Dynamique du point

Dynamique du point
I Interactions
A) Les quatre interactions fondamentales
1) Interaction nucléaire forte
Interaction permettant la cohésion du noyau atomique
Portée : 10-15m
Energie de l’ordre du MeV  Fission et fusion.
2) Interaction nucléaire faible
n  p  e  
neutrino
Désintégration  du neutron
Portée : 10-18m
Energie de l’ordre de l’eV
3) Interaction électromagnétique
Interaction entre particules chargées. Cette interaction est attractive lorsque
les charges sont opposées, répulsive sinon.
1
L’intensité décroît en 2 ; elle a donc une portée infinie
r
Energie de l’ordre de l’eV
Explique la formation des atomes (noyau et cortège électronique), les
liaisons chimiques, les différents états de la matière.
4) Interaction gravitationnelle
Interaction entre particules qui ont une masse. Toujours attractive.
1
Portée infinie (intensité proportionnelle à 2 )
r
Pour un atome d’hydrogène :
m p me 
Gmp me  10 10 10 30 10 30
Fgrav G r 2


~
 1039
2
10
38
1 2
1 e
Félec
10 10
e
2
40
40 r
La force gravitationnelle domine à grande échelle (la matière est
globalement neutre, donc l’interaction électromagnétique est faible). Cette
interaction explique la pesanteur, la cohésion des (grosses) planètes, les
mouvements dans le système solaire, la dynamique des galaxies et de l’univers.
B) Les théories
Théories classiques
Gluons
Interaction
nucléaire forte
Bosons
Interaction
nucléaire faible
Interaction
électromagnétique
Interaction
gravitationnelle
Photons
Gravitons
Maxwell XIXe
Newton XVIIe
Relativité et mécanique quantique
Chromodynamique
quantique (quarks,
"reliés" par des gluons) Modèle standard
de la physique des
Interaction électrofaible
particules
 électrodynamique
quantique
Pas de théorie
quantique de la
gravitation
Relativité
générale

Tentative de "réunification" de l’interaction nucléaire forte et de
l’interaction électrofaible sous la « théorie de grande unification ».

Toutes les théories : « théorie des (grandes) cordes », ou « supersymétrie »
Echec pour les deux tentatives : conjectures à vérifier.
C) Les forces
Les interactions sont décrites par des forces de caractéristiques :
- point d’application
- direction
- sens

- intensité = F
F   N (Newton), 1N  1kg.m.s
-2
Les forces sont indépendantes du référentiel.
1) Forces de champ

F nedépend que de la position M du point matériel sur lequel elle
s’applique.
Exemples :



 pesanteur P  m  g (M ) (terre sphérique, donc la direction de g n’est pas

constante). A petite échelle, g est quasi-uniforme.
 Force électrique : dans une région de l’espace où règne un champ



électrique E (M ) , une charge q ponctuelle subit une force Fél  qE (M )
2) Forces dépendant de la vitesse
 
 
Force de Lorenz : dans un champ électromagnétique E , B , une particule q




en M à t subit la force de Lorenz : F Lorenz  q E / R ( M , t )  v M /( R )  B / R ( M , t )
Forces de frottement fluide : un système matériel en mouvement dans un


fluide visqueux au repos subit la force de frottement F    vM / fluide ( cte  0)


v M / fluide
(k  0)
ou F  k  
v M / fluide


3) Forces de contact. Sur une surface rigide immobile
RN
M
RT
S
M est sur la surface (S), soumis à une force appelée réaction du support sur




M : R  RN  RT , où RN est perpendiculaire à la surface, et RT est parallèle
(correspond aux frottements)
Lois empiriques du frottement solide : le contact entre M et (S) est
caractérisé par un coefficient f positif, appelé coefficient de frottement.


