Année 2001-2002 Epreuve de UNIVERSITE D'ANGERS MECANIQUE DES FLUIDES EXAMEN 1ERE SESSION Durée : 2h30 Mardi 5 février 2002 Licence de Physique et Applications S. Chaussedent La calculatrice et le formulaire sont autorisés PROBLEME 1 : ECOULEMENT LAMINAIRE g x (barème indicatif : 9 pts) z h V0 h - figure 1 Afin d’obtenir des écoulements laminaires en laboratoire, on réalise le montage de la figure 1. Une couche d’épaisseur h d’un liquide incompressible de masse volumique et de viscosité est déposée sur un tapis roulant animé d’une vitesse V0 et incliné d’un angle par rapport à l’horizontal. On supposera l’écoulement du liquide sur le tapis roulant stationnaire et laminaire. 1. Compte tenu de la géométrie de la couche et en posant l’équation de continuité, montrer que v u( z )e x . 2. Projeter l’équation de Navier-Stokes sur les axes x et z. En déduire que le gradient de pression est non nul seulement suivant z. Donner alors l’expression de p(z). 3. Déterminer le profil de vitesse de la couche en utilisant les conditions aux limites (on remarquera que la contrainte tangentielle à la surface libre est nulle) . 4. Calculer le débit de liquide à travers l’épaisseur h, pour une largeur unité du tapis roulant. 5. A quelle vitesse V0 doit avancer le tapis pour que ce débit soit nul ? 6. Après avoir exprimé la contrainte exercée par le fluide sur le tapis, trouver la force de frottement totale exercée par le fluide sur la longueur L du tapis. A quelle autre force cette force de frottement peut-elle être identifiée ? Donner l’expression de la puissance nécessaire pour entraîner le tapis roulant. - 1/2 - PROBLEME 2 : SIMILITUDES (barème indicatif : 6 pts) La force de traînée F s’exerçant sur un bateau est fonction de la nature du liquide sur lequel il navigue (masse volumique , viscosité ), de sa vitesse V, de sa longueur L et de l’accélération de la pesanteur g. 1. Expliquer qualitativement comment participent la viscosité et la gravité à la force de traînée. 2. Déterminer le nombre de produits sans dimension nécessaire pour décrire complètement le système étudié. 3. Expliciter ces produits sans dimension et montrer que le rapport F/(V2L2) est uniquement fonction des nombres de Froude et de Reynolds. On souhaite déterminer la traînée sur un navire prototype. Pour cela, on en construit une maquette à l’échelle 1/20. 4. Quelles similitudes doit-on respecter pour pouvoir transposer les mesures réalisées sur la maquette à celles attendues pour le prototype ? 5. Si le prototype doit naviguer à la vitesse de 10 m.s-1, quelle vitesse doit-on donner à la maquette ? 6. Si le liquide sur lequel doit naviguer le prototype est de l’eau à 20°C ( = 1,03.103 kg.m-3 et = 1,2.10-3 kg.m-1.s-1), quelle doit être la viscosité cinématique du liquide à utiliser pour la maquette ? PROBLEME 3 : SOUFFLERIE (barème indicatif : 5 pts) Une soufflerie de démonstration fournit une veine d’air de 150 mm de diamètre, ayant une vitesse uniforme de 20 m.s-1. On négligera la compressibilité de l’air, la vitesse de l’air à l’entrée du collecteur ainsi que toutes les collecteur pertes de charge. On donne la masse tuyère volumique de l’air : = 1,225 kg.m-3 ; le diamètre de la conduite dans laquelle se V = 20 m.s-1 trouve l’hélice sera supposé constant et égal à 350 mm. On supposera par ailleurs p0 p0 que l’écoulement de l’air y est uniforme. = 150 mm = 350 mm 1. Par application du théorème d’Euler, calculer la force exercée par la soufflerie sur son support. 2. Toujours par application du théorème d’Euler, déterminer la force d’ancrage nécessaire pour maintenir la tuyère en place. 3. En appliquant le théorème de Bernoulli entre l’entrée du collecteur et la zone se trouvant juste en amont de l’hélice d’une part, et entre la sortie de la tuyère et la zone se trouvant juste en aval de l’hélice d’autre part, déterminer la différence de pression existant de part et d’autre de l’hélice. En déduire la poussée exercée par l’air sur l’hélice. 4. Quelle est la puissance utile fournie par ce ventilateur ? - 2/2 -