Exercice 1

QUELQUES EXERCICES D’ARITHMETIQUE
Exercice 1
On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S = x + y et P = xy.
1. a. Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b. En déduire que S = x + y et P = xy sont premiers entre eux.
c. Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes.
2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que SP = 84.
4. Déterminer les entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :
a  b  84
avec d = PGCD(a ; b).

3
ab

d

(Nouvelle-Calédonie – décembre 2002)
Exercice 1
1.a. Par hypothèse x et y sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Bézout, il existe deux
entiers relatifs u et v tels que :
ux + vy = 1.
Cette relation est encore équivalente à : (u - v)x + v(x + y) = 1 soit (u – v)x + vS = 1.
Le corollaire du théorème de Bézout permet de conclure que :
les entiers x et S sont premiers entre eux.
De même, ux + vy = 1  u(x + y) + (v – u)y = 1. Donc
les entiers y et S sont premiers entre eux.
b. Soit p un diviseur premier commun à S et P. Comme p divise xy on peut en déduire que :
p divise x
ou
p divise y.
Ainsi :
p divise x et p divise S
ou
p divise y et p divise S.
Or, d’après la question précédente, x et S sont premiers entre eux, de même que y et S. On en déduit
donc qu’il n’existe aucun diviseur premier p commun à P et S.
Par conséquent,
les entiers S et P sont premiers entre eux.
c. Les entiers x et y étant premiers entre eux, ils sont soit tous les deux impairs, soit de parités
différentes. Dans le premier cas, S est un entier pair et P est un entier impair. Dans le second cas, S
est un entier impair et P est un entier pair.
En conclusion,
les entiers S et P sont de parités différentes.
2
2. 84 = 2 37 donc on dénombre (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 diviseurs positifs de 84.
Ces 12 diviseurs positifs de 84, rangés par ordre croissant, sont les entiers :
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.
3. Par hypothèse, x et y sont des entiers premiers entre eux tels que : SP = 84.
On a démontré, dans la question 1. b. que S et P sont premiers entre eux. Donc les seules écritures de
84 sous la forme d’un produit de deux entiers premiers entre eux sont :
84 = 184 84 = 421 84 = 328 84 = 127.
On en déduit que les entiers x et y, s’ils existent, sont solutions des systèmes :
xy  1
xy  84
xy  4
xy  21
xy  3
xy  28
xy  12
xy  7
ou 
ou 
ou 
ou 
ou 
ou 
ou 

x  y  84 x  y  1 x  y  21 x  y  4 x  y  28 x  y  3 x  y  7 x  y  12
Les seuls couples (x, y) solutions sont (3, 4) et (4, 3).
Donc les seuls nombres premiers entre eux x et y dont la somme S et le produit P vérifient : SP = 84
sont les entiers 3 et 4.
a  b  84
4. On détermine les entiers naturels a et b tels que : 
où d = PGCD(a ; b).
3
ab  d
Il existe deux entiers naturels x et y premiers entre eux tels que : a = dx et b = dy.
Avec ces notations, le système initial s’écrit :
d(x  y)  84 d(x  y )  84
.

