Ex - cours de mecanique des fluides

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UNIVERSITE D'ANGERS
Epreuve de
MECANIQUE DES FLUIDES
EXAMEN 1RE SESSION
Jeudi 22 janvier 2004
Année 2003-2004
Durée : 2h30
Licence de Physique et Applications
S. Chaussedent
La calculatrice et le formulaire sont autorisés
PROBLEME 1 : VISCOSIMETRE (barème indicatif : 7 pts)
On considère une conduite cylindrique de rayon R, disposée verticalement
et dans laquelle s’écoule de haut en bas un liquide newtonien incompressible de
masse volumique et de viscosité dynamique . On supposera que la pression à
l’entrée est identique à celle en sortie (l’écoulement est donc assuré par la
gravité). L’écoulement sera considéré stationnaire et laminaire.
1. Compte tenu de la géométrie de l’écoulement et en posant l’équation de
continuité, montrer que
z
rwv e)( 
.
2. Etablir et projeter l’équation de Navier-Stokes dans le repère cylindrique de la
conduite. En déduire que la pression est uniforme dans toute la conduite et
donner une expression analytique du profil de vitesse w(r) qui tienne compte
des conditions aux limites.
3. Exprimer le débit volumique ainsi que la vitesse moyenne de l’écoulement.
4. Si l’on dispose d’une conduite de rayon R = 1 mm, quelle viscosité
cinématique ( = / ) minimale doit avoir le fluide pour que l’hypothèse d’un
écoulement laminaire soit valide ?
PROBLEME 2 : SIMILITUDES ET MAQUETTES (barème indicatif : 7 pts)
Pour déterminer la puissance d'un navire de longueur L = 100 m, de surface immergée
S = 2000 m2 et destiné à naviguer en mer à la vitesse de 16 nœuds, on réalise une maquette à l'échelle
1/25 que l'on essaie dans un bassin d'eau douce. On admet que la traînée d'un corps flottant est la somme
de deux forces : celle, F1, due aux frottements visqueux et celle, F2, due aux ondes de surface.
On donne 1 nœud = 1,850 km.h-1. On notera F, V, S,… les grandeurs relatives au navire prototype
et F', V', S',… celles relatives à sa maquette.
1. De quelles grandeurs dépendent F1 et F2 ?
2. Par analyse dimensionnelle, donner une expression de F1 et F2 en faisant apparaître leur dépendance
envers les nombres de Reynolds ou de Froude.
On donne
VL
Re 
et
gL
V
Fr 
.
Par la suite, on admettra que la traînée due aux frottements s'exprime :
SVCF D2
12
1
, où le
coefficient de frottement visqueux
D
C
est donné par les formules :
z
R
g

- 2/2 -
S
S1
S2
U2
U1
U
p0
p0
p0
p1
p2
8
58,2
7
2,0
10pour
log
455,0
10pour
074,0
Re
Re
C
Re
Re
C
D
D
On prendra pour l'eau de mer : = 1,030.103 kg.m-3 et = 1,2.10-3 N.s.m-2 ;
et pour l'eau douce : ' = 1,000.103 kg.m-3 et ' = 1,1.10-3 N.s.m-2 ;
3. En respectant la similitude de Froude, déterminer la vitesse à donner à la maquette.
4. Déterminer la traînée F'1 exercée par les frottements sur la maquette.
5. On mesure sur la maquette une force de traînée totale F' = 17 N. En déduire la traînée F'2 due aux
ondes de surface. Calculer la traînée F2.
6. Calculer la traînée totale F du navire prototype et la puissance nécessaire correspondante.
PROBLEME 3 : EOLIENNE (barème indicatif : 6 pts)
Une éolienne est un dispositif à hélice
qui, placé dans un fluide en mouvement,
ralentit une fraction de ce fluide en
transformant en travail (sur l’arbre de l’hélice)
l’énergie cinétique cédée par le fluide.
Pour décrire ce phénomène, on utilise
en première approche une théorie
unidimensionnelle qui permet de ne pas se
préoccuper de l’écoulement complexe autour
des pales de l’hélice. On peut ainsi considérer :
 que les particules fluides sur lesquelles l’hélice a une action s’écoulent dans un tube de courant qui
s’appuie sur le cercle dont l’aire S est balayée par les pales.
 que l’écoulement est permanent et globalement unidimensionnel : les vitesses sont uniformes dans
chacune des sections du tube de courant et en particulier dans S1, section amont où la vitesse est U1,
dans S, section de l’hélice où la vitesse est U, et dans S2, section aval où la vitesse est U2 (U1>U>U2).
 que le fluide est parfait, incompressible (de masse volumique ) et non pesant.
 que le long de la frontière du tube et dans les sections S1 et S2 la pression est celle de l’atmosphère (p0).
1. Exprimer la chute de pression p=p1-p2 à la traversée de l’hélice.
2. En déduire une expression de la force R exercée par le fluide sur l’hélice en fonction de U1 et U2.
3. Par application du théorème d’Euler, exprimer cette même force R en fonction de U, U1 et U2.
4. En identifiant ces deux expressions de R, en déduire une relation entre U, U1 et U2.
5. En posant U2=aU1, avec 0<a<1, exprimer en fonction de a et U1 la puissance P recueillie par l’hélice.
6. On définit le rendement d’une éolienne par le rapport de puissance P recueillie à la puissance totale
disponible dans un tube de courant de section S où la vitesse du vent est U1. Exprimer . Pour quelle
valeur de a le rendement est maximum ? Que vaut alors ce rendement
max ?
7. En pratique, le rendement le plus élevé que l’on puisse obtenir est de l’ordre de 0,5. Comment peut-on
expliquer cet écart ? Calculer, pour
max =0,5, la puissance maximale disponible sur l’arbre d’une
éolienne de 30 m de diamètre soumise à un vent de 20 m.s-1 (on prendra
air = 1,25 kg.m-3).