Ex - Université d`Angers

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UNIVERSITE D'ANGERS
Epreuve de
MECANIQUE DES FLUIDES
EXAMEN 1ERE SESSION
Mardi 5 février 2002
Année 2001-2002
Durée : 2h30
Licence de Physique et Applications
S. Chaussedent
La calculatrice et le formulaire sont autorisés
PROBLEME 1 : ECOULEMENT LAMINAIRE (barème indicatif : 9 pts)
Afin d’obtenir des écoulements laminaires en laboratoire, on réalise le montage de la
figure 1. Une couche d’épaisseur h d’un liquide incompressible de masse volumique et de
viscosité est déposée sur un tapis roulant animé d’une vitesse V0 et incliné d’un angle par
rapport à l’horizontal. On supposera l’écoulement du liquide sur le tapis roulant stationnaire et
laminaire.
1. Compte tenu de la géométrie de la couche et en posant l’équation de continuité, montrer que
x
ezuv  )(
.
2. Projeter l’équation de Navier-Stokes sur les axes x et z. En déduire que le gradient de pression
est non nul seulement suivant z. Donner alors l’expression de p(z).
3. Déterminer le profil de vitesse de la couche en utilisant les conditions aux limites (on
remarquera que la contrainte tangentielle à la surface libre est nulle) .
4. Calculer le débit de liquide à travers l’épaisseur h, pour une largeur unité du tapis roulant.
5. A quelle vitesse V0 doit avancer le tapis pour que ce débit soit nul ?
6. Après avoir exprimé la contrainte exercée par le fluide sur le tapis, trouver la force de
frottement totale exercée par le fluide sur la longueur L du tapis. A quelle autre force cette
force de frottement peut-elle être identifiée ? Donner l’expression de la puissance nécessaire
pour entraîner le tapis roulant.
h
z
x
g
V0
h
- figure 1 -

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PROBLEME 2 : SIMILITUDES (barème indicatif : 6 pts)
La force de traînée F s’exerçant sur un bateau est fonction de la nature du liquide sur
lequel il navigue (masse volumique , viscosité ), de sa vitesse V, de sa longueur L et de
l’accélération de la pesanteur g.
1. Expliquer qualitativement comment participent la viscosité et la gravité à la force de traînée.
2. Déterminer le nombre de produits sans dimension nécessaire pour décrire complètement le
système étudié.
3. Expliciter ces produits sans dimension et montrer que le rapport F/( V2L2) est uniquement
fonction des nombres de Froude et de Reynolds.
On souhaite déterminer la traînée sur un navire prototype. Pour cela, on en construit une
maquette à l’échelle 1/20.
4. Quelles similitudes doit-on respecter pour pouvoir transposer les mesures réalisées sur la
maquette à celles attendues pour le prototype ?
5. Si le prototype doit naviguer à la vitesse de 10 m.s-1, quelle vitesse doit-on donner à la
maquette ?
6. Si le liquide sur lequel doit naviguer le prototype est de l’eau à 20°C ( = 1,03.103 kg.m-3 et
 = 1,2.10-3 kg.m-1.s-1), quelle doit être la viscosité cinématique du liquide à utiliser pour la
maquette ?
PROBLEME 3 : SOUFFLERIE (barème indicatif : 5 pts)
Une soufflerie de démonstration fournit une veine d’air de 150 mm de diamètre, ayant
une vitesse uniforme de 20 m.s-1. On négligera la compressibilité de l’air, la vitesse de l’air à
l’entrée du collecteur ainsi que toutes les
pertes de charge. On donne la masse
volumique de l’air :
= 1,225 kg.m-3 ; le
diamètre de la conduite dans laquelle se
trouve l’hélice sera supposé constant et
égal à 350 mm. On supposera par ailleurs
que l’écoulement de l’air y est uniforme.
1. Par application du théorème d’Euler,
calculer la force exercée par la
soufflerie sur son support.
2. Toujours par application du théorème d’Euler, déterminer la force d’ancrage nécessaire pour
maintenir la tuyère en place.
3. En appliquant le théorème de Bernoulli entre l’entrée du collecteur et la zone se trouvant
juste en amont de l’hélice d’une part, et entre la sortie de la tuyère et la zone se trouvant juste
en aval de l’hélice d’autre part, déterminer la différence de pression existant de part et d’autre
de l’hélice. En déduire la poussée exercée par l’air sur l’hélice.
4. Quelle est la puissance utile fournie par ce ventilateur ?
collecteur
tuyère
 = 350 mm
 = 150 mm
V = 20 m.s-1
p0
p0