TS-tp-p1B-10

Document du logiciel radiochrolologie
La radiochronologie : détermination d’âges absolus à l’aide de la radioactivité.
Utilisation d’un logiciel dédié en Tale S.
La radiochronologie est la méthode de datation absolue la plus utilisée en géologie.
1 - Principe de la radiochronologie
Un isotope radioactif «élément père » se transforme progressivement en isotope radiogénique ou
« élément fils » suivant la loi de décroissance radioactive 1:
N(t) = N0 . e-t (voir l’annexe 1 pour les conditions de validité de la formule)
avec N(t) : nombre d’atomes de l’isotope radioactif à l’instant t, N0 : nombre d’atomes de l’isotope radioactif à
l’instant 0 et  : constante de radioactivité de l’isotope radioactif étudié.
La loi de décroissance radioactive permet de connaître le temps t à condition de pouvoir déterminer Nt , ce
qui est assez facile avec un spectrographe de masse (ou des techniques plus récentes) et N0, ce qui est plus
difficile. t = ln(N0/N(t)) /  .
Quel temps mesure-t-on ? (Quel est le zéro du N0 ?)
La détermination de N0 se fait de manière plus ou moins complexe suivant les cas, à partir du dosage
d’éléments fils dans la roche (sauf dans certains cas (14C ...)). On date alors le temps depuis lequel la
roche n’échange plus ni isotope radiogénique ni élément radioactif avec ce qui l’entoure. L’arrêt des
échanges est ce que l’on appelle la « fermeture du système » formé par la roche. Pour une lave, ce sera
le moment de refroidissement brutal de la lave, qui fige la roche et empêche ensuite les échanges2 etc...
La période  (ou demi-vie) de l’élément radioactif est le temps au bout duquel la quantité d’élément
radioactif est divisée par deux : N = N0 / 2 et donc  = ln 2 /  .
Principaux couples
d’isotopes utilisés
238
U  206Pb
235
U  207Pb
232
Th  208Pb
40
K  40Ar
87
Rb  87Sr
14
C  14N
Constante de radioactivité
(an-1)
1,55125 x 10-10
9,8485 x 10-10
4,9475 x 10-11
5,81 x 10-11
1,42 x 10-11
1,245 x 10-4
Demi-vie (années)
Domaine de datation
9
4,47 x 10
0,704 x 109
14,0 x 109
(11,9x 109 ) 3
48,8 x 109
5,730 x 103
plus de 25 Ma
1 à 300 Ma
plus de 100 Ma
100 à 50 000 ans
Constantes et domaines d’utilisation des principaux couples d’isotopes utilisés en radiochronologie.
Pour les datations, on ne pourra utiliser que des radio-isotopes présents dans la roche étudiée et dont la période est du même
ordre de grandeur que le temps que l’on veut mesurer. Ainsi, on ne peut utiliser le 14C pour dater des objets plus anciens que
50 000 (ou parfois 100 000 ans).
2 – Quelques exemples illustrés avec le logiciel
Le logiciel radiochronologie présente un modèle de décroissance de la quantité d’éléments radioactifs et
donne des exemples de datation en rapport avec le programme de Tale S. 4
2 . 1 - Loi de décroissance.
1
La loi fondamentale, plus facile à comprendre est celle qui concerne la vitesse d’apparition du produit (voir Annexe
1)
Si tant est qu’un réchauffement propice au métamorphisme ne facilite pas la diffusion des éléments.
La période (demi-vie) indiquée ne correspond pas à grand chose. Le 40K se désintègre aussi en 40Ca (voir 2.3)
4
La version datée « Novembre 2001 » du document d’accompagnement du programme comporte quelques coquilles :
la demi-vie du 14C est de 5730 ans (et non 5370). La demi-vie du 87Rb est de ≈ 50 milliards d’années (et non 50 millions).
1
2
3
Cette partie du logiciel présente une simulation qui permet d’explorer la vitesse de décroissance des
éléments. On peut rechercher la période (temps au bout duquel le rapport N / N0 = ½ ) et vérifier que la
valeur ¼ est atteinte après une nouvelle période...
On peut choisir l’isotope radioactif servant de support au modèle et montrer ainsi, par comparaison, que
les datations ne sont envisageables que pour des durées en rapport avec la période de l’isotope considéré
