Introduction à la loi normale

Introduction à la loi normale
Activité 1 : pourquoi centrer et réduire ?
1. Une entreprise commercialise des poulets. Les masses des poulets de la production ont pour
moyenne m  1500 g et pour écart-type   200 g.
On choisit un poulet au hasard dans la production.
Sa masse en gramme est une variable aléatoire X1 vérifiant E ( X1 )  1500 et  ( X1 )  200 .
a) Un poulet a pour masse x  1600.
xm
Calculer sa masse centrée x  m et sa masse centrée réduite
.

X m
b) La variable aléatoire Z1  1
est appelée variable centrée réduite associée à X1 .

Déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire Z1 .
Pour une variable X et a, b réels, on donne les relations :
E (aX  b)  aE ( X )  b et V (aX  b)  a 2 V ( X ) .
2. Comparaison
Un autre producteur commercialise des poulets dont les masses ont pour moyenne 1650 g et
pour écart-type 150 g. La masse en gramme X 2 d’un poulet pris au hasard dans cette production
vérifie E ( X 2 )  1650 et  ( X 2 )  150 .
a) Exprimer la masse centrée réduite Z 2 en fonction de X 2 .
b) On admet que Z1 et Z 2 suivent la même loi de probabilité.
Une personne achète un poulet au hasard dans chaque entreprise.
A-t-elle plus de chance d’avoir un poulet de plus de 1600 g de la première entreprise qu’un
poulet de plus de 1750 g de la seconde entreprise » ?
Activité 2 : vers le théorème de Moivre Laplace
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Sur ce graphique, on a représenté les diagrammes en bâtons d’une variable X suivant la loi
X  np
binomiale b (n, p) et ceux des variables Y  X  np et Z 
(centrée réduite associée).
np(1  p)
On remarque que pour les « grandes binomiales » le diagramme de Z a toujours à peu près la même
allure : celle d’une courbe en cloche, symétrique par rapport à (Oy).
1. Si X suit la loi binomiale b (n, p), démontrer que la variable centrée réduite associée vérifie
E ( Z )  0 et V ( Z )  1 .
2. Cas particulier : n  100 et p  0, 4 .
k  40
, pour tout entier k tel que 0  k  100 .
24
b) Quel est l’écart entre deux valeurs consécutives zk et zk 1 ?
c) On désire représenter la variable Z par un histogramme d’aire totale égale à 1 (comme une
1
1
loi à densité). Chaque rectangle a pour centre zk , pour largeur 
, et pour aire

24
P( Z  zk ) . Montrer que la hauteur de ce rectangle est P( X  k )  24 .
a) Justifier que Z prend les valeurs zk 
3. Cas général : n et p sont quelconques.
k  np
, pour tout entier k tel que 0  k  n .
np(1  p)
b) Quel est l’écart entre deux valeurs consécutives zk et zk 1 ?
c) On désire représenter la variable Z par un histogramme d’aire totale égale à 1 (comme une
1
1
loi à densité). Chaque rectangle a pour centre zk , pour largeur 
, et pour aire

np(1  p)
a) Justifier que Z prend les valeurs zk 
P( Z  zk ) . Montrer que la hauteur de ce rectangle est P( X  k )  np(1  p) .
Avec Geogebra
Créer successivement :
un curseur n allant de 10 à 1000
un curseur p allant de 0 à 1
Les nombres m  np et s  np(1  p)
Abscisse = Séquence[( ( k  m) /s, k, 0, n]
Proba = Séquence[Combinaison[n, k] p^k ( 1  p )^( n  k ), k, 0, n]
OU
Proba= Séquence[Binomiale[n,p,false], k, 0, n]
H= Barres[Abscisse, Proba*s]
Faire varier n et p. Que peut-on observer ?
2
1  x2
e .
On introduit la fonction f : x
2π
Représenter f sur la même figure que l’histogramme.
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