M est immobile lorsque RT  f RN


Lorsque M est en mouvement, RT est parallèle et de sens opposé à v , et de




 v M /( R )
module RT  f RN . Ainsi, RT   f R N 
v M /( R )
Méthode générale :


(1)
On suppose M immobile, on vérifie que RT  f RN (sinon, il est
en mouvement).
On suppose M en mouvement dans une direction donnée, on vérifie


que RT et v sont de sens contraires.
(2)
4) Forces de contact. Avec fil ou ressort
A

T'
Fil sans masse

T
M

Le fil exerce sur M une force appelée tension du fil T parallèle au fil et
dirigée vers le fil. La tension du fil est la même en tout point du fil : T ' // T , sens

 

opposé et T '  T ( T '  T )
A 
T'

T
M


On a toujours T '  T (s’il n’y a pas de frottements)
l = AM
A 
u
 M
T

 AM
Vecteur unitaire u dirigé dans le sens de l’extension du ressort, u 
AM


On a : T  k (l  l0 )  u , où k est la constante de raideur du ressort, l0 sa
longueur à vide.
II Les trois lois de Newton de la dynamique
A) Principe d’inertie
Il existe une classe de référentiels privilégiés dans lequel le mouvement de toute
particule libre est rectiligne uniforme, on les appelle référentiels d’inertie ou galiléens.
Pour M isolé (soumis à aucune interaction) dans un référentiel (R) galiléen :

 
v M /( R )  cte  a  0
 
(Cas particulier de la relation fondamentale de la dynamique lorsque F  0 )
(RT), référentiel terrestre, est un bon exemple de référentiel galiléen pour
T  24h, D   6400km
B) Principe de l’action et de la réaction
Soient deux systèmesA et B en interaction :


FAB  FAB , force exercée par A sur B.


FBA  FB A , force exercée par B sur A.


Alors FBA   FAB

Si A et B peuvent être assimilés à des points matériels, FAB // AB
C) Loi fondamentale de la dynamique
1) Enoncé
Dans un référentiel (R) galiléen, un point matériel M de masse m soumis à



une résultante F des forces a une accélération telle que F  m  a M /(R ) (relation
fausse en relativité restreinte)
Autre écriture :


On note p M /( R )  m  v M /( R ) la quantité de mouvement de M dans (R)

 dp M /( R )
Ainsi, F 
(relation vraie en relativité restreinte)
dt
2) Loi fondamentale de la statique (ou de l’équilibre)


 


M à l’équilibre dans (R) galiléen  vM /( R )  0  a M /( R )  0  F  0
III Application de la relation fondamentale de la dynamique (RFD)
A) Chute libre sans frottement
z

g

v0

j


i
Sol
x

On tire un projectile M avec une vitesse v0 dans le champ de pesanteur uniforme.
M est en O à t  0 .
 Référentiel (RT) galiléen
 Système : projectile M de masse m

 Bilan des forces : P
  
 Repère (O, i , ( j ), k )



OM  x  i  y  j  z  k




v M /( R )  x  i  y  j  z  k




a M /( R )  x  i  y  j  z  k



P  m  g  mg  k



v0  v0 cos   i  v0 cos   k


Relation fondamentale de la dynamique : P  m  a M /(R )
On projette sur les trois axes :
 0  mx  x  a1


 0  my   y  a2
 mg  mz  z   gt  a
3









à t  0, vM /( R )  x (0)  i  y (0)  j  z(0)  k  a1  i  a2  j  a3  k
Donc a1  v0 cos  ; a2  0 ; a3  v0 sin 

 x  v0 cos 
 x(t )  v0 cos   t  0


  y (t )  0
 y  0
 z   gt  v sin 

1 2
0

 z (t )   2 gt  v0 sin   t  0
Equation de la trajectoire :
1
x2
z g 2
 x tan 
2 v0 cos 2 
On a donc l’équation d’une parabole dans le pland’équation y  0 .

