L`équation différentielle s`écrit : + q = 0

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En Physique, en Économie, en Biologie,... , la loi d'évolution de nombreux phénomènes est décrite
par une équation dans laquelle figurent une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées.
Par exemple en physique, la chute verticale, sans vitesse initiale, d'un corps soumis à la résistance de l'air
aboutit à l'expression v ' = g – k v ² , v désignant la vitesse, g et k des constantes.
La résolution consiste à trouver la fonction v telle que, pour tout réel t 0, v ' (t) = g – k v ² (t) avec la
condition initiale v(0) = 0.
I- Généralités
Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; on appelle équation différentielle du n-ième ordre,
toute relation entre la variable, la fonction f et les dérivées de f jusqu'à l'ordre n, si elles existent.
Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient cette équation.
On dit aussi intégrer une équation différentielle. La courbe représentative d'une fonction solution
est appelée courbe intégrale.
II- Équation du premier ordre y ' – a y = 0, a 0
Soit a un réel, une fonction f, définie et dérivable sur un intervalle I, est solution de l'équation
différentielle y ' – a y = 0 signifie que pour tout x de l'intervalle I on a f '(x) – a f(x) = 0.
Commentaires
L'inconnue de l'équation y ' – a y = 0 est une fonction et l'on ne mentionne pas la variable.
Le second membre de cette équation différentielle est la fonction nulle.
Bien sûr, u ' – a u = 0 désigne la même équation que y ' – a y = 0
Vocabulaire
L'équation est dite :
- différentielle parce que figurent des fonctions dérivées de la fonction inconnue ;
- du 1° ordre parce qu'elle contient seulement la fonction dérivée première ;
- linéaire car n'interviennent que la fonction et ses dérivées au premier degré ( y et y ' et non pas y ², sin y, ... ) ;
- à coefficient constant car a est un réel donné.
Théorème
La solution générale de l'équation différentielle y ' – a y = 0 est l'ensemble des fonctions f
définies sur I;R par f(x) = C e ax avec C un réel.
Démonstrations
 Soit f une fonction solution de l'équation différentielle y ' – a y = 0 alors f ' (x) – a f(x) = 0
d'ou f ' (x) = a f(x). La fonction f est proportionnelle à sa fonction dérivée première.
L'étude des fonctions exponentielles nous a révélé de telles fonctions proportionnelles à leur dérivée.
Les fonctions f(x) = C e ax donnent f '(x) = a C e ax = a f(x) soit '(x) – a f(x) = 0.
 y ' – a y = 0 peut s'écrire
Error!
= a. En intégrant on obtient ln
y
= ax + c d'où
y
= e ax + c = e c e ax
et donc y = ± e c e ax soit y = C e ax avec C un réel.

Existe-t-il d'autres solutions ?
Supposons que g, définie sur un intervalle I, soit solution de l'équation différentielle y ' – a y = 0
Comparons-la à la fonction f = e ax pour laquelle C = 1.
Considérons la fonction r définie sur I par : r(x) =
Error!
= g(x).e – ax
donc : r '(x) = [g '(x) – a g(x)] e – ax
Or g est solution de y ' – a y = 0 pour tout x de I donc : g '(x) – a g(x) = 0 d'où r '(x) = 0
Puisque I est un intervalle, il en résulte que r est une fonction constante sur I.
Il existe donc un réel C tel que, pour tout x de I : r(x) = C d'où g(x) = C.eax
Les solutions de l'équation différentielle y ' – a y = 0 sont bien de la forme f(x) = C.eax
Conditions de Cauchy
D'après le théorème, il existe une infinité de solutions à l'équation différentielle y ' – a y = 0.
Si l'on fixe des conditions initiales (ou conditions de Cauchy ) pour la fonction ou ses
fonctions dérivées, C prend une valeur unique et l'équation y ' – a y = 0 admet alors une
solution unique.
Exemple : si y0 est la valeur de la fonction solution en x0, l'unique solution est : y = y0
)xx(a 0
e
.
III- Équation du second ordre y" + ² y = 0, 
Recherche des solutions
Considérons l'ensemble des fonctions g(x) = cos x.
Calculons leurs dérivées successives. g '(x) = – sin x g "(x) = – ².cos x = – ² g(x)
On a donc : g "(x) + ² g(x) = 0. Les fonctions de la forme g(x) = cos x sont solutions.
De même, considérons l'ensemble des fonctions h(x) = sin x
h ' (x) = cos x h ''(x) = – ² sin x = – ² h(x) d'où h "(x) + ² h(x) = 0
Les deux fonctions g et h sont donc des solutions de l'équation y" + ² y = 0.
Théorème
La solution générale de l'équation différentielle y" + ² y = 0 est l'ensemble des fonctions f
définies sur I;R par f(x) = C1 cos x + C2 sin x avec C1 et C2 des réels.
Démonstration
Considérons l'ensemble des fonctions f définies par f(x) = C1 cos x + C2 sin x .
Les dérivées successives sont : f '(x) = – C1  sin x + C2  cos x
et f "(x) = – C1 cos x – C2 sin x = –  C1 cos x + C2 sin x) = – f(x)
On obtient bien : f "(x) + f(x) = 0
IV- Équation différentielle avec second membre
La solution générale d'une équation différentielle avec second membre est obtenue en ajoutant à la
solution générale de l'équation sans second membre, une solution particulière de l'équation avec
second membre. Solution Générale = Solution Sans Second Membre + Solution Particulière
La solution particulière de l'équation différentielle sera toujours donnée.