 2
3
xy  d
d xy  d
On est ainsi amené à rechercher deux nombres entiers x et y premiers entre eux dont la somme S et
le produit P vérifient : SP = 84.
La question précédente permet de conclure que : (x, y) = (3, 4) ou (x, y) = (4, 3).
On en déduit que : d = 12 et donc que :
a = 36 et b = 48
ou
a = 48 et b = 36
Exercice 2
On considère la suite d’entiers (an)n  1 définie par an = 111 … 11 (l’écriture décimale
de an est composée de n chiffres 1).
On se propose de montrer que l’un, au moins, des termes de cette suite est divisible
par 2001.
1. En écrivant an sous la forme d’une somme de puissances de 10, montrer que pour
10 n - 1
tout entier naturel non nul, an =
.
9
2. On considère la division euclidienne par 2001 : expliquer pourquoi parmi les 2002
premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste.
Soit an et ap deux termes de la suite admettant le même reste (n < p).
Quel est le reste de la division euclidienne de ap – an par 2001 ?
3. Soit k et m deux entiers strictement positifs vérifiant k < m.
Démontrer l’égalité am – ak = am - k10k.
4. calculer le PGCD de 2001 et de 10.
Montrer que si 2001 divise am – ak, alors 2001 divise am - k.
5. Démontrer alors que l’un, au moins, des termes de la suite est divisible par 2001.
(Amérique du Sud – novembre 2002)
Exercice 2
n -1
1. Par définition an =
 10
k
. Donc an est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de
k 0
premier terme 1 et de raison 10. On en déduit que : an = 1 
an =
10 n - 1
soit :
10 - 1
10 n - 1
.
9
2. Par définition de la division euclidienne d’un terme an de la suite par 2001, il existe un unique
couple (q, r) d’entiers naturels tel que : an = 2001q + r où 0  r < 2001.
Il n’y a donc que 2001 restes différents possibles.
On en déduit que, parmi les 2002 premiers termes de la suite (an)n  1, il en existe au moins deux qui
ont le même reste dans la division euclidienne par 2001.
Soit an et ap ces deux termes, avec n < p. Donc il existe trois entiers q, q’ et r tels que :
an = 2001q + r et ap = 2001q’ + r où 0  r < 2001.
Il vient alors : ap – an = 2001(q’ – q). Autrement dit,
le reste de la division euclidienne de ap – an par 2001 est égal à zéro.
3. Par hypothèse k et m sont deux entiers positifs tels que k < m. Donc :
am – ak =
m -1
k -1
10i - 10i  am – ak =
i 0
i 0
m -1
10
i
ik
 am – ak = 10 k
m - k -1
10
i
i 0
m -1
 am – ak = 10 k  10 i - k .
ik
En conclusion,
am – ak = am - k10k.
4. Pour déterminer le PGCD de 2001 et de 10 on utilise le corollaire du théorème de Bézout :
20011 - 10200 = 1.
Ainsi, il existe deux entiers relatifs u et v tels que 2001u + 10v = 1. Par conséquent les entiers 2001
et 10 sont premiers entre eux. Autrement dit :
PGCD(2001 ; 10) = 1.
On en déduit que 2001 et 10k sont premiers entre eux quel que soit l’entier naturel k.
Donc si 2001 divise am – ak alors 2001 divise am - k10k. Et comme 2001 est premier avec 10k, grâce
au théorème de Gauss, on peut conclure que :
2001 divise am - k.
5. D’après la question 2. il existe au moins deux termes ap et an (avec n < p) de la suite (an)n  1, ayant
même reste dans la division euclidienne par 2001.
On en a alors déduit que 2001 divise ap – an.
Grâce à la question 4. on peut affirmer que 2001 divise ap - n. Et ap – n est un terme de la suite (an)n  1.
En conséquence,
l’un, au moins, des termes de la suite (an)n  1 est divisible par 2001.
Exercice 3
Les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) sont définies sur IN par :
x0 = 3 et xn + 1 = 2xn – 1,
y0 = 1 et yn + 1 = 2yn + 3.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
xn = 2n + 1 + 1.
2. a . Calculer le PGCD de x8 et x9 d’une part, puis celui de x2002 et x2003 d’autre part.
b. xn et xn + 1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ?
3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 2xn – yn = 5.
b. Exprimer yn en fonction de n.
c. En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l’entier
naturel p, le reste de la division euclidienne de 2p par 5.
d. On note dn le PGCD de xn et yn pour tout entier naturel n.
Démontrer que l’on a dn = 1 ou dn = 5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturels n
tels que xn et yn soient premiers entre eux.
(Liban – juin 2003)
Exercice 3
1. Soit Pn la propriété : « xn = 2n + 1 + 1 » où n désigne un entier naturel.
 P0 est vérifiée car, par hypothèse x0 = 3 et 20 + 1 + 1 = 3.
 On suppose la propriété Pn vraie pour un entier naturel n. On démontre alors que Pn + 1 est encore
vraie, c’est-à-dire que : xn + 1 = 2n + 2 + 1.
Par hypothèse xn + 1 = 2xn – 1 donc, en appliquant l’hypothèse de récurrence,