Flèche : point tel que
v sin 
dz
 z (t )  0 . On a t flèche  0
dt
g
v sin  v02 sin 2 
1 v 2 sin 2 
z flèche   g 0 2
 v0 sin   0

.
2
g
2g
g

La flèche est maximale quand  
2

Portée : point tel que z  0 et t  0
2v sin 
1
1
 gt 2  v0 sin   t  0   gt  v0 sin   0  t p  0
2
2
g
2
2
2v sin  cos  v0 sin 2

. La portée est maximale quand  
x(t p )  0

4
g
g

Parabole de sûreté
1
x2
 x tan   z ( )
A x fixé, z dépend de  : z   g 2
2 v0 cos 2 
On cherche le maximum de z à x donné
dz
0
On cherche donc z ' ( ) 
d
 gx 2   2  ( sin  ) 
1
x  g tan 
1 
z ' ( ) 

x



2v02 
cos 3 
cos 2  cos 2  
v02


On retire les cas où x  0 ou  
2

x 

v02
v02
g tan 
x

0

x

ou
tan


v02
g tan 
gx
1
g
1 g 2

x 2  x tan   
x (1  tan 2  )  x tan 
2
2
2 v0 cos 
2 v02
z ' ( )  0  1 
z max
v04 
v02
1 g 2
1 g 2 v02 v02
1 g 2 v02



x 1
x

x 


x 
2 v02  g 2 x 2 
gx
2 v02
2g g
2 v02
2g
En faisant varier x, on obtient ainsi une parabole, appelée « parabole de sûreté »
(Les points à l’extérieur ne pourront pas être atteints par M).
v02
2g
z ( ' )
z ( )
Parabole de sûreté
'

x
B) Chute libre avec frottements proportionnels à la vitesse

 



Bilan des forces : P, Fv    vM /( RT )   ( x  i  y  j  z  k )
 

Relation fondamentale de la dynamique : P  Fv  m  a M /( RT )

dv M /( RT )


m
   v M /( RT )  mg
dt ( R )
T
On a donc une équation linéaire du premier ordre avec second membre constant.


m   t
m
Donc v M /( RT )  g  Ae m . On pose  


 

 

A t  0 , v0    g  A . Donc A  v0    g


 
  t
Donc vM /( RT )    g  (v0    g )e m




OM    g  t  ( 2  g    v0 )e t /   B







à t  0 , OM  0   2  g    v0  B . Donc B    v0   2  g



OM    g  t   (v0    g )(1  e t /  )
 x(t )    v0 cos   (1  e t /  )
OM (t ) : 
t / 
 z (t )    g  t    (v0 sin   g   )  (1  e )
Calcul de zflèche : Le projectile atteint le point de hauteur maximale lorsque v z  0 .
   g  (v0 sin   g  )  e t /  0
 e t /  

 g
 g
 t   ln 
(v0 sin   g  )
 v0 sin   g 

 v sin   g 
   ln  0
 g


 v sin   g   

Donc t flèche   ln  0
 g


z (t )    g  t flèche    (v0 sin   g   )  (1  e tflèche /  )
 v sin  
    v0 sin 
  2 g ln 1  0


g


Si t   (et pas de contrainte sur z) :



lim x(t )    v0 cos 
t 



lim v M /( RT )    g    g  k
t 
C) Glissement d’un point matériel sur un plan incliné
y

g

N

j

i
M

P

T

x
On considère M en mouvement sur le plan.
 Référentiel terrestre (RT) supposé galiléen
 Système : point matériel M de masse m
    
 Forces : P, T , N ( T  N : réaction du support sur M)
 M obéit aux lois du frottement solide.
 
 f : coefficient de frottement. f  tan  0 , où  0   0; 
 2
 repère cartésien : O = position initiale de M.




P  mg  mg sin   i  mg cos   j


T  Tx  i


N  N y  j ( N y , Tx algébrique s)





Le mouvement est rectiligne. Donc OM  x  i ; v M /( RT )  x  i ; a M /( RT )  x  i
D’après la relation fondamentale de la dynamique, on a :

  





P  T  N  ma M /( RT )  mg sin   i  mg cos   j  Tx  i  N y  k  mx  i
 mg sin   Tx  mx

 mg cos   N y  0

Supposons M immobile :
d 2x
x(t )  cte  2  0
dt
 mg sin   Tx  mx
 Tx  mg sin 


 mg cos   N y  0
 N y  mg cos 

T
Tx
mg sin 

 tan   f (pour que l’immobilité soit possible)
 
mg cos 
Ny
N
Donc    0
Donc l’immobilité n’est possible que si    0 .
(si    0 , le solide ne peut pas être immobile)