(comparer 238U, par exemple, et 14C).
Cinq isotopes ont été choisis dans le logiciel : 238U, 235U, 40K, 14C et 87Sr.
Les isotopes 238 et 235 de l’uranium sont à l’origine de familles radioactives complexes qui aboutissent
respectivement aux isotopes 206 et 207 du plomb. On peut négliger les éléments intermédiaires de ces
familles dans la mesure où la période de désintégration des éléments qui la compose est au moins 10 000
fois plus courte que celle de l’élément de départ. Tout se passe donc pratiquement comme si la
transformation était directe.
Pour la désintégration du 40K, le logiciel contient 2 modèles dans le menu loi :
 Le modèle simpliste ne tient compte que de la transformation de 40K en 40Ar. Les résultats
affichés sont donc purement théoriques et ne correspondent pas ni à la réalité de l’évolution du
nombre d’atomes de 40K ni à celle d’apparition de 40Ar (car celle-ci suit une loi plus
complexe – voir Annexe 2).
 Le modèle plus réaliste tient compte des deux transformations.
2 . 2 - Datation d’un morceau de bois avec le 14C :
L'isotope 14 de l'élément Carbone (14C) est produit en permanence dans la haute atmosphère à partir de
l'isotope 14 de l'élément Azote (14N), sous l'effet des rayons cosmiques.
Comme cette production compense la perte par radioactivité, le rapport isotopique 14C / 12C reste donc
constant pour le CO2 de l'atmosphère. Ce rapport isotopique reste donc aussi constant dans les tissus
vivants qui incorporent le CO2, directement (cas des végétaux autotrophes) ou non (cas des
hétérotrophes).
Après la mort, le 14C n'est pas renouvelé et le rapport isotopique décroît suivant la loi de décroissance
radioactive. L'âge de l'échantillon est calculé à partir de la mesure de sa radioactivité exprimée en coups
par minutes et par gramme de carbone. Aujourd’hui, la radioactivité du carbone des tissus vivants est de
13,56 cpm/g.
Pour déterminer l'âge d'un fragment de bois retrouvé dans une coulée de laves et dont la radioactivité est
de 8,56 cpm/g , il suffit d’appliquer la loi de décroissance de la radioactivité, ce qui est simplifié par
l’utilisation du logiciel.
L'âge ainsi estimé doit être corrigé pour tenir compte des variations de la teneur en CO2 de l'atmosphère
qui ont fait varier le rapport isotopique 14C / 12C.
2 . 3 - Datation de roches par la méthode K - Ar :
Le 40K se transforme en 40Ar par capture d’un électron. La demi-vie très longue de cette transformation
(12,9 Ga – constante λK = 0,581.10-10 an-1) permet d’utiliser cette méthode pour des roches très anciennes.
Dans ce cas, c’est la quantité d’élément radiogénique qui peut être connue dans des circonstances
favorables.
Dans les roches magmatiques, les gaz comme l’argon remontent vers la surface de la masse en
fusion. La quantité d’argon est donc nulle au sein de la roche au moment de sa solidification. Si la
roche (ou le minéral) ne laisse pas diffuser ce gaz5, tout l’argon que l’on peut extraire de la roche
provient de la transformation du 40K. La méthode demande un très grand soin pour éviter les
contaminations par l’atmosphère qui est relativement riche en Ar (environ 1%). Il faut préchauffer
l’échantillon pour détacher les molécules adsorbées à sa surface, puis le faire fondre dans une
enceinte au vide très poussé. La mesure de la quantité d’Ar se fait au spectrographe de masse sous
ultravide.
Les micas et les hornblendes, par exemple, retiennent bien l’Ar alors que les feldspaths potassiques le laissent
échapper.
5
2
Attention ! La relation entre la quantité d’Ar et le temps n’est pas celle que l’on pourrait déduire de la
formule classique. Le 40K se transforme aussi en 40Ca avec une émission β. La période est alors un peu
plus courte (1,4 Ga – constante λβ = 4,962.10-10 an-1) Au total, la disparition du 40K se fait avec une demivie de 1,25 Ga.


