Nom : Groupe : Date : Exercices supplémentaires CORRIGÉ LA

Nom :
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Date :
Exercices supplémentaires
CORRIGÉ
LA MÉCANIQUE – CHAPITRE 3 :
LE MOUVEMENT EN DEUX DIMENSIONS
3.1
LES VECTEURS DU MOUVEMENT
1. Un orignal nage à une vitesse de 2,30 m/s dans un courant perpendiculaire de 1,60 m/s.
a) Quelles sont la grandeur et l’orientation du vecteur vitesse résultant de l’orignal ?
1. v = ?
θ=?
2. Comme le vecteur vitesse de l’orignal et le vecteur vitesse du courant sont perpendiculaires,
ils peuvent être considérés comme les composantes du vecteur vitesse résultant.
vx = 2,30 m/s (vitesse de l’orignal)
vy = 1,60 m/s (vitesse du courant)
3. v = (vx2 + vy2)
vy
tan θ =
vx
4. v = (2,30 m/s)2 + (1,60 m/s)2
= 2,80 m/s
1,60 m/s
tan θ =
2,30 m/s
= 0,70
θ = 34,8°
Réponse :
La grandeur du vecteur vitesse résultant de l’orignal est de 2,80 m/s et son orientation est de 34,8°.
b) Si la rivière a une largeur de 832 m, combien de temps l’orignal mettra-t-il à la traverser ?
1. ∆t = ?
2. ∆x = 832 m
vx = 2,30 m/s
∆x
∆x
3. vx = , d’où ∆t =
∆t
vx
832 m
4. ∆t =
2,30 m/s
= 361,74 s
Réponse :
L’orignal mettra 362 s (ou 6,3 min) à traverser la rivière.
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La mécanique – Chapitre 3
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1
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2. Une montgolfière, initialement au repos au sol, se déplace à vitesse constante. En 2 min,
elle se déplace de 350 m. La grandeur de son déplacement horizontal est de 305 m.
a) Quelle est la hauteur de la montgolfière par rapport au sol ?
1. Ay = ?
2. A = 350 m
Ax = 305 m
3. A = (Ax2 + Ay2), d’où Ay = (A2 – Ax2)
4. Ay = (350 m)2 – (305 m)2
= 171,7 m
Réponse :
La montgolfière se trouve à 172 m au-dessus du sol.
b) Quelles sont les composantes du vecteur vitesse de la montgolfière ?
1. vx = ?
vy = ?
2. xi = 0 m
yi = 0 m
xf = 305 m
yf = 171,7 m
∆t = 2 min ou 120 s
(xf – xi)
3. vx =
∆t
(yf – yi)
vy =
∆t
(305 m – 0 m)
4. vx =
120 s
= 2,54 m/s
(171,7 m – 0 m)
vy =
120 s
= 1,43 m/s
Réponse :
Les composantes du vecteur vitesse de la montgolfière sont vx = 2,54 m/s et vy = 1,43 m/s.
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2
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3.2
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LE MOUVEMENT DES PROJECTILES
1. Esther, fâchée contre son petit frère, donne un coup de pied dans l’ourson en peluche de celui-ci.
Le jouet est envoyé dans les airs à la vitesse de 17 m/s et selon un angle par rapport au sol de 35°.
a) Quelles sont les composantes du vecteur vitesse initiale de l’ourson ?
1. vix = ?
viy = ?
2. vi = 17 m/s
θ = 35°
3. vix = vi cos θ
viy = vi sin θ
4. vix = 17 m/s × cos 35°
= 13,93 m/s
viy = 17 m/s × sin 35°
= 9,75 m/s
Réponse :
Les composantes du vecteur vitesse initiale de l’ourson sont vix = 14 m/s et viy = 9,8 m/s.
b) Pendant combien de temps l’ourson demeure-t-il dans les airs ?
1. ∆t = ?
2. Lorsque l’ourson revient au sol, yf = yi = 0 m
De plus, viy = –vfy
viy = 9,75 m/s
vfy = –9,75 m/s
3. vfy = viy – g∆t
(vfy – viy)
D’où ∆t =
–g
–9,75 m/s – 9,75 m/s
4. ∆t =
–9,8 m/s2
= 1,99 s
Réponse :
L’ourson demeure dans les airs pendant 2,0 s.
