Exercice n°2

Corrigé de la série de TD
CHAMP ELECTROMAGNETIQUE PERMANENT
Exercice n°1
1°)Le système est invariant par translation parallèle à Ox ou Oy

.Il en résulte que C est fonction de z uniquement ; on écrit B(z )
 
2°) Un plan (e z , e y ) est un plan de symétrie impaire B x  0
 
Un plan (e z , e x ) est un plan de symétrie paire Bx  0 et B z  0


Il vient que B  B y ( z )e y
z

j
Le plan Oxy est un plan de symétrie paire .donc B y (0)  0

y
x
z

3°) Le calcul de B  B y ( z )e y peut être réalisé en appliquant le
théorème d’Ampère appliqué au cuntour rectangulaire sur la
figure ci-contre on trouve :
z> e/2
z< e /2
z<-e/2
e
y
Exercice n°2

1°) Vu du centre O de la sphère, le système est invariant par rotation d’angle  ou d’angle  ainsi B ne dépend ni de  ni

de .On écrit alors B (R )


Le plan (Oxy) est de symétrie paire  BT=0 soit Bx =0 et Bz=0  B  Bz ( R)ez

Pour déterminer B on décompose la sphère en spires élémentaires parallèles au plan (Oxy) centrés sur l’axe oz , de rayon
a=Rsin



 
L’intensité surfacique parcourant cette spire s’écrit : dI  J S e Rd avec jS   ae où encore dI   ae .e Rd ou
enfin dI  aR2 sind
 I
Le champ crée par une spire de rayon a parcouru par un courant I, en un point M sur son axe s’écrit B  0 sin 3 ez ou 
2a
est l’angle sous lequel on voit la spire du pont M.
Par application de ce résultat on trouve le champ élémentaire crée en O par une spire élémentaire :
 2
     / 2 3


0
Re z  sin d  B   0 Re z
dB 
 R 2 sin d sin 3 ez  B  0
2
3
2 R sin 
0

 
2°) le potentiel vecteur A est un vrai vecteur. Un plan ( er , e ) est un plan de symétrie impaire la composante tangentielle


est nulle soit Ar=0 et A=0. On écrit alors A  A(r )e


  0 jS

dS avec jS  R sin e et par intégration sur
le potentiel vecteur créé par la spire élémentaire s’écrit : dA 
4 PM
 0
sin  
 R 
e dS
la totalité de la sphère on trouve A 
4
Sphère PM

 



 


e
Sachant que ez  cos er  sin e , ez er  sin e il vient que A  0  Re z   r dS

4
Sphère PM

Pour calculer cette intégrale on utilise le théorème du gradient :
 f .nds   grad f .d on obtient
surface fermée
volume
 

1
1
PM
A  0 R e z 
)d avec grad P (
il vient que
)
 grad P (
Volu med de la Sphère
4
PM
PM
PM 3
 

PM
A  0 R ez 
d mais cette intégrale nous rappelle le champ électrique créé par une sphère chargé en

3
Volumeddela Sphère PM
4


PMd
volume par une densité de charge constante  en effet on a en un point M le champ s’écrit E ( M ) 
et le

4 0
PM 3
calcul de champ peut être fait par le théorème de Gauss et on trouve pour

 R 3  R 3 OM
M extérieur à la sphère (OM>R): E ( M ) 
er 
3 0 r 2
3 0 OM 3
 
 OM
A  0 R 4 ez 
3
OM 3
ce qui donne

M intérieur à la sphère(OM<R) : E ( M ) 

soit
 

re r 
OM
3 0
3 0
soit

PMd 4 3 OM

R
PM 3
3
OM 3
PMd 4

OM ce qui
3
PM 3
 

donne comme potentiel vecteur A  0 R e z OM
3
Exercice n° 3
1°) Le champ crée par un solénoïde infini de rayon R en un point M de coordonnées cylindrique (r,,z)


Pour R<r
R>r
B( M )   0 nIez et pour
B( M )  0
2°) Le système est invariant par rotation atour de Oz et par translation suivant ce même axe ainsi le potentiel vecteur est

indépendant de  et de z on le note A(r ) .
 
Le plan ( er , e z ) est un plan de symétrie impaire la composante tangentielle est nulle donc Ar  AZ  0 et il vient que


A  A (r )e




Pour calculer A  A (r )e on utilise un contour fermé circulaire centrer sur oz et on écrit  Adl 
 Bnds 
cercle
A 2r   0 nIR 2 ou
pour r>R ,
  nI R 2 
A 0
e
2 r
A 2r   0 nIr 2
et pour r<R
surfacedu cercle
  nI 
A  0 re
2
Exercice n°4
1
1°) Le potentiel crée en M, par le dipôle au point M s’écrit

2
d2
q 1 1
   avec r1   r 2 
 dr cos  et
V
4
4 0  r1 r2 


1
1
1

2

2

2
d2
d2
d
d2
d
r2   r 2 
 dr cos  ; Ou encore r1  r 1  2  cos  et r2  r 1  2  cos  et utilisant la condition
4
4r
r
4r
r






2
2


1 1
d
d
1 1
d
d
 1 

cos  et
 1  2 
cos  .En replaçant dans l’expression du potentiel
d<<r on trouve
r1 r  8r 2 2r
r
r
8
r
2
r