xn + 1 = 2(2n + 1 + 1) – 1  xn + 1 = 2n + 2 + 2 – 1
 xn + 1 = 2n + 2 + 1.
Par conséquent la propriété Pn + 1 est vraie.
 On en déduit, par récurrence, que :
xn = 2n + 1 + 1 quel que soit l’entier naturel n.
2. a. Par définition de la suite (xn), x8 = 29 + 1 et x9 = 210 + 1. Donc :
x9 = 229 + 1
= 2(29 + 1) – 1
= 2x8 + 1.
Ce que l’on peut encore écrire : x9 - 2x8 = 1.
On montre ainsi qu’il existe deux entiers relatifs u et v tels que : ux9 + vx8 = 1.
Le corollaire du théorème de Bézout permet de conclure que les entiers x8 et x9 sont premiers entre
eux. Autrement dit,
PGCD(x8 ; x9) = 1.
De la même manière, on écrit que : x2003 = 22004 + 1  x2003 = 222003 + 1
x2003 = 222003 + 1  x2003 = 2(22003 + 1) – 1
 x2003 = 2x2002 – 1.
On en déduit, comme précédemment, que les entiers x2002 et x2003 sont premiers entre eux, donc que :
PGCD(x2002 ; x2003) = 1.
b. Plus généralement, quel que soit l’entier naturel n,
xn + 1 = 2n + 2 + 1  xn + 1 = 22n + 1 + 1
 xn + 1 = 2(2n + 1 + 1) – 1
 xn + 1 = 2xn + 1
 xn + 1 - 2xn = 1.
Donc, toujours grâce au corollaire du théorème de Bézout, on peut conclure que
les entiers xn + 1 et xn sont premiers entre eux, quel que soit l’entier naturel n.
3. a. 1. Soit Pn la propriété : « 2xn – yn = 5 » où n désigne un entier naturel.
 P0 est vérifiée car, par hypothèse x0 = 3 et y0 = 1 donc 2x0 – y0 = 5.
 On suppose la propriété Pn vraie pour un entier naturel n. On démontre alors que Pn + 1 est encore
vraie, c’est-à-dire que : 2xn + 1 – yn + 1 = 5.
Par hypothèse : xn + 1 = 2xn – 1 et yn + 1 = 2yn + 3.
Donc 2xn + 1 – yn + 1 = 2(2xn – 1) – (2yn + 3)  2xn + 1 – yn + 1 = 2(2xn – yn) – 5.
En appliquant l’hypothèse de récurrence, il vient : 2xn + 1 – yn + 1 = 25 – 5 soit 2xn + 1 – yn + 1 = 5.
Par conséquent la propriété Pn + 1 est vraie.
 On en déduit, par récurrence, que :
2xn – yn = 5 quel que soit l’entier naturel n.
b. De l’écriture de xn déterminée dans la question 1. et de la relation 2xn – yn = 5 on déduit que :
yn = 2xn – 5  yn = 2(2n + 1 + 1) - 5
soit
yn = 2n + 2 – 3 quel que soit l’entier naturel n.
c. 20 = 1 donc 20  1 [5]
21 = 2 donc 21  2 [5]
22 = 4 donc 22  4 [5]
23 = 8 et 8 = 51 + 3, et 0  3 < 5 donc 23  3 [5]
23  3 [5]  24  32 [5] et 6 = 51 + 1, et 0  1 < 5 donc 24  1 [5].
On en déduit ainsi que, quel que soit l’entier naturel k, 24k  1k [5] soit 24k  1 [5].
Et 24k + 1  2 [5], 24k + 2  4 [5], 24k + 3  3 [5].
En résumé,
k désignant un entier naturel quelconque,
si p = 4k, 2p  1 [5],
si p = 4k + 1, 2p  2 [5],
si p = 4k + 2, 2p  4 [5],
si p = 4k + 3, 2p  3 [5].
d. D’après la question 3. a. 2xn – yn = 5 quel que soit l’entier naturel n.
Le corollaire du théorème de Bézout permet de conclure que le PGCD, noté dn, de xn et yn divise 5. 5
étant un nombre premier on en déduit que dn est 1 ou 5.
Donc les entiers xn et yn sont premiers entre eux si, et seulement si, ils ne sont pas simultanément
divisibles par 5.
Or, on a montré dans la question 1. que xn = 2n + 1 + 1, pour tout entier naturel n.
Et d’après l’étude des restes de la division euclidienne de 2p par 5 faite dans la question 3. c. on
constate que xn est divisible par 5 lorsque 2n + 1  4 [5] donc lorsque n + 1 = 4k + 2.
Ainsi, lorsque n = 4k + 1, k désignant un entier naturel, xn est divisible par 5.
Et, dans ce cas, 2n + 2 – 3 = 24k + 3 – 3 donc yn  0 [5]. Ainsi yn est aussi divisible par 5.
Donc, lorsque n = 4k + 1, dn = 5.
Pour toutes les autres valeurs de n, xn n’est pas divisible par 5. Donc dn = 1.
En conclusion,
les entiers naturels xn et yn sont premiers entre eux si, et seulement si,
n = 4k ou n = 4k + 2 ou n = 4k + 3 quel que soit l’entier naturel k.
Exercice 4
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n3 – 11n + 48 est divisible par n + 3.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n2 – 9n + 16 est un entier naturel non
nul.
2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, l’égalité suivante est
vraie :
PGCD(a ; b) = PGCD(bc – a ; b).
3. Montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l’égalité suivante est
vraie :
PGCD(3n3 – 11n ; n + 3) = PGCD(48 ; n + 3).
4. a. Déterminer l’ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.
3n 3 - 11n
b. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que
soit un entier
n3
naturel.
(Asie – juin 2003)
Exercice 4
1. a. Quel que soit l’entier naturel n, 3n3 – 11n + 48 est divisible par n + 3 car (- 3) est une racine de
3n3 – 11n + 48. En effet : 3(- 27) + 33 + 48 = 0.
On en déduit qu’il existe trois nombres a, b et c tels que :
3n3 – 11n + 48 = (n + 3)(an2 + bn + c)  3n3 – 11n + 48 = an3 + (3a + b)n2 + (3b + c)n + 3c
a  3
3a  b  0