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c) Quelle distance Esther devra-t-elle parcourir pour récupérer l’ourson lorsqu’il retombera au sol ?
1. ∆x = ?
2. vix = 13,93 m/s
∆t = 1,99 s
3. xf = xi + vix∆t, d’où ∆x = vix∆t
4. ∆x = 13,93 m/s × 1,99 s
= 27,72 m
Réponse :
Esther devra parcourir 28 m pour récupérer l’ourson de son petit frère.
2. Élie est un golfeur débutant qui rêve de faire un trou d’un coup. Lors d’une partie, il frappe une balle.
Celle-ci quitte le sol à la vitesse de 216 km/h et selon un angle de 35°. Si le trou est situé à 435 m du
départ et au même niveau, Élie réussira-t-il l’exploit tant attendu ? On suppose qu’il n’y a pas de vent.
1. ∆x = ?
2. vi = 216 km/h ou 60 m/s
θ = 35°
yi = yf
viy = –vf
3. vix = vi cos θ
viy = vi sin θ
(vfy – viy)
–g
xf = xi + vix∆t, d’où ∆x = vix∆t
vfy = viy – g∆t, d’où ∆t =
4. vix = 60 m/s × cos 35°
= 49,15 m/s
viy = 60 m/s × sin 35°
= 34,41 m/s
vfy = –34,41 m/s
(–34,41 m/s – 34,41 m/s)
∆t =
–9,8 m/s2
= 7,02 s
∆x = (49,15 m/s × 7,02 s)
= 345 m
Réponse :
Élie ne réussira pas l’exploit, puisque sa balle touchera le sol 90 m avant d’atteindre le trou.
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LA RELATIVITÉ DU MOUVEMENT
1. Une observatrice assise au bord d’une rivière voit passer deux kayaks. Elle mesure leur vitesse
de déplacement : l’un pagaie vers l’aval à une vitesse de 3,3 m/s, l’autre, vers l’amont à 0,9 m/s.
Si les deux kayakistes pagaient avec la même force, quelle est la vitesse du courant de la rivière ?
1. v1➞2 = ? (vitesse de la rivière par rapport à l’observatrice)
2. Je pose que le premier système de référence est la rivière et que le second est l’observatrice.
Il y a deux objets en mouvement, soient les kayakistes. Par conséquent :
vA2 = 3,3 m/s (vitesse du premier kayakiste par rapport à l’observatrice)
vB2 = –0,9 m/s (vitesse du deuxième kayakiste par rapport à l’observatrice)
On sait aussi que les deux kayakistes rament avec la même force, donc ils se déplacent
à des vitesses égales et opposées par rapport à la rivière :
vA1 = –vB1
3. v2 = v1 + v1➞2, d’où v1➞2 = v2 – v1
4. v1➞2 = vA2 – vA1
= 3,3 m/s – vA1
= vB2 – vB1
= vB2 + vA1
= –0,9 m/s + vA1
Je peux donc poser l’égalité suivante et isoler vA1 :
3,3 m/s – vA1 = –0,9 m/s + vA1
(3,3 m/s + 0,9 m/s)
vA1 =
2
= 2,1 m/s
Réponse :
La vitesse du courant de la rivière par rapport à l’observatrice est de 2,1 m/s.
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2. Deux automobiles, l’une et l’autre roulant
sur des rues perpendiculaires, avancent
vers le même coin de rue à une vitesse
de 40 km/h. Quelle est la grandeur
de la vitesse de la voiture A par rapport
à la voiture B ?