Supposons M en mouvement dans le sens de  i :


 v M /( RT )
 
T f N 
  f N i
v M /( RT )

 Tx   f N   f  N y   f  mg cos 
 mx  mg sin   f  mg cos 
 x  g cos   (tan   tan  0 )
On a donc un mouvement rectiligne uniformément varié.
x  g cos   (tan   tan  0 )  t  x 0

0
x
1
g cos   (tan   tan  0 )  t 2  x 0 t  x0

2
0
- Si    0 , x augmente (ou reste constant). On a alors un mouvement rectiligne


uniformément accéléré. (Donc v est bien dans le sens de i )
- Si    0 , On a de même un mouvement rectiligne uniformément retardé.
x 0
Il existe donc t1  0 tel que x(t1 )  0 : t1 
g cos  (tan  0  tan  )


Pour t  0; t1  , x(t1 )  0 . Donc v et i ont même sens.
Pour t  t1 , M est immobile en x(t1 )

 Supposons M en mouvement dans le sens de  i :


 


T   f N  (i )  f N  i  f  mg cos   i
 mx  mg sin   f  mg cos 
 x  g cos   (tan   tan  0 )
x  g cos   (tan   tan  0 )  t  x0

0
x
1
g cos   (tan   tan  0 )  t 2  x0t  x0

2
0
Pour que l’hypothèse soit vérifiée, il faut que x  0 . Or, x 0  0 et augmente. il
 x 0
existe donc t1  0 tel que x(t1 )  0 : t1 
g cos  (tan   tan  0 )
Pour t  0; t1  , x (t1 )  0 .

Pour t  t1 , si    0 , on a un mouvement dans le sens de  i ; si    0 , le
mobile s’arrête en x (t1 )
D) Masse accrochée à un ressort
1) Ressort horizontal
k
A
O
l0

R
M

P

g

T
x

j
k

i
M, de masse m, est attaché à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0 .
 référentiel terrestre (RT) galiléen
 système : point matériel M



 Forces : Poids P , réaction de la tige R , tension ou force de rappel T .
 
 Repère cartésien (O, i , j ) . Oest tel que AO  l 0 .



P  mg  mg  j



R  R y  j  Rz  k





T  k (l  l 0 )  i  k ( AO  OM  l 0 )  i  k ( l 0  x  l 0 )  i  kx  i





OM  x  i ; v M /( RT )  x  i ; a M /( RT )  x  i
Loi fondamentale de la statique :
   
M est à l’équilibre dans (RT) si, et seulement si P  R  T  0  x  0
Loi fondamentale de la dynamique :
  

ma M /( RT )  P  R  T
mx  kx


k

  0  mg  R y  x  x  0 et R   P
m
 0R
z

On a donc un mouvement rectiligne sinusoïdal
k
x(t )  A cos(  t   ) avec  
m
Exemple : avec les conditions initiales x0  0, x 0  v0  0
t  0, x (t )   A sin( .t   )


A cos   0
   2
 x0  0




v


x

v

A

sin


v

0
0
0
0


   et A  0
2


v

x(t )  A cos(.t  )  0 sin .t
2

2) Ressort vertical

g
A

j
M
M est soumis à :



P  mg  mg  j



T  k (l  l 0 )  ( j )  k (l  l 0 )  j
Equilibre de M dans (R) :
  
P T  0
 mg  k (l  l 0 )  0
mg
k

On définit O par AO  l éq (ou AO  l éq ). OM  y  j
l éq  l 0 
 

ma M /( R )  P  T



 my  j   mg  j  k (l  l 0 )  j
 my  k (l  l 0 )  mg  k (l  l éq )
l  AM  AO  OM   l éq  y  l éq  y
Donc my   ky
 y 
k
y0
m