Exercice n°2

Corrigé de la série de TD
CHAMP ELECTROMAGNETIQUE PERMANENT
Exercice n°1
1°)Le système est invariant par translation parallèle à Ox ou Oy
.Il en résulte que C est fonction de z uniquement ; on écrit
)(zB
2°) Un plan
),( yz ee 
est un plan de symétrie impaire
0
x
B
Un plan
),( xz ee 
est un plan de symétrie paire
0
x
B
et
0
z
B
Il vient que
yy ezBB 
)(
Le plan Oxy est un plan de symétrie paire .donc
0)0( 
y
B
3°) Le calcul de
yy ezBB 
)(
peut être réalisé en appliquant le
théorème d’Ampère appliqué au cuntour rectangulaire sur la
figure ci-contre on trouve :
z> e/2
z< e /2
z<-e/2
Exercice n°2
1°) Vu du centre O de la sphère, le système est invariant par rotation d’angle  ou d’angle  ainsi
B
ne dépend ni de  ni
de .On écrit alors
)(RB
Le plan (Oxy) est de symétrie paire  BT=0 soit Bx =0 et Bz=0 
zz eRBB 
)(
Pour déterminer
B
on décompose la sphère en spires élémentaires parallèles au plan (Oxy) centrés sur l’axe oz , de rayon
a=Rsin
L’intensité surfacique parcourant cette spire s’écrit :
RdeJdI S
avec
eajS
où encore
RdeeadI  .
ou
enfin
daRdI sin
2
Le champ crée par une spire de rayon a parcouru par un courant I, en un point M sur son axe s’écrit
z
e
a
I
B
3
0sin
2
ou 
est l’angle sous lequel on voit la spire du pont M.
Par application de ce résultat on trouve le champ élémentaire crée en O par une spire élémentaire :
z
edR
R
dB 
32
0sinsin
sin2
2/
0
3
0sineR
2
dB z
z
BeR
3
20
2°) le potentiel vecteur
A
est un vrai vecteur. Un plan (
eer
 ,
) est un plan de symétrie impaire la composante tangentielle
est nulle soit Ar=0 et A=0. On écrit alors
erAA 
)(
le potentiel vecteur créé par la spire élémentaire s’écrit :
dS
PM
j
Ad S
40
avec
eRjS
sin
et par intégration sur
la totalité de la sphère on trouve
dSe
PM
RA
Sphère
sin
40
Sachant que
eee rz
 sincos 
,
eee rz
 sin
il vient que
dS
PM
e
A
Sphère
r
z
eR
40
Pour calculer cette intégrale on utilise le théorème du gradient :
volumeferméesurface
dfgraddsnf ..
on obtient
d
PM
gradeRA SphèreladeVolumed Pz )
1
(
40
avec
3
)
1
(PM
PM
PM
gradP
il vient que
d
PM
PM
eRA SphèreladeVolumed
z
 3
0
4
mais cette intégrale nous rappelle le champ électrique créé par une sphère chargé en
volume par une densité de charge constante  en effet on a en un point M le champ s’écrit
3
0
4
)( PM
PMd
ME
et le
calcul de champ peut être fait par le théorème de Gauss et on trouve pour
x
y
z
j
z
e
y

M extérieur à la sphère (OM>R):
3
0
3
2
3
033
)( OM
OMR
e
r
R
ME r
soit
3
3
33
4OM OM
R
PM
PMd
ce qui donne
3
4
0
3OM
OM
eRA z 
M intérieur à la sphère(OM<R) :
OMerME r00 33 )(
soit
OM
PM
PMd 3 4
3
ce qui
donne comme potentiel vecteur
OMeRA z 
30
Exercice n° 3
1°) Le champ crée par un solénoïde infini de rayon R en un point M de coordonnées cylindrique (r,,z)
Pour R<r
z
enIMB 
0
)(
et pour R>r
0)(  MB
2°) Le système est invariant par rotation atour de Oz et par translation suivant ce même axe ainsi le potentiel vecteur est
indépendant de  et de z on le note
)(rA
.
Le plan (
zr ee  ,
) est un plan de symétrie impaire la composante tangentielle est nulle donc
0 Zr AA
et il vient que
erAA 
)(
Pour calculer
erAA 
)(
on utilise un contour fermé circulaire centrer sur oz et on écrit
cercledusurfacecercle
dsnBdlA
pour r>R ,
2
0
2RnIrA
ou
e
r
R
nI
A
2
0
2
et pour r<R
2
0
2rnIrA
er
nI
A
2
0
Exercice n°4
1°) Le potentiel crée en M, par le dipôle au point M s’écrit
210
11
4rr
q
V
avec
2
1
2
2
1cos
4
dr
d
rr
et
2
1
2
2
2cos
4
dr
d
rr
; Ou encore
2
1
2
2
1cos
4
1
r
d
r
d
rr
et
2
1
2
2
2cos
4
1
r
d
r
d
rr
et utilisant la condition
d<<r on trouve
cos
28
1
11
2
2
1r
d
r
d
rr
et
cos
28
1
11
2
2
2r
d
r
d
rr
.En replaçant dans l’expression du potentiel
on trouve
2
0
cos
4r
d
q
V
ou enfin
2
0
cos
41r
p
V
qu’on peut mettre sous la forme
2
0
41r
ep
Vr
2°) Pour calculer le champ on utilise la formule
VgradE 
en coordonnées sphériques
r
V
Er
3
0
cos2
41
r
p
Er
et
 rV E
3
0
sin
41
r
p
E
On peut aussi écrire
e
r
p
e
r
p
Er
33
0
sincos2
41
avec
eee rz
 sincos 
on a
cos
rz ee 
et en
ajoutant et en retranchant
r
e
r
p
3
cos
on trouve
peep
r
Err
 ).(3
4
13
0
Exercice n°5
1°) Pour OM>>OP le problème peut être traité en
coordonnée sphérique r,  , 
Le système est invarient par rotation d’angle  autour de
Oz et le potentiel vecteur ne dépend pas de  soit
),( rA
Le plan
),( eer
est un plan de symétrie impaire soit
0 AAr
erAA 
),(
2°)
yx eaeaOP  'sin'cos
et
')'cos'sin( deaeaOPddl yx
M
z
P
x
y

