Les triangles : propriétés Sommaire : 1. Sommes des angles 2. médiatrices et cercle circonscrit 3. droites particulières 1. Somme des angles d’un triangle Somme des angles : Faire varier les points et additionner les mesures des angles pour deux ou trois triangles. Que constate-on ? Propriété : Dans tous les triangles, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°. Remarque : On démontrera cette propriété dans le chapitre sur les angles. Application aux triangles particuliers : - Dans un triangle équilatéral, les angles valent 60°. - Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles non droits, valent 90° - Dans un triangle isocèle, si on connaît un angle, on connaît les trois. - Dans un triangle rectangle isocèle, les angles valent 45° et 90°. Exemple : Calculer les angles à la base d’un triangle isocèle dont l’angle au sommet vaut 135°. Exercices 27 à 36 p 200 65,66 p 204 2. Médiatrice et cercle circonscrit a) Médiatrice d’un segment Définition : La médiatrice d’un segment est une droite qui passe par le milieu d’un segment et qui lui est perpendiculaire. Tracer un segment [AB] et sa médiatrice. Remarque : Il existe deux façons de tracer une médiatrice 1. A la règle et au compas 2. A la règle graduée et à l’équerre Propriétés : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants aux extrémités du segment. Si une droite passe par deux points situés à égale distance des extrémités d’un segment, alors cette droite est la médiatrice de ce segment. b) Médiatrice d’un triangle Définition : Une médiatrice d’un triangle est une droite qui est médiatrice d’un de ses côtés. Il y a donc trois médiatrices dans un triangle. Figure : A B O C 19, 20 p 139 Démonstration concourante et équidistance par apport aux sommets. Propriété : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes Le point de concours des médiatrices est centre du cercle circonscrit au triangle. 22, 23, 24 p 139 3. Droites particulières d’un triangle Remarque : Les hauteurs (vu dans le chapitre précédent) et les médiatrices sont aussi des droites particulières du triangle. a) Médiane Définition : La médiane est une droite passant par le sommet d’un triangle et par le milieu du côté opposé Comme pour les hauteurs, on dit médianes issue … de ou issue du sommet … Figure : B I A G K J C 36 p 140 b) Bissectrice Définition : On appelle bissectrice d’un angle, la demi-droite qui partage cet angle n deux angles de même mesure. Figure : B I A 27, 28, 29 p 140 Exercices complémentaires (DM ?) 45, 46, 48. C