1  K
Ar
40


t

Ln
1


Le temps t se calcule avec
(voir Annexe 2 pour la
40



K
K  
K

démonstration).
40


Ar
10


t

0
,
1804
.
10
Ln
1

9
,
5404

soit
où t est exprimé en années.
40


K


Le logiciel permet de suivre l’évolution du rapport 40Ar/40K au cours du temps et permet ainsi une
datation à partie de valeurs concernant telle ou telle roche.



Remarques :
 La méthode est limitée dans le temps par la vitesse de diffusion de l’argon.
 L’isotope 40 du Ca étant le plus commun, il est rare de pouvoir l’utiliser comme on peut le
faire pour l’argon.
Application :
Un dosage effectué sur un basalte fournit 3,311.10-3 µg de 40Ar pour 6,140 µg de 40K. Quel est son
âge ?
2 . 4 - Datation de roches par la méthode Rb - Sr
Le rubidium est un élément souvent associé au potassium (situé juste au-dessus dans le tableau de
Mendeléiev). Son isotope 87 (87Rb) qui est radioactif se désintègre en strontium 87Sr avec une émission
β. Le Strontium est lui plutôt associé au calcium. La demi-vie est de 48,8 milliards d’années.
Ce cas (qui correspond à un cas plus général de datation) est plus complexe que les deux précédents. Il
s’agit de trouver l’âge de la roche alors que les quantités initiales d’isotope père et d’isotope fils sont
inconnues. Pour cela, il faut des mesures provenant d’au moins deux échantillons de même origine.
L’utilisation d’un isotope de référence est alors indispensable pour comparer les mesure des différents
échantillons. C’est l’isotope 86Sr qui est stable (comme 87Sr) mais qui n’est pas radiogénique qui a ici ce
rôle.
La loi de décroissance radioactive a ici sa forme habituelle :
NRb(t) = NRb0 e-λt [1]
où NRb(t) représente le nombre d’atomes de 87Rb au temps t et NRb0 le nombre initial.
Si les échantillons ont une même origine et n’ont échangé ni Sr ni Rb avec l’extérieur, les points
représentant les échantillons dans un repère d’abscisse 87Rb/86Sr et d’ordonnée 87Sr/86Sr sont alignés et la
pente (A) de la droite est reliée au temps par la formule :
ln(
A1)
ln(
A1)
A = eλt-1 d’où on tire t 
soit t 
11 voir le détail du calcul dans l’annexe 3.
1,42
.10

Application : (d’après J-M. Caron, A Gauthier, A. Schaaf, J. Ulysse, J. Wozniak – Comprendre et
enseigner la planète Terre) :
Des dosages effectués sur 11 échantillons de granodiorites et de granite de Plouaret (Bretagne) ont
donné les résultats suivants :
Echantillon
87
Rb/86Sr
87
Sr/86Sr
1
2
3
1,54
5,60
5,70
0,71290 0,73247 0,73247
± 9.10-5 ± 6.10-5 ± 6.10-5
4
12,2
0,76367
± 11.10-5
5
3,38
0,72289
± 9.10-5
6
7
8
4,52
4,81
0,209
0 ,72666 0,72782 0,70664
± 7.10-5 ± 7.10-5 ± 9.10-5
9
2,47
0,71671
± 7.10-5
10
11
6,18
11,14
0,73408 0,71099
± 8.10-5 ± 7.10-5
Les conditions nécessaires à la détermination de l’âge sont-elles réunies ? quel est l’âge des roches
donné par la méthode ? A quel événement correspond-il ?
3
Un autre exemple concernant la datation de coulées de laves du « grand Canyon » montre les limites
de ces méthodes :
Données concernant les laves de Cardenas à l’Est du grand canyon qui sont profondément enfouies :
âge K-Ar compris entre 760 et 860.106 ans
Echantillon
1
2
3
4
5
6
87
Rb/86Sr
1,133
1,305
1,597
1,677
2,288
2,673
87
Sr/86Sr
0,72436
0,72756
0,73077
0,73045
0,74263
0,74727
Données concernant la coulée de laves de l’Ouest du grand canyon qui est en surface et a un aspect
récent : âge K-Ar 1,2 ± 0,2.106 ans
Echantillon
1
2
3
4
5
6
87
Rb/86Sr
0,0544
0,0667
0,0860
0,1193
0,1211
0,2193
87
Sr/86Sr
0,70325
0,7043
0,7037
0,705
0,7046
0,7069
2 . 5 - Datation de la nucléosynthèse de l’élément Uranium du système solaire : (d’après Ph. Vidal
– Géochimie)
Données : Les expériences de collision dans des accélérateurs de particules ont permis de montrer que
lorsque l’élément U se forme par fusion de noyaux, comme dans certaines étoiles, le rapport des
quantités d’isotopes est de 238U/235U = 1,505. Des mesures effectuées sur des roches terrestres, des roches
lunaires et des météorites ont montré que le rapport moyen de ces deux isotopes dans le système solaire
est aujourd’hui de 137,8. A partir de ces données, il est possible de calculer le temps moyen écoulé depuis
la nucléosynthèse de l’élément Uranium. Le logiciel présente une simulation de l’évolution du rapport
isotopique à partir de l’instant de la nucléosynthèse pris comme temps t = 0.
Le modèle mathématique est assez simple dans ce cas :
238
238
10



