SPOT PUBLICITAIRE Dans le but de réaliser un spot publicitaire

SPOT PUBLICITAIRE
Dans le but de réaliser un spot publicitaire pour la sortie d’un nouveau modèle chez un
constructeur automobile, un publiciste imagine le scénario suivant :
La voiture à promouvoir sera larguée à partir d’un avion ainsi qu’un groupe de quatre
cascadeurs. Ceux-ci auront pour mission d’attacher chacun un parachute au véhicule, puis de
prendre place à son bord avant de déclencher l’ouverture des parachutes, le but étant de poser
le véhicule au sol sans dommage.
L’exercice consiste à vérifier la faisabilité de l’opération avant son exécution.
La voiture a une masse de M = 700 kg, celle de chaque parachutiste vaut m = 75 kg. L’avion
vole suivant une trajectoire horizontale à la vitesse constante de 50 m.s-1 à une altitude
suffisante pour réaliser l’opération.
Les cascadeurs, interrogés sur le sujet, pensent pouvoir réaliser la manœuvre en environ 30
secondes mais demandent, par mesure de sécurité, une durée opérationnelle de 50 secondes.
On pose les hypothèses simplificatrices suivantes :
1. les frottements de l’air sont négligés dans la phase de chute libre.
2. la trajectoire du mouvement parachuté est uniquement verticale.
3. les forces de frottements fluides exercées par l’air sur les parachutes sont
proportionnelles au carré de la vitesse f = kv².
4. la poussée d’Archimède est négligée.
On donne g = 9,8 m.s-2.
 Première phase
Le repère d’étude
)j,i(L, 
a pour origine le point de largage, l’axe horizontal étant orienté
dans le sens du mouvement de l’avion et l’axe vertical étant orienté vers le bas.
Chute libre (4,5 points)
1. Quelle est la vitesse initiale
0
v
de la voiture au moment du largage ?
2. Faire le bilan des forces s’exerçant sur la voiture.
3. A partir de la seconde loi de Newton, exprimer l’accélération
a
de la voiture, ainsi que
ses composantes dans le repère choisi.
4. En déduire les composantes de la vitesse
v
de la voiture pendant la chute.
5. En déduire la nature du mouvement sur chaque axe du repère.

6. Etablir les équations horaires x(t) et y(t) de la position de la voiture dans le repère.
7. Quelle est l’équation de la trajectoire ?
8. Quelle est l’allure de cette trajectoire ?
9. Justifier le fait que les cascadeurs possèdent le même mouvement que le véhicule.
Confrontation avec la réalité (3 points)
1. Calculer la valeur de la vitesse au bout de 50 s.
2. La comparer avec la célérité du son (340 m.s-1) et commenter.
3. Calculer la hauteur de chute au bout de 50 s. Qu’en pensez-vous ?
4. La première hypothèse simplificatrice vous parait-elle justifiée ?
En fait, les composantes des vitesses sont tracées sur le graphe 1 en annexe.
5. Quelle est la vitesse maximale atteinte ?
6. La deuxième hypothèse simplificatrice est-elle justifiée ?
 Seconde phase : descente verticale parachutée (3 points)
Le repère d’étude
)j(O,
a pour origine le point d’ouverture des parachutes, l’axe vertical
étant orienté vers le bas.
1. Faire le bilan des forces s’exerçant sur la voiture chargée de ses passagers.
2. A partir de la seconde loi de Newton, exprimer l’accélération
a
du véhicule.
3. Par projection sur l’axe vertical, en déduire l’équation différentielle du mouvement.
Au bout d’un régime transitoire d’environ 5 s, la vitesse verticale atteint une valeur limite.
On veut que la voiture se pose au sol avec une vitesse limite maximale de 10 m.s-1.
4. Compléter le graphique précédent au delà des 50 premières secondes.
5. Que vaut l’accélération lorsque le régime permanent est obtenu ?
6. En déduire l’expression du coefficient k, développé par les parachutes, en fonction de g,
vlim, M et m ? Calculer la valeur de k et préciser son unité.
 Mouvement réel (1,5 points)
On donne l’évolution de l’altitude du centre d’inertie du système en fonction du temps sur le
graphe 2 en annexe.
1. A quelle altitude a eu lieu le largage ?
2. Compléter le graphique au-delà de 50 s en le justifiant.
3. En déduire la durée totale de l’opération.

ANNEXE n°2 à rendre avec la copie
Graphe 1
t (s)
010 20 30 40 50 60 70
vx (m/s)
10
20
30
40
50
vy (m/s)
Graphe 2
t (s)
020 40 60 80 100 120 140
h (km)
0.5
1
1.5
2
2.5
3