrée d'un très grand nombre de firmes.
 Si P  Cm  0 , alors on a : q  0 .
Rendements constants :
CTLT  q
 CM LT  q  C  q .
q
Ce qui caractérise une entreprise individuelle.
  q   q   p  CM   q   p  C  .
On a alors : Cm  CM  C et CTLT 
Si p  C , alors   q   0 .
Si p  C , alors   q   0 .
Si p  C , alors   q   0 .
Taxation à long terme :
 On observe une libre entrée et sortie
 Equilibre de Long Terme ( pas d'entrée ni de sortie si   q   0 ).
 A Court Terme : Le nombre d'entreprise est fixe et l'offre est croissante.
 A Long Terme : L'offre de la branche est horizontale à p  Min CM LT .
Analyse :
 Equilibre initial : PO  PD .
 Imposition d'une taxe au producteur.
 Ce qui entraîne un déplacement parallèle de la courbe d'offre.
On a : Prix de la taxe = CT du montant de la taxe
= PD  PO .
A Long Terme, les consommations seront élastique  toute la taxe sera supportée par le
consommateur.
Si on a : PO  Min CM LT , alors on assiste à la sortie de l'entreprise.