U
U

(



).
t
8,29725.10
.
t





.
e

1
,
505
.
e
235
235




U
U


t  
0
Question : Quel est l’âge moyen de l’élément U du système solaire ?
On observera, après la datation suivante, que cet élément est plus ancien que le système solaire lui-même.
Le soleil, étoile qui ne synthétise pas de noyaux lourds comme ceux d’uranium est donc une étoile de
deuxième génération au moins. Dans ce cas, la référence de temps est fournie par les conditions initiales
qui ont été établies par une méthode indépendante. Le « système clos » est l’ensemble du système solaire
et la nébuleuse qui lui a donné naissance.
Remarque : pour simplifier, le modèle dessiné ne tient pas compte du plomb initial. Cet élément
n’intervient pas dans le calcul.
2 . 6 - Datation du système solaire :
Principe : La désintégration des isotopes 238 et 235 de l’élément Uranium donne respectivement
naissance aux isotopes 206 et 207 de l’élément Pb. En estimant les quantités d’isotopes 206Pb et 207Pb
issus de la désintégration radioactive de l’Uranium, on peut estimer le temps écoulé depuis que ces
isotopes sont produits dans une roche.
Deux problèmes compliquent les calculs :
Il y a une quantité initiale de Pb, inconnue, variable selon la roche, et qui s’ajoute à la quantité d’origine
radiogénique. L’étude de minéraux issus de météorites riches en Pb et très pauvres en U (sulfure de
canyon diablo) permet de s’affranchir de ce problème : les rapports isotopiques du plomb y sont restés
inchangés.
Plus la roche contient d’uranium, plus vite elle s’enrichit en plomb d’origine radiogénique. Cette
inconnue est éliminée en utilisant en même temps les renseignements issus de la désintégration
radioactive des deux isotopes.
Pour pouvoir comparer entre elles les différentes roches nécessaires à l’étude, on rapporte les quantités
4
de 207Pb et de 206Pb à la quantité d’isotope 204Pb. Cet isotope du plomb n’est ni radiogénique ni radioactif,
sa quantité est donc stable et peut servir de référence.
On choisit des roches provenant de milieux que l’on peut considérer comme clos et assez homogènes
depuis la formation du système solaire. Il s’agit de roches issues de météorites de roches lunaires et d’un
basalte de point chaud (qui vient des profondeurs du manteau terrestre qui est brassé par des mouvements
de convection).
Les données sont rapportées sur un graphique :
207
Pb/204Pb
Détermination de l'âge du système solaire
200
Roche
lunaire
150
100
Sulfure de
Canyon Diablo
50
0
0
géochrone
Météorite de
Nuevo Latedo
Basalte
50 de Hawaï
100
150
200
250
300
350
206
Pb/204Pb
La pente du géochrone est égale à 0,618.
Les données correspondant aux différentes roches sont alignées ce qui s’explique par le fait qu’elles sont
toutes représentatives de milieu clos de même âge : l’âge du système solaire (voir les calculs). On
suppose que les planètes et météorites se sont formées toutes en même temps, tout au début du système
solaire. La droite reliant les coordonnées des différentes roches est appelée le géochrone. La mesure de sa
pente permet de calculer le temps écoulé depuis que les systèmes considérés sont clos : l’âge du système
solaire.
La partie gauche de l’écran du logiciel schématise l’évolution de la teneur en différents isotopes
d’uranium et de plomb pour quatre roches théoriques de compositions initiales variées.
La partie gauche simule, sur un graphique, la variation des rapports isotopiques 206Pb/204Pb et 207Pb/204Pb
au cours du temps pour les quatre roches étudiées. La droite isochrone qui réunit les quatre points est
tracée à chaque époque. L’âge du système solaire est celui qui est affiché lorsque la pente de la droite est
égale à 0,618.
Les calculs correspondant à cette méthode sont détaillés dans l’annexe 4, les données d’origine de
Patterson figurent à l’annexe 5.
5
Annexes : détails de certains calculs
Annexe 1 : de l’équation fondamentale reflétant la logique du phénomène à la formule classique :
Principe : La quantité d’élément fils qui apparaît pendant un temps donné (donc sa vitesse d’apparition par
radioactivité) est proportionnelle à la quantité d’élément père présent :
dN
f
[1] avec Nf nombre d’atomes d’élément fils au temps t (fonction du temps), avec