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V- Équation du second ordre y" + ay' + by = 0, a 0, b 0
Recherche des solutions
Nous ne connaissons pas à priori de solutions, hormis la fonction nulle, comme pour
l'équation du premier ordre. Voyons si les fonctions exponentielles sont solutions.
Considérons la fonction f(x) = e rx avec r un réel quelconque.
Notons que f '(x) = r.e rx et que f "(x) = r².e rx
Si f est solution, pour tout réel x, on peut écrire : r².e rx + a r.e rx + b e rx = 0
Puisque e rx n'est jamais nulle, il nous faut résoudre : r² + a r + b = 0.
Cette équation du second degré appelé équation caractéristique.
Théorème
On associe à l'équation différentielle y" + a y ' + b y = 0 l'équation caractéristique r² + a r + b = 0.
On démontre et on admettra que la solution générale de l'équation différentielle y" + a y ' + by = 0
est l'ensemble des fonctions f définies sur I; R comme suit.
Équation caractéristique
r² + a r + b = 0
Solutions de l'équation
y" + a y ' + b y = 0
  > 0, deux racines réelles r1 et r2
f(x) =
xrxr 21 eBeA 
 = 0, une racine double r
f(x) = (Ax + B) e rx
 < 0, deux racines complexes conjuguées
r1 =  + i  et r2 =  – i 
avec  = –
Error!
et  =
2
1
f(x) = e x (A cos x + B sin x)
A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Exemples :
1. Résolution de l'équation différentielle y" – y ' – 6y = 0
L'équation caractéristique est r ² – r – 6 = 0 d'où  = (– 1)² – 4 (1) (– 6) = 25.
L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r 1 = – 2 et r 2 = 3
L'équation différentielle y" – y ' – 6y = 0 a pour solution générale f(x) = A e – 2x + B e 3x
2. Résolution de l'équation différentielle y" + 6 y ' + 9y = 0
L'équation caractéristique est r ² + 6r + 9 = 0 ;  = (6)² – 4 (1) (9) = 0. Une solution r = – 3.
L'équation différentielle y" + 6y ' + 9y = 0 a pour solution générale f(x) = (Ax + B) e – 3x.
3. Résolution de l'équation différentielle y" + 2 y ' + 5y = 0
L'équation caractéristique est r2 + 2r + 5 = 0 ;  = – 16, pas de solution réelle.
On a :  = –
Error!
= –
Error!
= – 1 et  =
2
1
= 2. (Attention : a est le coefficient de y" + a y ' +
by = 0)

