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Histoires de ressort… Document : J-C.Bertrand & M.Moppert
TS
Physique
Histoires de ressort…
Exercice résolu
- Enoncé –
Remarques :
- les trois parties sont indépendantes,
- toutes les réponses seront justifiées.
Un solide S de masse m = 2,0 x 10-1 kg et de centre d’inertie G est accroché à l’extrémité d’un
ressort R de masse négligeable et de raideur k = 20 N.m-1, l’autre extrémité du ressort étant
fixe. Ce solide peut se déplacer sur un plan horizontal. On travaille dans le repère (O,
i
r
) défini
sur le schéma ci-dessous :
Remarques :
- Quand le centre d’inertie G coïncide avec le point O, le ressort n’est ni étiré, ni comprimé.
- Dans les parties A et B les frottements sont négligeables.
A. Travail de la force de rappel
Un opérateur exerce sur le solide (S) une force
F
r
constante de valeur F = 10 N, dont la direction
fait un angle  = 60° avec l’axe du ressort. Le centre d’inertie G se déplace alors du point O à un
point A tel que OA = 10 cm.
1. Faites l’inventaire des forces s’exerçant sur le solide durant le déplacement du centre d’inertie
G du point O au point A (les caractéristiques des forces ne sont pas demandées).
2. Calculez le travail
OA
W (F)
r
effectué par la force
F
r
pour le déplacement de son point
d’application de O à A (on donne : cos 60° = 0,50).
3. Donnez l’expression vectorielle de la force de rappel
R
F
uur
dans le repère (O,
i
r
). Justifiez le fait
que cette force n’est pas constante.
4. Le travail de la force de rappel pour le déplacement de son point d’application de O à A est
donné l’expression :
OA R
W (F )
uur
= -
( )
2
1.k. OA
2
.
a) Calculez la valeur de ce travail.
b) Si la force de rappel avait été une force constante, la valeur absolue de ce travail aurait-elle
été plus grande ou plus petite ?
5. Que peut-on dire du travail des autres forces pour le déplacement OA ?
6. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, calculez la vitesse vA du centre d’inertie G du
solide S lorsqu’il arrive au point A (on supposera que la vitesse initiale v0 au point O est nulle).
x
i
r
O
G
(S)
(R)

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B. Etude énergétique de l’oscillateur harmonique
A partir de sa position de repos, on écarte maintenant le point G d’une distance a dans le sens
des élongations positives et on abandonne le système à lui-même sans vitesse initiale.
1. En supposant que la somme de toutes les énergies potentielles est nulle au point O, donnez
l’expression littérale de l’énergie mécanique Em du système à une date t quelconque en fonction
de l’élongation x et de la vitesse v du centre d’inertie G du solide (S). Précisez pourquoi cette
énergie mécanique reste constante (système conservatif).
2. Puisque l’énergie mécanique est constante, on peut écrire :
m
dE 0
dt =
. En déduire que l’équation
différentielle régissant le mouvement de G peut s’écrire : m.
2
2
dx
dt
+ k.x = 0
3. a) Vérifiez que la solution x(t) = A.cos (0.t + ), avec 0 =
0
2k
Tm
p=
, convient pour cette
équation différentielle.
b) Déterminez A (en fonction de a) et .
4. a) Donnez les expressions littérales de l’énergie cinétique EC(t) et de l’énergie potentielle Ep(t)
en fonction du temps.
b) En déduire l’expression littérale de l’énergie mécanique Em(t) en fonction du temps. Cette
expression confirme-t-elle le fait que le système est conservatif ?
C. Oscillateur amorti
A partir de sa position de repos, on écarte maintenant le point G d’une distance b = 10,0 cm dans
le sens des élongations positives et on abandonne le système à lui-même sans vitesse initiale.
On mesure les élongations lorsque la vitesse s’annule aux dates tn = n.
T
2
. Les résultats sont
rassemblés dans le tableau en annexe.
1. En supposant que la somme de toutes les énergies potentielles est nulle au point O, donnez
l’expression littérale de l’énergie mécanique Em du système aux dates considérées.
