Chapitre 10 TS 2 Intégration On considère un repère orthogonal . 1

Chapitre 10
TS 2
Intégration


On considère un repère orthogonal O; i, j .
1 unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle OIKJ.
I – Intégrale d’une fonction positive
Définition :
On considère une fonction f continue et positive sur a; b. C f est sa courbe représentative


dans le repère O; i, j .
On définit le domaine D délimité par :
 Cf ,


Les droites d’équation x  a et x  b ,
L’axe des abscisses.
b
L’aire de D, exprimée en unités d’aire, est le réel
 f ( x) dx . Cette écriture ce lit « somme (ou
a
intégrale) de a à b de f ( x ) dx ». a et b sont les bornes de l’intervalle.
1
Chapitre 10
TS 2
Remarque :
b
Dans l’écriture
 f ( x) dx ,
la variable x n’a aucune signification particulière : on pourrait
a
l’appeler autrement :
b
b
a
a
 f (u) du ou  f () d (il s’agit d’une variable muette).
Exemples :
b
Si a  b alors

 f ( x) dx  0 .
a
b
Si f ( x)  m  0 alors

 f ( x) dx  (b  a)m .
a
Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur a; b. La valeur moyenne de f sur a; b est
b
1
. f ( x) dx .
b  a a
Remarques :

b

b
1
m
. f ( x) dx équivaut à (b  a)m   f ( x) dx . Autrement dit, la valeur
b  a a
a
moyenne est telle que l’aire du rectangle de dimensions b  a et m est égale à celle
« sous la courbe de f ».
En cinématique, m, la vitesse moyenne est la vitesse constante nécessaire pour
parcourir la même distance entre les temps a et b.
b

En physique, si y  f (x) alors
 f ( x) dx
est une grandeur homogène à xy et
a
b
1
. f ( x) dx est une grandeur homogène à y.
b  a a
2
Chapitre 10
TS 2
II – Intégrale d’une fonction de signe quelconque
1) Intégrale d’une fonction négative
Définition :
On considère une fonction f continue et négative sur a; b.
b
On définit l’intégrale de a à b de f par
 f ( x) dx   A où A est l’aire du domaine D du plan
a
délimité par la courbe C f , les droites d’équation x  a et x  b et l’axe des abscisses.
Exemple :
Soit f définie sur
par f ( x) 
1
x  2.
2
f est continue et négative sur 0;4.
4
Alors

0
4 2
1

f ( x) dx    x  2  dx   aire du triangl e OAB  
 4 .
2
2

0
4
2) Cas général
On considère une fonction f continue sur a; b.
3
Chapitre 10
TS 2
A1 est la réunion de toutes les parties du plan délimitées par C f , les droites d’équation x  a
et x  b et l’axe des abscisses, et au-dessus de cet axe.
A2 : idem mais sous l’axe des abscisses.
b
On pose
 f ( x) dx  aire de A
1
 aire de A2 .
a
Exemple (suite) :
6
 f ( x) dx  aire de BDC  aire de AOB  1  4  3 .
0
Définition :
b
1
Soit f une fonction continue sur a; b. La valeur moyenne de f sur a; b est
. f ( x) dx .
b  a a
Exemple (suite) :
Valeur moyenne de f sur 0;6 :
6
1
3
1
. f ( x) dx     .
60 0
6
2
III – Primitives d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie sur I telle que F '  f .
4
Chapitre 10
TS 2
Autrement dit :
Remarque :
On admet que si f est continue sur I alors f admet des primitives sur I.
Exemples :
x3
x3
 7 et x 
 4 définies sur
3
3
x  x² définie sur .
Les fonctions x 
'
sont des primitives de la fonction
'
 x3

 x3



En effet,   7   x ²    4  .
 3

 3

Théorème : Preuve 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle I qui admet une primitive de f sur I.
 Les primitives de f sur I sont les fonctions G de la forme F  k , k réel fixé, définies
sur I. Autrement dit : deux primitives sur I d’une même fonction diffèrent d’une
constante.
 Pour tous couples de réels x0 ; y 0  , il existe une unique primitive F0 de f sur I telle
que F0 ( x 0 )  y 0 .
Interprétation graphique :
Les courbes des primitives de f sur I sont les images de celle de F par des translations de
vecteur k j .
Par un point quelconque M 0 x0 ; y 0  , il passe une seule courbe d’une primitive de f sur I.
5
Chapitre 10
TS 2
Propriété : primitives et fonctions usuelles : Preuve 2
Fonction
Une primitive
f ( x)  a
F ( x)  ax
n
1
f ( x)  x ; n naturel, n  1
F ( x) 
x n 1
n 1
1
f ( x)  x n ; n entier relatif, n  2
F ( x) 
x n 1
n 1
1
F ( x)  2 x
f ( x) 
x
f ( x)  cos x
F ( x)  sin x
f ( x)  sin x
F ( x)   cos x
F ( x)  tan x
1
f ( x)  1  tan ² x 
cos ² x
f ( x)  e x
1
f ( x) 
x
F ( x)  e x
F ( x)  ln x
6
Condition de validité
Sur
Sur
Sur  ;0 ou sur 0;
Sur 0;
Sur
Sur
 


