Applications

Chapitre 2 : Dérivation
TES
I. Tangente et nombre dérivé
Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur
ou pente d'une droite particulière à une courbe qu'on appelle la tangente .
Cette pente est aussi appelée nombre dérivé de la fonction f en a . Il est noté f ’(a) .
Quand il existe, on dit que la fonction f est dérivable en a .

f est une fonction définie sur un intervalle I . a et x = a + h sont deux valeurs distinctes de I .
A ( a, f (a)) et M ( x, f (x)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction. Le coefficient directeur de la sécante (AM)
f (x)  f (a)
à la courbe est m 
, c’est le taux de variation de la fonction entre a et x .
xa
M
A
A
A
M
O
a
x
h
Lorsque
O
a
x=a+h
O
h
h
M devient de plus en plus proche de A , mais M  A et si m a une limite quand x tend vers a alors :
cette limite est le coefficient directeur de la tangente en
f (x)  f (a )
Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est f '  a   lim
pourvu que cette limite existe.
x a
xa
f ( a  h)  f ( a )
f '(a)  lim
En posant x = a + h on obtient :
.
h0
h
A à la courbe.
La limite finie de l’accroissement moyen de la fonction f entre a et x = a + h , quand h tend vers 0,
f (x)  f (a)
f ( a  h)  f ( a )
est le nombre dérivé de f en a, noté f '  a   lim
ou f '(a)  lim
x a
h0
xa
h
Ex : Déterminer le nombre dérivé en a = 1 de la fonction f définie par : f (x) =2x2 + 1
Pour trouver ce nombre, à l’aide de la définition d'un nombre dérivé : j’étudie la limite lorsque x tend vers 1 du quotient
f  x   f 1 2x 2  1  3 2x 2  2
 x  1 x  1
x2 1


 2.
 2.
 2.  x  1 donc lorsque x tend vers 1 ,
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
f  x   f 1
le quotient
tend vers 2 × (1 + 1) = 4 , f (x) = 2x2 +1 est dérivable en a = 1 et f ’(1) = 4 .
x 1

Le nombre dérivé de f en a étant le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse a
nous pouvons en déduire l’équation de la tangente à la courbe au point A
Soit A ( a, f (a)) un point de la courbe représentative de la fonction f ,
l’équation de la tangente en A à la courbe est :
y = f ’(a) .( x  a ) + f (a)
Ex : Soit f la fonction définie sur  par f (x) = x 2 . Quelle est l’équation de la tangente au point M d’abscisse  2 ?
le coefficient directeur de la tangente en M est :
f (2  h)  f (2)
(2  h) 2  (2) 2
f '(2)  lim
 lim
h 0
h 0
h
h
2
2
h  4h  4  4
h  4h
 lim
 lim
 lim h  4  4
h 0
h 0
h 0
h
h
l’équation de la tangente en M est : y = f ’( 2)  ( x + 2 ) + f (2)
M
soit y =  4  ( x + 2 ) + 4
O
et y = – 4 x – 4
___________
Remarque : la courbe représentative d’une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a
la courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d’équation x = 0 en 0
or la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 :
0h  0
h
 lim
 
h 0
h 0
h
h
ce n’est pas une limite finie donc la fonction n’est pas dérivable en 0.
en effet lim
O
II. Fonction dérivée
imaginons qu’une fonction f soit dérivable sur tout un ensemble I
cela signifie que tout réel x de cet ensemble I, il existe un nombre dérivé f ’(x)
f est une fonction dérivable sur un ensemble I , la fonction dérivée de la fonction f est la fonction notée f ’
et définie pour tout réel x de I par : f ’ : x
nombre dérivé de f en x = f ’(x)
Théorème : si
une fonction est dérivable en a , alors elle est continue en a
( admis en TES )
Attention la réciproque du théorème est fausse :
soit
f (x)  x f est continue en 0. Montrons que f n’est pas dérivable en 0 .
0h  0
h
f (0  h)  f (0)
 lim
 lim  1
h

0
h

0
h
h
h
0h  0
h
f (0  h)  f (0)
lim (x)  lim
 lim
 lim  1 .
h  0
h 0
h 0
h 0 h
h
h
les limites à droite et à gauche sont différentes, donc f ’(0) n’existe pas .
lim f (x)  lim
h  0
O
h 0
dériver f (x) ou calculer la dérivée de f (x) signifie trouver l’expression de f ’(x) .
dans certains cas nous avons des formules qui permettent le calcul de la dérivée sans utiliser la définition.
III. Dérivées des fonctions usuelles
Fonction
k
x
x2
x3
xn
Dérivée
0
1
2.x
3.x2
n . xn-1
1
x
1
x2
1
x
2 x
Ensemble de dérivation






 ;  
 ;  
 ;  
 ;  
 ;  
 ; 0 
0;
0;
 