N
(
t
)
p
dt
Donc N
(
t
)

f'
Np nombre d’atomes d’élément père au temps t (fonction du temps) et λ : constante de radioactivité.
Or, dans les cas simples, la quantité d’élément fils qui apparaît est égale à la quantité d’élément père qui disparaît

'(
t
)


N
(
t
)


N
(
t
)[2].
soit : N
p
f'
p
N
t)

N
t) est une équation différentielle classique dont on
p'(
p(


.t
t)
N
p(
p
0e
déduit par intégration : N
en ajustant la constante Np0 aux conditions initiales de l’instant t = 0.
Notons que si l’équation [1] est toujours vraie, la formule classique ne s’applique que si la relation [2] est
vérifiée c’est à dire :
 S’il n’y a pas d’autre transformation de l’élément père (voir annexe 2).
 Si l’élément père n’est pas lui-même radiogénique.
 S’il n’y a pas d’échange d’élément père avec l’extérieur du système (roche, minéral… considéré).
Annexe 2 : Calcul de la relation entre t et le rapport 40Ar/40K :
Dans ce cas les équations de départ sont les équations concernant les dérivées qui donnent la vitesse d’apparition
des produits :
'Ca
(
t)

(
t). La vitesse d’évolution du nombre d’atomes de
N
'Ar
(
t)

.N
(
t)[1] et N
.N
K
K
K
'K
(
t
)


(



).
N
(
t
)
K

K
l’opposé de la somme de ces deux vitesses6 soit N
40
K est

(


t
).
(
t)
N
e K
Par intégration de cette équation différentielle, on obtient : N
K
K
0
[2].
(la constante de désintégration globale est donc égale à K   )

(

).
t
'Ar
(
t
)

N
eK  qui donne par intégration :
En combinant [1] et [2], on obtient N
K
K
0




te
K

or NAr(0) = 0)
N
(
t
)

KN

e
C
Ar
K
0

K 

(
).
t



K
N
K
0et


K 

te
C



(



).
t
te
te
(
t
)

K N
(
t
)

C
 K N
(
t
)

e 
donc (en utilisant [2]) N
et C
Ar
K
K


K 
K

N
(
t
)
(



).
t
(
e 
1
)
puis, en divisant par NK(t) on obtient Ar K 
soit
N
(
t
)

K
K 

K


N
(
t
)

et, en prenant le logarithme

 N
(
t
)
K
e

1

( ).
t


K
K
Ar


K
K


N
(
t
)
1  K



t


ln
1

 Ar



(
t
)
K
 
K N
K


Annexe 3 : Calcul de t en fonction de la pente de l’isochrone de la méthode Rb-Sr
Le nombre N87Sr*(t) d’atomes de 87Sr formés à partir du 87Rb est égal au nombre d’atomes de rubidium désintégrés
: (* pour radiogénique)
N87Sr*(t) = NRb0 - NRb(t) = NRb(t) . (eλt – 1) en utilisant la formule de la décroissance radioactive NRb(t) = NRb0 . e-λt.
Le nombre total d’atomes de 87Sr est égal à ceux qui existaient à l’instant 0 ajoutés à ceux qui sont apparus :
N87Sr- total(t) = N87Sr*(t) + N87Sr-initial
En divisant par le nombre N86Sr d’atomes de l’isotope 86 du strontium, qui sert de référence, on obtient :