Sur  k  ;  k  , k 
2
2


Sur
Sur  ;0 ou sur 0;
Chapitre 10
TS 2
Propriété : primitives et opérations sur les fonctions : Preuve 3
On considère u et v deux fonctions définies sur un intervalle I et U et V deux de leurs
primitives respectives.
On considère G une primitive d’une fonction g définie sur un intervalle J contenant u (I )
(c’est-à-dire toutes les images par u des réels de I).
Fonction
Une primitive
Condition de validité
Sur I
f  au , a constante réelle
F  aU
Sur I
F  U V
f u v
n
Sur I
1
f  u '.u ; n entier, n  1
F
u n 1
n 1
n
Si u ne s’annule pas sur I
1
f  u '.u ; n entier, n  2
F
u n 1
n 1
f  u' g  u
Sur I
F Gu
Si u ( x)  0 sur I
u'
F 2 u
f 
u
f  u ' cos u
Sur I
F  sin u
f  u ' sin u
Sur I
F   cos u
F  tan u
u'
 


f  u ' (1  tan ²u ) 
Si u ( x)   k  ;  k  ,
cos ²u
2 2


k
u
u
Sur I
F e
f  u' e
Si u ne s’annule pas sur I
u'
F  ln u
f 
u
Exemples :

Primitives de f définies sur 0; par f ( x) 
F ( x)  4 ln x 
4 2

.
x x5
2
 k , k réel fixé
4x 4
1
 k car x  0 .
2x 4
Parmi celles-ci, il n’y en a qu’une seule qui vérifie F (1)  1 .
1
1
1 1
F (1)  4 ln 1   k   k , F (1)  1 ssi k  1   .
2
2
2 2
1
1
La primitive cherchée est F ( x)  4 ln x  4  .
2
2x
5
Primitives de g définie sur par g ( x)  x x ²  7  .
On pose u ( x)  x ²  7 pour tout réel x. Alors u ' ( x)  2 x .
Dans g (x ) on reconnaît alors la forme u '.u 5 . Elle provient de la dérivée de u 6 .
 4 ln x 

Donc G ( x) 
1 6
u 
6
1
2

 k , k réel fixé
car u '( x ) 2 x

1
( x ²  7) 6  k .
12
7
Chapitre 10
TS 2
IV – Intégrale et primitive
Théorème : Preuve 4
On considère une fonction f continue sur un intervalle I et a un réel de I.
x
La fonction F : x   f (t ) dt définie sur I est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
a
Exemple :
1
définie sur 0; est continue sur 0; .
x
x
1
Donc F définie sur 0; par F ( x)   dt est la primitive de f sur 0; qui s’annule en 1.
t
1
La fonction f : x 
x
1
Nous savons que F ( x)  ln x   dt .
t
1
Théorème : Preuve 5
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de I :
b
 f ( x) dx  F (b)  F (a)
où F est une primitive de f sur I.
a
b
On écrit alors
 f ( x) dx  F ( x)
b
a
.
a
Exemple :
4
dt
.
t
2
1
La fonction x  sur 0; a pour primitive x  ln x car elle est continue sur 0; .
x
4
dt
4
Donc   ln t 2  ln 4  ln 2  ln 2.
t
2
Calcul de I  
V – Propriétés de l’intégrale
Propriété : relation de Chasles :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b et c dans I, on a :
b

c
b
a
c
f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx .
a
Remarques :
b

En particulier

a

a
a
b
a
f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  0 donc
b

a
Si f est positive sur I on a :
8
a
f ( x) dx    f ( x) dx .
b
Chapitre 10
TS 2
La relation s’interprète en disant que :
aire sous la courbe entre a et b = aire sous la courbe entre a et c + aire sous la courbe entre c et b
Propriété : linéarité :
On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel fixé.
On a alors pour tous a et b dans I :
b

b
a
a
  f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx .
a

b
b
b
a
a
 kf ( x) dx  k  f ( x) dx .
Remarque :
Si f et g sont positives :
b
L’égalité
b
b
  f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx
a
a
se traduit graphiquement en disant que :
a
aire sous C f  g = aire sous C f + aire sous C g
Exemple :
3