 
IV. Opérations sur les dérivées
u et v sont des fonctions dérivables sur l’intervalle I , λ est une constante réelle , u’ et v’ sont les fonctions dérivées respectives de u et v.
Fonction
.u
u+v
uv
Dérivée
.u’
u’ + v’
u’v + uv’
Error!
Error!
Error!
Error!
Ex : soit f (x)   x 3  1 2x 2  8x  5  calculer f ’(x) : On pose : u(x) = x 3 + 1 et v(x) = 2x 2  8x + 5
f '(x)  3x
2
 2x
2
avec u’(x) = 3x
 8x  5   4x  8  x  1
2
d’où
f = uv et f’ = u’ v + v’ u
et v’(x) = 4x  8 .
3
f ’(x) =10x  32x 3 + 15x 2 + 4x  8
4
x 2  2x  1
calculer f ’(x),
x2 1
puis déterminer les abscisses des points de la courbe de f pour lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
u
u ' v  uv '
a) je pose : u(x) = x 2  2x 1 et v(x) = x 2 + 1 d’où f = et f’ =
avec u’(x) = 2x  2 et v’(x) = 2x.
v
v2
Ex : soit f (x) 
f '(x) 
 2x  2   x 2  1  2x  x 2  2x  1
x
2
 1
2

2x 3  2x 2  2x  2  2x 3  4x 2  2x
x
2
 1
2
soit f '(x) 
b) une tangente à la courbe parallèle à l’axe des abscisses a un coefficient directeur nul.
je dois donc résoudre f ’(x) = 0.
or les racines du polynôme du second degré x 2 + 2x  1 sont : x 1 =  1  2 et x 2 =  1 +
la courbe de f admet deux tangentes « horizontales » aux points d’abscisses :
x 1 =  1  2 et x 2 =  1 + 2
2  x 2  2x  1
x
2
 1
2
2
V. Dérivée et variations
dans ce paragraphe nous allons utiliser le signe de la dérivée pour étudier les variations de la fonction f .
sens de variation et signe de la dérivée :
f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I
en x =
en x = 1,
la fonction sinus est croissante.
la pente de la tangente est positive.

,
2
f n'est ni croissante, ni décroissante
la pente de la tangente est nulle.
en x = 3, la fonction sinus est décroissante.
la pente de la tangente est négative.
 si en tout point de I , f’ = 0 alors f est constante sur I.
 si en tout point de I , f’  0 alors f est décroissante sur I.
 si en tout point de I , f’  0 alors f est croissante sur I.
Remarque : si f ’ > 0 sur un intervalle ] a ; b[, sauf en un nombre fini de points où f ’ s’annule, alors f est strictement croissante
Ex : f est définie sur  par : f (x)  2x 3  1 , la dérivée de la fonction g est : g ’(x) = 6x 2 d’où g ’  0 or g ’ ne s’annule qu’en 0 :
la fonction g est strictement croissante sur  .
extremum :
soit c un point du domaine de définition d’une fonction f .
 f (c) est un maximum relatif de f s’il existe un ouvert ] a ; b [ contenant c tel que f (x)  f (c) pour x ] a ; b [.
 f (c) est un minimum relatif de f s’il existe un ouvert ] a ; b [ contenant c tel que f (x)  f (c) pour x ] a ; b [.
Remarque : le terme local est justifié par le fait que la fonction n’est considérée que sur un intervalle ouvert
suffisamment petit autour de c pour que , f (c) soit la plus grande (ou la plus petite) valeur cet intervalle.
il est possible qu’en dehors de cet intervalle f atteigne des valeurs plus grandes (ou plus petites).
un maximum ou un minimum relatif de f est un extremum relatif .
Théorème : soit
f une fonction dérivable sur] a ; b [ ,
si la dérivée de f s’annule en une valeur c de l’intervalle ] a ; b [, en changeant de signe,
alors la fonction f admet f (c) pour extremum local atteint en c
Ex : f est la fonction définie sur  par : f (x)  x 3  1,5x 2  6x  3 .
f '(x)  3x 2  3x  6  3(x 2  x  2) , or f ’ est une fonction polynôme du second degré qui s’annule pour x1  2 ou x 2  1 .
x
f ’(x)
0

–2
0
+
1
0
–
+
+
f (x)
Sur l’intervalle ]   ; 1 [, la dérivée s’annule pour x1  2 en outre f ’(x) > 0 pour x <  2 et f ’(x) < 0 pour 2 < x < 1. f admet un
maximum f (2) = 7 sur l’intervalle ]   ; 1 [.
VI. Dérivée d’une fonction composée
Théorème ( admis ) : g est une fonction dérivable sur un intervalle J.
u est une fonction dérivable sur un intervalle I tel que pour tout x  I, u(x) J.
alors la fonction f  g u est dérivable sur I et pour tout x de I : f '(x)  g ' [u (x)]  u '(x)
Ex : f est la fonction définie sur  par f (x)   3x 2  2x  1 . f  g u avec u(x)  3x²  2x  1 , et g la fonction u
2
d’où f '(x)  g ' u(x)  u '(x)
d’autre part u '(x)  6x  2 et g '(u)  2u ainsi f ' (x)  2 3x²  2x  1  6x  2
Applications
Fonction
un
u
Dérivée
n.un-1×u’
u'
2 u
Ex :

f est la fonction définie sur  par f (x)   2x  3 .
3
f  u 3 avec u(x)  2x  3 , d’où f '  3u 2 u ' comme u '(x)  2 nous obtenons f '(x)  6(2x  3) 2

f est la fonction définie sur  par f (x) 
f 

1
.
x 1
2
1
u'
2x
avec u (x)  x 2  1 , d’où f '   2 comme u '(x)  2x nous obtenons f '(x)  
2
2
u
u
 x  1
f est la fonction définie sur  par f (x)  x 2  x  1 .
f  u avec u (x)  x 2  x  1 , d’où f ' 
u'
2 u
comme u '(x)  2x  1 nous obtenons f '(x) 
2x  1
2 x2  x 1
u2