2

p
cos

1
1 pe r
q d cos
V

V

V
on trouve
ou
enfin
qu’on
peut
mettre
sous
la
forme
4 0 r 2
4 0 r 2
4 0 r 2

2°) Pour calculer le champ on utilise la formule E   gradV en coordonnées sphériques
Er  
V
r

Er 
1 2 p cos
4 0
r3
et
E  
V
r
E 

1 p sin 
4 0 r 3
1  2 p cos  p sin   



er 
e  avec e z  cos er  sin  e on a e z er  cos et en

3
3
40  r
r


p cos 
1
3( p.er )er  p 
er on trouve E 
ajoutant et en retranchant
3
3
4 0 r
r
On peut aussi écrire

E
Exercice n°5
1°) Pour OM>>OP le problème peut être traité en
coordonnée sphérique r,  , 
Le système est invarient par rotation d’angle  autour de

Oz et le potentiel vecteur ne dépend pas de  soit A(r ,  )
 
Le plan (e r , e ) est un plan de symétrie impaire soit


Ar  A  0  A  A (r ,  )e


2°) OP  a cos  ' e x  a sin  ' e y et


dl  d OP  (a sin  ' e x  a cos  ' e y )d '
M
z
y
x
P

3°) Vu que le potentiel vecteur A(r ,  ) ne dépend pas de  on peut calculer dans le plan  =0, c.a.d. le plan Oxz et dans

 I
dl
A(r ,  ,0)  0 
4 S p ire PM



PM  PO  OM avec OM  rer  r sin  e x  r cos e z et l’expression de OP déterminer dans 2°) on exprime


ce cas on a e  e y et

PM PM  PO 2  OM 2  2PO.OM


1
2
PM  a 2  r 2  2ra sin  cos '

1
2
en mettant r en facteur et en inversant cette
1
2
1
1
a2
a
 1  2  2 sin  cos  '  ; avec a<<r par développement à l’ordre 1 donne


PM r 
r
r


1
1 a

 1  sin  cos '  et remplaçant dans l’expression de A(r,  ,0) et on trouve :
PM r 
r




(a sin  ' e x  a cos ' e y ) 
 I
a

A(r ,  ,0)  0 
1  sin  cos ' d '
4 Spire
r
r


équation on trouve
Et comme on a établi à priori que le potentiel vecteur est porté par l’axe  ( ou encore oy ) on ne retient que la composante
selon Oy ;il vient que

 Ia
A(r ,  ,0)  0
4 r

a


 1  r sin  cos '  cos  ' d ' e y 
Spire

 Ia
A(r ,  ,0)  0
4 r
2

 Ia 2
 Ia 2


1  2 cos 2 '
A(r ,  ,0)   0 2 sin  
d ' e y  0 2 sin  (  0)e y
2
4 r
4 r
0



M   a 2 Ie z  Me z


0  
A( r , ,0) 
Me r
4 r 2

rot A 



4°) B  rotA Le potentiel vecteur est porté par e .

B


1
  0 Ia 2
1   0 Ia 2
2
(
sin

)
e

(r
sin  )e
r
2
2
r sin   4 r
r r
4r


moment dipolaire M  Me z on trouve

 

M  Me z on a M.er  Mcos et
B /La force magnétique élémentaire s’écrit :
correspondant

0
 0 Ia 2
4 r 2
2

sin   cos 2  ' d e y
0

0M
B
4 r 3
 

 0 Mr
A( r , ,0) 
4 r 3

 1 

1

(sin  A )er 
(r A )e
r sin  
r r

2 cos er


 Ia 2

A(r ,  ,0)  0 2 sin  e y
4r

  Ia 2


B  0 3 2 cos er  sin  e  et en fonction du
4r

 sin  e



avec e z  cos er  sin  e et

  M
  

B  0 3 3( M.er ) er  M.
4 r

dF  I dlB1 et le moment
z

B1

d  OP( I dlB1 )
 
 
y

d  I OP.B1 dl  OP.dl B1
On trouve ainsi
 cos ' d ' 
2

 Ia 2

A(r ,  ,0)   0 2 sin   cos 2  ' d e y ou encore
4 r
0
 0 Ia 2
cos ' d ' =0 et il reste que
4 r 0
On pose
2

mais


d  I OP.B1 dl
OP est perpendiculaire à dl
x
P


On rappelle l’expression de OP : OP  a cos  ' e x  a sin  ' e y et celle de dl :





dl  d OP  (a sin  ' e x  a cos ' e y )d ' avec B1  B1 sin  e y  B1 cos  e z Le calcul du moment élémentaire donne


d  (aB1 I sin  sin  ' )dl ce qui s’écrit encore d  (a 2 B1 I sin  )(  sin 2  ' e x  cos  ' sin  ' e y )d '
2
2

 
  a 2 B1 I sin     sin 2  'd ' e x   cos  ' sin  'd ' e y 
 0

0

2°)   MB1 sin  e x ce qui s’écrit


  a 2 B1 I sin  e x
 
  MB1
3°) Une position d’équilibre correspond à   0  sin   0  deux postions d’équilibre :   0 ou   
4°) Pour un déplacement du circuit sous la seule force électromagnétique le travail échangé est dW  dEm où E m est
 

 
l’énergie électromagnétique. Avec dEm  Id  I 
dx 
dy 
dz soit dEm  Id  I grad dr comme
y
z 
 x


dW  F dr il vient que F   I grad ou encore

F   grad E m avec E m  I