Calcul de J   2e t  3t dt :
0
3
3
3
3
 
J   2e dt    3t dt  2 e dt  3 t dt  2 e
t
t
0

0

 2 e3  1  3 
0
t 3
0
0
9
27
31
 2e 3  2 
 2e 3  .
2
2
2
9
3
t² 
 3 
 2 0
Chapitre 10
TS 2
Propriété : positivité :
On considère f continue sur un intervalle I. Pour tous a et b dans I tels que a  b .
Si pour tout x de a; b, f ( x)  0 alors
b
 f ( x) dx  0 .
a
Remarques :
 La propriété est évidente d’après la définition d’une intégrale car comme f est positive,
b
 f ( x) dx est une aire.
a

La réciproque de la propriété est fausse. En effet si f ( x)  2 x  1 sur 0;3 alors
3
 2 x  1 dx  x²  x
3
0
 6  0 , or f (0)  1  0 .
0
Exemples :
1

e
t
dt  0 car e t  0 sur  7;1.
7
2


3
t dt  0 car

t dt  0 .
2
3
Propriété : conservation de l’ordre :
On considère f et g deux fonctions continues sur un intervalle I.
Pour tous a et b de I tels que a  b , si pour tout x dans
b
b

f ( x) dx   g ( x) dx .
a
a
Remarque :
Si de plus f et g sont positives sur a; b :
10
a; b,
f ( x)  g ( x) alors
Chapitre 10
TS 2
La propriété se traduit alors graphiquement en disant que :
aire sous C f  aire sous C g .
Propriétés : inégalités de la moyenne : Preuve 6
On considère f une fonction continue sur un intervalle a; b.
S’il existe deux réels m et M tels que pour tout x de
a; b
m  f ( x)  M
alors
b
m(b  a)   f ( x) dx  M (b  a) .
a
Remarque :
b
b
1
m(b  a)   f ( x) dx  M (b  a) équivaut (quand b  a ) à : m 
f ( x) dx  M . La
b  a a
a
valeur moyenne de f sur a; b est comprise entre m et M.
VI – Intégration par partie
Théorème : Preuve 7
On considère u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u’ et v’ sont
continues sur I.
Alors pour tous réels a et b dans I :
b
b
 u' ( x).v( x) dx  u( x).v( x)   u( x).v' ( x) dx .
b
a
a
a
Exemple :

2
Calcul de K   x. cos x dx .
0
On choisit u ' ( x)  cos x et v( x)  x .
Alors u ( x)  sin x et v' ( x)  1 .
 
Comme u, v, u’ et v’ sont continues sur 0;  , on peut intégrer par parties.
 2

2



2

2
K   x. cos x dx  u ( x).v( x)   u ( x).v' ( x) dx  x. sin x   sin x dx 
2
0
0
2
0
0
0

2

 cos x02 
VII – Applications
1) Distance parcourue en cinématique
Théorème (admis) :
Soit v (t ) la vitesse instantanée d’un point mobile en fonction du temps t.

La distance parcourue par ce mobile entre les instants  et  est  v(t ) dt (    ).

11

2
 1.
Chapitre 10
TS 2
Exemple :
Si v(t )  e t pour tout t dans 0;5 avec t en s et v (t ) en m.s-1.
Alors la distance parcourue est :
5
5
 
t
t
 v(t ) dt   e dt  e
0
5
0
 e 5  1  147 m .
0
2) Volume d’un solide
Théorème (admis) :
On considère un solide de l’espace compris entre les plans d’équation z  a et z  b ( a  b ).
Tout le plan d’équation z  t avec t  a; b coupe le solide selon une section d’aire S (t ) .
Quand S est une fonction continue sur a; b alors le volume du solide est
b
 S (t ) dt .
a
Exemple : volume d’une boule :
12
Chapitre 10
TS 2


  
Dans un repère orthonormal de l’espace O; i , j , k on considère la boule de centre O et de
rayon R ( R  0 ).
On coupe la boule par des plans d’équation z  t où  R  t  R .
La section est un disque de centre  et de rayon M .
Dans OM rectangle en  , d’après le théorème de Pythagore :
OM ²  O²  M ²
R²  t ²  M ²
donc M ²  R²  t ² .
L’aire S (t ) de la section est  .M ²   (r ²  t ²) . Donc le volume de la boule est :
R

R
 3 R3 

t3 
R3 
2  4
2
3

     R 3  R 3   R 3
S (t ) dt    ( R²  t ²) dt    R²t      R 
   R 

3  R
3 
3 
3  3
3

R

R
R
13