2. Complétez le tableau en calculant les valeurs de l’énergie mécanique. Conclusion ?
3. La variation Em de l’énergie mécanique entre deux dates est égale au travail de la force de
frottement
f
r
, supposée constante, entre ces deux dates.
En exprimant la variation d’énergie mécanique entre les dates 0 et T, calculez la valeur f de la
force de frottement.
ANNEXE
Tableau :
t
0
T
2
T
3T
2
æö
÷
ç÷
ç÷
÷
ç
èø
2T
5T
2
æö
÷
ç÷
ç÷
÷
ç
èø
3T
x (cm)
10
- 9,3
8,6
- 7,9
7,2
- 6,5
5,8
Em (mJ)

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- Corrigé -
A. 1. Faites l’inventaire des forces s’exerçant sur le solide durant le déplacement du centre d’inertie G du point O
au point A (les caractéristiques des forces ne sont pas demandées).
Les forces agissant sur le solide sont :
- Son poids
P
r
.
- La réaction
R
ur
du plan horizontal.
- La force
F
r
exercée par l’opérateur.
- La force de rappel
R
F
uur
du ressort.
2. Calculez le travail
OA
W (F)
r
effectué par la force
F
r
pour le déplacement de son point d’application de O à A (on
donne : cos 60° = 0,50).
OA
W (F)
r
=
F.OA
r uuur
= F.OA.cos  soit :
OA
W (F)
r
= 10 x 10 x 10-2 x cos 60° = 5,0 x 10-1 J
3. Donnez l’expression vectorielle de la force de rappel
R
F
uur
dans le repère (O,
i
r
). Justifiez le fait que cette force
n’est pas constante.
Dans le repère (O,
i
r
) qui a été défini :
- la valeur FR de la force de rappel est proportionnelle à la valeur absolue
x
de l’élongation,
-
R
F
uur
et
i
r
sont de même sens quand x est négative,
-
R
F
uur
et
i
r
sont de sens contraire quand x est positive.
Toutes ces propriétés se retrouvent dans l’expression :
R
F
uur
= - k.x.
i
r
4. a) Calculez le travail de la force de rappel pour le déplacement de son point d’application de O à A
OA R
W (F )
uur
= -
( )
2
1.k. OA
2
soit :
OA R
W (F )
uur
= - 0,5 x 20 x (10 x 10-2)2 = - 1,0 x 10-1 J
b) Si la force de rappel avait été une force constante, la valeur absolue de ce travail aurait-elle été plus grande
ou plus petite ?
Si la force de rappel avait été une force constante, l’expression de ce travail aurait été :
'
OA R
W (F )
uur
=
R
F
uur
.
OA
uuur
= FR. OA.cosFR.OA =>
'
OA R
W (F )
uur
= - k.(OA)2
On a donc
'
OA R
W (F )
uur
>
OA R
W (F )
uur
5. Que peut-on dire du travail des autres forces pour le déplacement OA ?
Les vecteurs poids et réaction du support sont perpendiculaires au vecteur déplacement : leur
travail est nul sur le trajet OA.
6. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, calculez la vitesse vA du centre d’inertie G du solide S lorsqu’il
arrive au point A (on supposera que la vitesse initiale v0 au point O est nulle).
La variation d’énergie cinétique entre les points O et A est égale à la somme algébrique des
travaux des forces extérieures qui se sont exercées pendant ce déplacement :
EC =
OA
W (F)
r
+
OA R
W (F )
uur
=
2
A
1.m.v
2
-
2
0
1.m.v
2
=> vA =
OA OA R
2(W (F) W (F ))
m
+
r uur
Soit : vA =
1
1
2 4, 0 10
2,0 10
-
-
´´
´
= 2,0 m.s-1

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B. 1. En supposant que la somme de toutes les énergies potentielles est nulle au point O, donnez l’expression
littérale de l’énergie mécanique Em du système à une date t quelconque en fonction de l’élongation x et de la
vitesse v du centre d’inertie G du solide (S). Précisez pourquoi cette énergie mécanique reste constante (système
conservatif).