R
C
A B
i
q(t) = q0
RC
t
e
x
BAG
O
x'
La solution générale est f(x) = e – x (A cos 2x + B sin 2x).
VI- Applications
1- Décharge d'un condensateur à travers un résistor : équation différentielle y ' – a y = 0
Un condensateur de capacité C se décharge dans un résistor de résistance R.
A l'instant t = 0, le condensateur porte la charge q0 sous une tension U0.
a) Déterminer la loi de décharge du condensateur.
b) Calculer la solution particulière pour C = 1,6 F, R = 500  et U0 = 24 V.
c) En déduire l'expression de l'intensité i(t).
a) On a vA – vB =
Error!
et vA – vB = – Ri et, comme i =
Error!
On obtient l'équation différentielle : R
Error!
= –
Error!
soit R
Error!
+
Error!
q = 0.
L'équation différentielle s'écrit :
Error!
+
Error!
q = 0
L'équation est de la forme y ' – a y = 0 avec a = –
Error!
Les solutions, sur I; R, sont de la forme : q(t) = k
RC
t
e
avec k une constante réel.
La condition initiale, à t = 0, q = q0, permet de déterminer la constante k : q(0) = q0 = k
La solution de l'équation différentielle qui
constitue la loi de décharge du condensateur est :
b) RC = 500 1,6 10 – 6 = 8 10 – 4 et
Error!
1250
En tenant compte de la condition initiale q = q0 pout t = 0, il vient k = q0 = C U0
soit k = 1,6 10 – 6 24 = 384 10 – 7. La solution est : q(t) = 384 10 – 7 e – 1250 t.
c) i(t) =
Error!
= 384 10 – 7 ( – 1250 e – 1250 t) et donc i(t) = – 48 10 – 3 e – 1250 t.
2- Oscillations non amorties : équation différentielle y" + ² y = 0
Un solide de masse m, attaché à l'extrémité A d'un ressort de raideur k, peut se déplacer
horizontalement sans frottement suivant l'axe x'x.
L'origine des espaces est confondue avec la
position d'équilibre du centre d'inertie du solide.
A l'origine des temps, on écarte le solide de sa
position d'équilibre d'une longueur x0 dans le sens positif et on l'abandonne sans vitesse initiale.
L'accélération à la date t est
Error!
et la force qu'exerce le ressort sur le solide est – kx.
D'après le principe fondamental de la dynamique : m
Error!
= – kx soit m
Error!
+ kx = 0.
Cette équation s'écrit
Error!
+
Error!
x = 0. Elle est de la forme y" + ² y = 0 avec =
m
k
Ses solutions, sur I; R, sont de la forme :
x(t) = C1 cos
m
k
t + C2 sin
m
k
t où C1 et C2 sont des constantes arbitraires.

PhG-Équodiff 5/5
B x
A
y
A l'instant t = 0, x(0) = C1 = x0 et la vitesse initiale étant nulle x '(0) = C2
m
k
= 0 donc C2 = 0.
x '(t) = – C1
m
k
sin
m
k
t + C2
m
k
cos
m
k
t
La position x du centre d'inertie en fonction du temps est :
x(t) = x0 cos
m
k
t où x(t) = x0 cos t avec =
m
k
3- Fléchissement d'une poutre : équation différentielle y" = f(x)
On considère une poutre de longueur l posée sur deux appuis A et B. Cette poutre supporte en
son milieu une charge P. Il y a fléchissement de cette poutre.
On se propose de déterminer l'équation de la déformée de la poutre y = f(x) c'est-à-dire la
fonction qui à chaque valeur de l'abscisse d'un point de la poutre x associe le fléchissement y.
On démontre et on admettra que y" = –
Error!
x où E, en
Error!
, est le module d'élasticité
longitudinal et I, en mm4, est le moment d'inertie de la poutre.
y" = –
Error!
x est une équation différentielle du second ordre.
En intégrant, il vient : y ' = –
Error!
Error!
+ C où C est une constante à déterminer.
Comme le maximum de fléchissement est au milieu de la poutre, on a y '
Error!
= 0.
D'où –
Error!
Error!
+ C = 0 soit C =
Error!
. On a alors y ' = –
Error!
x2 +
Error!
.
En intégrant, il vient : y = –
Error!
Error!
+
Error!
x + K où K est une constante à déterminer.
Comme en x = 0 le fléchissement est nul, on a y(0) = 0 (c'est un point d'appui) et K = 0
L'équation de la déformée de la poutre est finalement : y = –
Error!
Error!
+
Error!
x