 
3b  c  - 11
3c  48
a  3

 b  - 9
c  16

En conclusion,
quel que soit l’entier naturel n, 3n3 – 11n + 48 = (n + 3)(3n2 – 9n + 16).
b. Quel que soit l’entier naturel n,
3n2 - 9n + 16 = 3(n2 – 3n) + 16  3n2 - 9n + 16 = 3[(n – 2)2 + n] + 16.
(n – 2)2 est un entier positif et il en est de même de la somme (n – 2)2 + n et du produit
3[(n – 2)2 + n]. Par conséquent, 3[(n – 2)2 + n] + 16  16 et donc
quel que soit l’entier naturel n, 3n2 – 9n + 16 est un entier naturel non nul.
2. Soit d un diviseur commun aux entiers naturels a et b. Donc d divise toute combinaison linéaire de
a et de b donc bc – a, c désignant un entier naturel quelconque. Ainsi, d désignant le PGCD de a et b,
d a d bc - a


d b d b
 d PGCD(bc - a ; b)
car tout diviseur commun à deux nombres entiers divise leur PGCD.
Réciproquement, si d désigne le PGCD de bc – a et b alors d divise toute combinaison linéaire de
bc – a et b donc :
d bc - a d bc - (bc - a)


d b
d b
d a

d b
 d PGCD(a ; b)
En résumé, le PGCD de a et b divise le PGCD de bc – a et b et inversement. Donc
quels que soient les entiers naturels a, b et c,
PGCD(a ; b) = PGCD(bc – a ; b)
3. D’après les calculs de la question 1. a. 48 = (n + 3)(3n2 – 9n + 16) – (3n3 – 11n).
Ainsi, en appliquant le résultat de la question précédente aux entiers a = 3n3 – 11n, b = n + 3 et
c = 3n2 – 9n + 16 on obtient :
PGCD(3n3 – 11n ; n + 3) = PGCD(48 ; n+3).
4. a. 48 = 243 donc 48 possède (4 + 1)(1 + 1) = 10 diviseurs positifs qui sont, dans l’ordre
croissant : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48.
3n 3 - 11n
b. La fraction
est un nombre entier si, et seulement si, (n + 3) divise (3n3 – 11n), donc
n3
si, et seulement si, PGCD(3n3 – 11n, n + 3) = n + 3.
En tenant compte du résultat démontré dans la question 3. ceci est encore équivalent à écrire :
PGCD(48 ; n + 3) = n + 3.
3
3n - 11n
Autrement dit, la fraction
est un nombre entier si, et seulement si, (n + 3) divise 48.
n3
Donc :
n + 3 = 1 ou n + 3 = 2 ou n + 3 = 3 ou n + 3 = 4 ou n + 3 = 6 ou n + 3 = 8 ou n + 3 = 12
ou n + 3 = 16 ou n + 3 = 24 ou n + 3 = 48.
On en déduit que l’ensemble des entiers naturels n tels que la fraction
entier s’écrit :
{0 ; 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 13 ; 21 ; 45}
3n 3 - 11n
soit un nombre
n3