chapitre 2 : theoreme de steinizt et applications

Théorème de Steinitz
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CHAPITRE 2 : THEOREME DE STEINITZ
Soient K un corps commutatif et f un polynôme à une indéterminée à coefficient dans K.
On se propose dans ce chapitre de prouver qu’il existe, d’une part, un corps L
extension de K dans lequel f admet au moins une racine, et, d’autre part, qu’il existe un corps
E extension de K où f se décompose en un produit de facteurs de degré 1.
Mieux, nous construirons à l’aide de l’axiome de choix, une extension de K où tout
polynôme non constant f admettra une racine.
On se ramène au cas où f est irréductible sur K.
1- PREMIERS PAS DANS LA PREUVE DU THEOREME DE STENITZ
Proposition 1.1
Soit f K[X] ; de degré>1 et f irréductible sur K, alors il existe, à un isomorphisme
près, une extension simple K(a) de K tel que :
1) K(a) contient une racine de f
2) K(a)=K[a] ( a est algébrique dans K)
Preuve :
f
XK
L
est un corps qui contient K’={[b] / b K} qui est une copie isomorphe
de K.
En effet :
aa
f
XK
K :
est injective car [a]=[b] équivaut à a-b
f
c’est à dire f divise a-b, ce qui entraîne a-b=0,
car deg.f>0.
f injective entraîne K isomorphe à
K
=K’
Soit f K[X] K’[X], ainsi f=a0+a1X+ … +atXt , ai K peut être vu comme
f=[a0]+[a1]X+ …. +[at]Xt K’[X] avec ai K.
Soit j=[X]
f(j)= [a0]+[a1]j+ …. +[at]jt
= [a0]+[a1][X]+ …. +[at][X]t

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=[a0+a1X+ … +atXt]
=[f]
=0L
j est une racine de f K’[X], j est algébrique sur K’ d’où K’[j] K’(j).
En identifiant [a] K’ et a K , j est une racine de f K[X]. D’où j est algébrique sur
K et K[j] K(j).
K(j) est donc une extension simple algébrique contenant K et une racine j de f K[X] ;
Remarque :
En considérant l’homomorphisme canonique
Xf
XK
XK : 
j=
X
; on a :
0XfXfjf 
D’où j est la racine de (f), ainsi j est algébrique sur (K). On a trouvé une
extension de (K) qui est (K)(j) où (f) a une racine.
Proposition 1.2
Soit K un corps commutatif et f un polynôme de K[X] de degré >0. Il existe une
extension E de K dans laquelle f admet une racine.
Preuve :
Nous avons montré qu’il existe un corps commutatif F et un homomorphisme injectif
FK : 
tel que (f) admet une racine j dans F. Soit S un ensemble ayant le même cardinal que
F\ (K) et qui est disjoint de K.
Posons E=K S.
On peut prolonger en une bijection de E sur F. On définit comme suit une structure de
corps commutatif dans E : Si x, y appartiennent à E
yxyx
yxxy
1-
1-
La restriction de ces opérations dans K coïncident avec l’addition et la multiplication dans le
corps K, K est un sous corps de E.
j
1
est une racine de f.

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Proposition 1.3
Soit K un corps commutatif quelconque. Si f(x) est un polynôme non-constant
irréductible sur K, alors k = K[x] / (f(x)) est un corps de rupture de f(x) sur K.
Preuve :
La démonstration de la proposition 1.1 a établi que f(x) a pour racine dans k l’élément j.
Exemple :
Soit le polynôme f(x)=x3-2 Q[X]. Q(
32
) est une extension simple qui est le corps de
rupture de f. Dans Q(
32
), f(x)=
33
2
342xx2-x 
, f(x) ne se décompose pas
entièrement dans son corps de rupture.
Théorème 1.4 :
Soit
L K : 
un homomorphisme de corps, u un élément d’une extension de K
et v un élément d’une extension de L. Supposons que :
(i) u est transcendant sur K et v est transcendant sur L ; ou
(ii) u est la racine d’un polynôme irréductible f de K[X] et v est la racine de
XLf 
.
Alors on peut prolonger en un isomorphisme de corps K(u) L(v) avec (u)=v.
Preuve :
Voir [2] page 236
Proposition 1.5
Si F est un corps commutatif quelconque, et f est un polynôme non-constant sur F,
alors il existe un corps de décomposition de f sur F.
Preuve :
Nous procédons par récurrence sur le degré de f
Si deg f = 1, alors F est son propre corps de décomposition.
Si la proposition est vraie pour deg.f = k, on considère un f non-constant sur F de
degré k+1. D’après la proposition précédente f possède un corps de rupture K sur F.
On peut donc écrire f(x) = (ax + b) g(x) avec ax + b et g(x) des polynômes de K[X]. D’après
l’hypothèse de récurrence, le polynôme g(x), qui est de degré k, possède un corps de
décomposition L sur K qui contient K. Finalement f se décompose en un produit de facteurs
de degré 1 sur L qui est un sur-corps de F.

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Théorème 1.6
Soit K un corps commutatif et f1, …, fn des polynômes de degré supérieur ou égal à un
dans K[X]. Il existe une extension E de K où chaque fi a une racine , i=1,…,n.
Preuve :
Nous raisonnons par récurrence sur i=1,…,n.
Pour i=1, on trouve E1 extension de f1 où f1 admet une racine. On considère f2 comme un
polynôme de E1 et on trouve une extension E2 de E1 où f2 admet une racine. En procédant
ainsi, l’extension En de En-1 où fn admet une racine est telle que tous les fi y admettent une
racine.
Théorème 1.7 :
Deux corps de décomposition d’un même polynôme f K[X] sont K-isomorphes.
Preuve :
Soient M et L deux corps de décomposition de f K[X]. Supposons f irréductible sur K
L contient une racine a1 de f
M contient une racine b1 de f
Il existe un K-isomorphisme
1111 ba que telbK aK : 
Dans K(a1)[X] posons
ga-x ... a-xa-xxf r21
où g K(a1)[X] n’a pas de
racine dans K(a1).
XbKg ga-x ... a-xa-xf 1r21 
)K(b dans racine de pas an' 1 g
sinon g en posséderait dans K(a1).
Si g est constant alors L=K(a1) et M=K(b1) et le résultat est prouvé .
Sinon, considérons un facteur irréductible h de g dans K(a1)[X]
h
est alors un facteur irréductible de
g
dans K(b1)[X]
Soit ar+1 une racine de h dans L ; br+1 une racine de
h
dans M. Il existe un
isomorphisme
et ba que telb,bK a,aK : 1r1r1r11r1  
coïncide avec sur K(ai).
Posons L=K(a1,a2, … ,an ) où a1,a2, … ,an sont les racines de f dans L. En procédant
comme ci-dessus, on obtient un K-isomorphisme
ML L : 
Posons
ii ab
alors b1, … , bn sont les racines de f dans M, mais
ff 
d’où
M=K(b1, … ,bn). est donc un isomorphisme de L dans M.