On distinguera l’énergie potentielle de pesanteur Epp et l’énergie potentielle élastique Epe, et on
écrira :
Ep = Epp + Epe. Au point O : Ep = 0 => Epp = - Epe. Or, quand le centre d’inertie G coïncide avec le
point O, le ressort n’est ni étiré, ni comprimé, soit Epe = 0 pour cette position : donc Epp = 0 au
point O. Comme l’altitude ne varie pas, l’énergie potentielle de pesanteur reste constante et nulle
pendant les oscillations.
A une date quelconque, on peut alors écrire : Em = Ec + Epe soit Em =
22
11
.m.v .k.x
22
+
Cette énergie mécanique reste constante car les frottements sont négligeables : amortissement
nul et amplitude des oscillations constante.
2. En déduire que l’équation différentielle régissant le mouvement de G peut s’écrire : m.
2
2
dx
dt
+ k.x = 0
m
dE 0
dt =
= m.x’.x’’ + k.x.x’ (avec x’ =
dx
dt
et x’’ =
2
2
dx
dt
) => m.
2
2
dx
dt
+ k.x = 0
3. a) Vérifiez que la solution x(t) = A.cos (
0.t +
), avec
0 =
0
2k
Tm
p=
, convient pour cette équation
différentielle.
dx
dt
= -A.0.sin (0.t + ) et
2
2
dx
dt
= -A.
2
0
w
.cos (0.t + ) = -
2
0
w
.x
=> - m.
2
0
w
.x + kx = 0 : vrai si 0 =
k
m
.
b) Déterminez A (en fonction de a) et .
A t = 0 , x = a et v0 = 0 => x(0) = A.cos  = a et
0
dx
dt
æö
÷
ç÷
ç÷
÷
ç
ç
èø
= -A.0.sin  = 0 =>  = 0 ou
p
Or cos  > 0 =>  = 0 et A = a
4. a) Donnez les expressions littérales de l’énergie cinétique EC(t) et de l’énergie potentielle Ep(t) en fonction du
temps.
Ec =
2
1.m.v
2
=> Ec =
1
2
.m. [a.0.sin (0.t)]2 => Ec =
1
2
.m.a2.
2
0
w
.sin2(0.t) .
Or : 0 =
k
m
=> Ec =
1
2
.k.a2. sin2(0.t)
Epe =
2
1.k.x
2
=> Epe =
1
2
.k.[ a.cos (0.t)]2 => Epe =
1
2
.k.a2.cos2(0.t)
b) En déduire l’expression littérale de l’énergie mécanique Em(t) en fonction du temps. Cette expression confirme-
t-elle le fait que le système est conservatif ?
Em = Ec + Epe => Em =
1
2
.k.a2. sin2(0.t) +
1
2
.k.a2.cos2(0.t) =
1
2
.k.a2.[( sin2(0.t)+ cos2(0.t)]
=> Em =
1
2
.k.a2= Cte (le système est conservatif).

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C. 1. En supposant que la somme de toutes les énergies potentielles est nulle au point O, donnez l’expression
littérale de l’énergie mécanique Em du système aux dates considérées.
Aux dates considérées, x = +a ou x = -a et v = 0 : l’énergie cinétique est nulle et Em =
2
1.k.a
2
2. Complétez le tableau en calculant les valeurs de l’énergie mécanique. Conclusion ?
t
0
T
2
T
3T
2
æö
÷
ç÷
ç÷
÷
ç
èø
2T
5T
2
æö
÷
ç÷
ç÷
÷
ç
èø
3T
x (cm)
10
- 9,3
8,6
- 7,9
7,2
- 6,5
5,8
Em (mJ)
1,0 x 102
87
74
62
52
42
34
L’énergie mécanique diminue au cours du temps : le système n’est pas conservatif.
3. En exprimant la variation d’énergie mécanique entre les dates 0 et T, calculez la valeur f de la force de
frottement.
Em =
AB BC
W (f) W (f)+
rr
= - (f.AB) –(f.BC) = -f.(AB+BC) => f =
m
E
AB BC
D
+
Soit : f =
3
2
26 10
37,2 10
-
-
´
´
= 7,0 x 10-2 N