N
(
t
)
N
(
t
)
N
t
87
Sr
Rb
87
Sr

initial







e

1


équation de la forme Y = A . X + B, si on pose






N
N
N
Sr
86
Sr
Sr
86



86

 
6
NK(t) = NK0 – NAr*(t) – NCa*(t) (* pour radiogénique)
6
NRb(t)
N
(t)
87
Sr
X
N 
 et Y
 N 
. Les points représentant les mesures doivent donc être alignés dans un système
 86Sr 
 86Sr 
d’axes X ,Y . L’ordonnée à l’origine est le rapport isotopique initial du Strontium (pour X = 0 ,
N

87
Sr

initial

Y
 N
).
Sr 
 86
Annexe 4 : Calculs concernant l’âge du système solaire
207
PbS = 207Pb0 + 207Pbrad et donc 207PbS - 207Pb0 = 207Pbrad (1)
PbS : nombre d’atomes de 207Pb actuel (S représente ici l’âge du système solaire)
207
Pb0 : nombre d’atomes de 207Pb initial (au temps origine t = 0)
207
Pbrad : nombre d’atomes de 207Pb radiogéniques (venant de la désintégration de 238U)
207
Si le système est fermé,
Or
En remplaçant
238
US
238
=
207
Pbrad = 238U0 - 238US (2)
U0 . e-  . S et donc
238
238
U0
=
US . e  . S
238
U0 par sa valeur, (2) devient : 207Pbrad =
US . (e  . S -1)
238
En notant xS le rapport 207PbS / 204Pb et x0 le rapport 207Pb0 / 204Pb (204Pb est invariant)
238
US . (e  . S -1) (3)
Pb
235
U
De la même manière on pourra écrire yS - y0 = 204 S . (e ‘. S -1) (4)
Pb
on peut écrire : xS - x0 =
204
en notant yS le rapport 206PbS / 204Pb et y0 le rapport 206Pb0 / 204Pb .
Le rapport entre les expressions (4) et (3) est la pente du géochrone :
yS - y0
xS - x0
pente =
=
235
Le rapport isotopique
238
US (e ‘. S -1)
(5)
US (e  . S -1)
235
238
1
US
à l’heure actuelle et les constantes 
=
137,88
US
et ‘ sont connues.  et 
S ayant une valeur fixe, bien qu’a priori non connue, l’expression est donc constante pour un temps donné. Les
différents points xS , yS représentant sur le graphique les échantillons de roches qui répondent aux conditions fixées,
doivent donc être alignés. C’est d’ailleurs ce que l’on observe à la suite de mesures. La simulation du logiciel
montre que les points ont des rapports isotopiques différents parce que leurs teneurs relatives initiales en Plomb et
en Uranium étaient différentes. Plus la teneur en Uranium était forte au départ, plus les roches se sont enrichies en
isotopes 206 et 207 du Plomb depuis.
On peut aussi remarquer dans l’équation (5), que si la pente est connue par les mesures, la seule valeur qui n’est pas
connue est S : l’âge du système solaire que l’on peut déterminer à partir des autres valeurs. La résolution directe
n’étant pas possible, on travaille par approximations successives, comme on peut le faire avec la simulation du
logiciel.
Annexe 5 : Données utilisées par Patterson (le premier qui a utilisé la méthode Ur-Pb pour déterminer de
manière fiable l’âge du système solaire)
5 données viennent de météorites, la sixième provient de sédiments océaniques. Patterson considère que les
sédiments marins récents, produits par l’érosion des continents et mélangeant des éléments collectés de tout côtés
par les rivières, renferme le mélange le plus fidèle de plomb primordial et de plomb radiogénique correspondant à
la Terre. Les résultats comparés à ceux des météorites semblent-ils lui donner raison ?
Sédiments
Nom
Nuevo Laredo
Forest City Modoc
Henbury
Cañon Diablo
marins
Lieu
Nouv. Mexique
Iowa
Kansas
Australie
Arizona
206
204
Pb/ Pb
50,28
19,27
19,48
9,55
9,46
19,00
207
Pb/204Pb
34,86
15,95
15,76
10,38
10,34
15,80
7