3°) Vu que le potentiel vecteur
),( rA
ne dépend pas de  on peut calculer dans le plan  =0, c.a.d. le plan Oxz et dans
ce cas on a
y
ee  
et
Spire PM
dl
I
rA
4
)0,,( 0
OMPOPM 
avec
zxr erererOM 
cossin 
et l’expression de
OP
déterminer dans 2°) on exprime
PM
2
1
22 .2 OMPOOMPOPM 
2
1
22 'cossin2
raraPM 
en mettant r en facteur et en inversant cette
équation on trouve
2
1
2
2'cossin21
11 
r
a
r
a
rPM
; avec a<<r par développement à l’ordre 1 donne
 'cossin1
11
r
a
rPM
et remplaçant dans l’expression de
)0,,( rA
et on trouve :
Spire
yx d
r
a
r
eaea
I
rA ''cossin1
)'cos'sin(
4
)0,,( 0
Et comme on a établi à priori que le potentiel vecteur est porté par l’axe  ( ou encore oy ) on ne retient que la composante
selon Oy ;il vient que
y
Spire
ed
r
a
r
Ia
rA 
 ''cos'cossin1
4
)0,,( 0
y
ed
r
Ia
d
r
Ia
rA 
2
0
2
2
2
0
2
0
0'cossin
4
''cos
4
)0,,(
2
0
0''cos
4d r
Ia
=0 et il reste que
y
ed
r
Ia
rA 
2
0
2
2
2
0'cossin
4
)0,,(
ou encore
yy e
r
Ia
ed
r
Ia
rA 
)0(sin
4
'
2'2cos21
sin
4
)0,,( 2
2
0
2
0
2
2
0
y
e
r
Ia
rA  sin
4
)0,,( 2
2
0
On pose
zz eeI 
MaM 2
r
e
r
rA 
 M
4
02
0
),,(
3
0M
4
0r
r
rA ),,(
4°)
ArotB 
Le potentiel vecteur est porté par
e
.
eAr
rr
eA
r
Arot r
)(
1
)(sin
sin
1
e
r
Ia
r
rr
e
r
Ia
r
Br
)sin
4
(
1
)sin
4
(
sin
12
2
0
2
2
2
0
ee
r
Ia
Br
sincos2
43
2
0
et en fonction du
moment dipolaire
z
e
MM
on trouve
ee
r
Br
sincos2
4
M
3
0
avec
eee rz
 sincos 
et
z
e
MM
on a
Mcos.M 
r
e
et
.M).M3(
4
M
3
0
  rr ee
r
B
B /La force magnétique élémentaire s’écrit :
1
BdlIdF 
et le moment
correspondant
)( 1 BdlIOPd
11 .. BldOPdlBOPId  
mais
OP
est perpendiculaire à
dl
On trouve ainsi
dlBOPId 1 .
1
B
z
P
x
y

On rappelle l’expression de
OP
:
yx eaeaOP  'sin'cos
et celle de
dl
:
')'cos'sin( deaeaOPddl yx
avec
zy eBeBB 
cossin 111 
Le calcul du moment élémentaire donne
dlIaBd)'sinsin( 1
ce qui s’écrit encore
')'sin'cos'sin)(sin( 2
1
2
deeIBad yx
  yx ededIBa  ''sin'cos''sinsin 2
0
2
0
2
1
2
x
eIBa  sin
1
2
2°)
x
eMB  sin
1
ce qui s’écrit
1
BM 
3°) Une position d’équilibre correspond à
0
0sin 
 deux postions d’équilibre :
0
ou
4°) Pour un déplacement du circuit sous la seule force électromagnétique le travail échangé est
m
dEdW 
où
m
E
est
l’énergie électromagnétique. Avec
 dz
z
dy
y
dx
x
IIddEm
soit
drgradIIddEm
comme
drFdW 
il vient que
 gradIF
ou encore
m
EgradF 
avec
 IEm