1. v1 = ? (vitesse de la voiture A par rapport à la voiture B)
2. Je pose que le système 1 est celui de la voiture B et que le système 2 est celui du sol.
L’objet en mouvement est la voiture A. Par conséquent :
v2x = 40 km/h et v2y = 0 km/h (vitesse de la voiture A par rapport au sol)
v(1➞2)x = 0 km/h et v(1➞2)y = 40 km/h (vitesse de la voiture B par rapport au sol)
3. v2 = v1 + v1➞2, d’où v1 = v2 – v1➞2
v1 = (v1x2 + v1y2)
4. v1x = v2x – v(1➞2)x
= 40 km/h – 0 km/h
= 40 km/h
v1y = v2y – v(1➞2)y
= 0 km/h – 40 km/h
= –40 km/h
v1 = (40 km/h)2 + (–40 km/h)2
= 56,57 km/h
Réponse :
La grandeur de la vitesse de la voiture A par rapport à la voiture B est de 57 km/h.
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DÉFIS DU CHAPITRE 3
1. Un joueur de basketball est situé sur la ligne des 3 points, soit à 6,25 m du panier, et tente de
marquer. Un adversaire, qui lui fait obstacle, le force à lancer le ballon avec un angle de 50° par
rapport à l’horizontale. Le panier est situé exactement 1 m au-dessus du point où est lancé le ballon.
Avec quelle vitesse scalaire le joueur doit-il lancer le ballon ?
1. v = ?
2. ∆x = 6,25 m
θ = 50°
∆y = 1 m
1
3. yf = yi + viy∆t – g(∆t)2
2
xf = xi + vix∆t
∆x
D’où ∆t =
vix
vix = vi cos θ
viy = vi sin θ
6,25 m
vix
J’insère ∆t dans la première équation :
6,25 m
1
6,25 m
1 m = viy ×
–
× 9,8 m/s2 ×
vix
2
vix
4. ∆t =
(
)(
(
))
2
Je remplace maintenant vix et viy par leur valeur en fonction de v :
6,25 m
1
6,25 m 2
1 m = v sin 50° ×
–
× 9,8 m/s2 ×
v cos 50°
2
v cos 50°
J’isole v :
(
)(
(
))
v = 8,476 m/s
Réponse :
Le joueur de basketball doit lancer le ballon avec une vitesse scalaire de 8,48 m/s.
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2. Au cœur du Vieux-Québec, il est possible de prendre le traversier pour se rendre à Lévis, ville située
sur la rive sud du fleuve Saint-Laurent. La distance entre les 2 rives est de 1,0 km et le transporteur
effectue la traversée en 10 min lorsque la vitesse du fleuve est de 3,0 nœuds. Déterminez la grandeur
(en nœuds) et l’orientation du vecteur vitesse que la capitaine devra donner au traversier si elle veut
surmonter le courant et se rendre au quai de la rive sud situé exactement en ligne droite avec le quai
de la rive nord (1 nœud équivaut à 1,852 km/h).
1. v1 = ? (vitesse du traversier par rapport au fleuve)
θ = ? (orientation du bateau par rapport au fleuve)
2. Le système 1 est lié au fleuve. Le système 2 est lié à la rive. L’objet en mouvement est
le traversier. L’axe des x est parallèle à la vitesse du fleuve. Par conséquent :
v(1➞2)x = 3,0 nœuds, soit 3 × 1,852 km/h = 5,556 km/h ou 1,55 m/s (vitesse du fleuve par rapport
à la rive)
v(1➞2)y = 0 m/s
∆x = 1,0 km ou 1000 m
∆t = 10 min ou 600 s
∆x
3. v =
∆t
v2 = v1 + v1➞2, d’où v1 = v2 – v1➞2
v = (vx2 + vy2)
vy
tan θ =
vx
1000 m
4. v2 =
= 1,67 m/s
600 s
v2x = 0 m/s
v2y = 1,67 m/s
v1x = v2x – v(1➞2)x
= 0 m/s – 1,55 m/s = –1,55 m/s
v1y = v2y – v(1➞2)y
= 1,67 m/s – 0 m/s = 1,67 m/s
v1 = (–1,55 m/s)2 + (1,67 m/s)2
= 2,28 m/s ou 8,21 km/h, soit 4,43 nœuds
1,67 m/s
tan θ =
–1,55 m/s
= –1,08
θ = –47,2° ou 132,8°
Réponse :
La capitaine devra donner une vitesse de 4,4 nœuds au traversier et une orientation de 133°
par rapport à la rive.
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