Terminale S

Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT
GROSSHENY L.
Terminale S
Chapitre 11
Etude des mouvements plans.
I. Etude du mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur.
 Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.
 Montrer que le mouvement est plan.
 Établir l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques.
 Savoir exploiter un document expérimental reproduisant la trajectoire d'un projectile: tracer des
vecteurs vitesse et accélération, déterminer les caractéristiques du vecteur accélération, trouver les
conditions initiales.
1. Etude expérimentale.
Etudions le mouvement du centre d’inertie d’une balle avec une vitesse initiale.
Réaliser la chronophotographie à partir de la vidéo « vitesse_1m10 ».
La balle est soumise à son poids
P
, à la poussée d’Archimède due à l’air
Pa
et aux frottements
f
.
L’étude expérimentale permet de montrer que le vecteur accélération est globalement vertical et de
valeur 9,80. On conclue que
a
=
g
Appliquons la deuxième loi de Newton :
P
+
Pa
+
f
= m.
a
donc
Pa
+
f
=
0
La balle n’est soumise qu’à son poids.
Le vecteur accélération de la bille est égal au champ de pesanteur : la bille est en chute libre.
Déterminons l’expression de l’équation horaire du mouvement :
y = -4,85 *t² + 0,482 *t + 1,67
x = 1,18 * t
z = 0

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2. Comment déterminer théoriquement l’équation horaire ?
Utilisons la relation vectorielle :
a
=
g
à projeter dans un repère (O,i,j,k) du référentiel terrestre.
Les coordonnées du vecteur accélération sont donc :
ax = dVx / dt = 0
ay = dVy / dt = - g
az = dVz / dt = 0
Cherchons les primitives de ces trois fonctions. On obtient :
Vx = C1
Vy = - g t + C2
Vz = C3
Les 3 constantes C1, C2 et C3 sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux
coordonnées du vecteur vitesse , à l'instant 0. Par conséquent :
Vx = dx / dt = V0 sinα
Vy = dy / dt = - g t + V0 cos α
Vz = dz / dt = 0
- Cherchons de nouveau les primitives de ces trois fonctions :
x = V0 sinα .t + C4
y = - g t² + V0 cos α . t + C5
z = C6
Les 3 constantes C4, C5 et C6 sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux
coordonnées du vecteur position initiale , à l'instant 0. Par conséquent :
Vo
α
y
y
x
Vo
Voy = Vo.cosα
α
Vox = Vo.sinα

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x = V0 sinα .t
y = - ½ .g t² + V0 cos α . t + y0
z = 0
On a obtenu les équations horaires paramétriques du mouvement.
Comme z = 0, la trajectoire est plane. Le mouvement a lieu dans le plan vertical (xoy).
Le mouvement suivant Ox est uniforme.
Le mouvement suivant Oy est uniformément varié.
Comparons au résultat trouvé précédemment :
y = -4,85 *t² + 0,482 *t + 1,67
x = 1,18 * t
z = 0
soit
g = 2 * 4,85 = 9,70 N/kg
yo = 1,67 m
V0 sinα = 1,18
V0 cos α = 0,482
tanα =1,18/0,482 = 2,45
soit α = 67,8 °
et Vo = 1,27 m/s
3. Comment déterminer l’équation de la trajectoire ?
On obtient l’équation de la trajectoire ( y en fonction de x ) en éliminant le temps dans l’équation
horaire.
D’après l’équation de x on a : t =
sin.Vo x
Que l’on remplace dans l’équation en y :
y = - ½ .g {
sin.Vo x
}² + V0 cos α .
sin.Vo x
+ y0
y =
²sin²..2 ². Vo xg
+
tan
x
+ yo
Attention : cette équation n’est pas générale, elle dépend du choix de l’angle (entre Vo et l’axe Oy
ou entre Vo et l’axe Ox). Dans tous les cas, elle est à retrouver.

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II. Etude du mouvement des planètes.
1. Comment décrire le mouvement d’une planète ?
 Enoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique.
Activités : Les lois de Kepler.
2. Quelle est la valeur de l’accélération d’une planète dans le
référentiel héliocentrique ?
 Énoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la répartition
des masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille.
 Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète.
Activité.
 Déterminer les forces appliquées au système.
 Appliquer la deuxième loi de Newton au système et déterminer l’expression littérale du son vecteur
accélération.
Une planète est soumise dans le référentiel héliocentrique à la force gravitationnelle exercée par le
Soleil :
F
= - G .
²
.
rmMs
.
u
Appliquons la deuxième loi de Newton :
F
= m.
a
soit
a
= - G .
². r
Ms
.
u
Le vecteur accélération d’une planète est indépendant de sa masse.
Il est toujours suivant la direction Soleil-planète et il est dit radial ; il est toujours dirigé vers le
centre du Soleil, il est dit centripète.
3. Comment étudier un mouvement circulaire ?
 Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur accélération.
 Connaître les conditions nécessaires pour observer un mouvement circulaire uniforme: vitesse initiale non
nulle et force radiale.
 Démontrer que le mouvement circulaire et uniforme est une solution des équations obtenues en appliquant la
deuxième loi de Newton aux satellites ou aux planètes.
 Définir la période de révolution et la distinguer de la période de rotation propre.
 Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire.
 Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme.
 Exploiter des informations concernant le mouvement de satellites ou de planètes.
Le vecteur accélération n’est pas dirigé suivant une direction fixe comme pour l’étude d’un
projectile dans un champ de pesanteur, il varie avec le mouvement en direction.
a. Comment étudier un tel mouvement circulaire ?
On utilise un repère dit repère de Frenet qui permet d’étudier le vecteur
accélération suivant deux axe : un axe normal et un axe tangentiel.
Le vecteur unitaire est tangent à la trajectoire plane, au point M où se
trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement
dans le sens du mouvement).
Le vecteur unitaire est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.
Par définition :

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L’accélération tangentielle fait varier la vitesse alors que l’accélération normale modifie la
direction.
Exemples :
b. Que se passe-t-il pour un mouvement circulaire uniforme ?
c. Activité :
 En utilisant l’expression du vecteur accélération et les composantes de l’accélération dans le
repère de Frenet, déterminer l’expression de la vitesse d’une planète.
Exprimer cette vitesse en fonction de G, Ms et R.
En déduire que la vitesse d’une planète est uniforme et indépendante de la masse.
 Exprimer la période T en fonction de g, Ms et R. (utiliser la définition de la vitesse : V =
distance d’un tour / temps pour un tour (période))
 Montrer que le rapport T²/ r3 est constant et indépendant de la masse de la planète.
Ce résultat constitue une loi. Laquelle ?
On a
a
= - G .
². r
Ms
.
u
= G .
². r
Ms
Un
Or
a
=
dt
dV
Ut
+
r
V²
Un
= G .
². r
Ms
Un