Base 12, N. Calédonie, mars 2008 (c) 5 points Partie A : Question de

1. 1. Base 12, N. Calédonie, mars 2008 (c)
5 points
Partie A : Question de cours
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la
multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
Partie B
On note 0, 1, 2, . . . , 9, , , les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :
12 2
7 12 12 7 11 144 10 12 7 1711
en base 10.
1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 :
12
11N
. Déterminer l’écriture de N1 en base 10.
b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 :
32
21131 1 10 1 10 3 10 1N       
.
Déterminer l’écriture de N2 en base 12.
Dans toute la suite un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 :
12
1 1 0
...
nn
N a a a a
.
2. a. Démontrer que
03Na
. En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base
12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture
en base 10.
3. a. Démontrer que
1 1 0
... 11
nn
N a a a a
. En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un
nombre écrit en base 12.
b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture
en base 10.
4. Un nombre N s’écrit
12
4N x y
. Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible
par 33.
Correction
Partie A : Question de cours
Les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les
puissances sont
'a a p
et
'b b p
alors
''a b a b p  
,
''ab a b p
et
'
nn
a a p
.
Propriété de compatibilité avec la multiplication :
on pose que
'a pk a
,
'b ph b
d’où
2' ' ' ' ' ' ...ab p kh a ph b pk a b a b p     
.
Partie B
1. a.
12 2
11 12 11 12 1 10 1606N
.
b. Il faut diviser par 12 plusieurs fois :
1131 12 94 3  
,
94 12 7 10 12 7
, donc
12 2
27 3 7 12 12 3 7 144 10 12 3 1131N
.
2. a.
11 0 0 0
12 ... 12 12 3
nn
N a a a a a
. Si le dernier chiffre est 0 modulo 3, soit un
multiple de 3 le nombre sera divisible par 3.
b. N2 se termine par 3 en base 12, il est divisible par 3. En base 10 la somme des chiffres est 6, il est
donc divisible par 3.
3. a. Chaque puissance de 12 est congrue à 1 modulo 11 donc
1 1 0
... 11
nn
N a a a a
. Si la
somme des chiffres est un multiple de 11, ce nombre sera divisible par 11.
b. La somme des chiffres de N1 en base 12 est
1 11 1 10 22
donc N1 est divisible par 11. En
base 10 on fait la somme des termes de rang pair moins la somme des termes de rang impair : 12−1=11
qui est divisible par 11.
4.
12
4N x y
. N est divisible par 33 si N est divisible par 3 :
3yk
, et par 11 :
4 11 'x y k  
.

On résoud :
33
4 3 11 ' 11 ' 3 4
y k y k
x k k x k k
; les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3 :
k
y
x
k’
N
N (b. 10)
0
0
11k’−4
k’=1 soit x=7
12
740
1056
1
3
11k’−7
k’=1 soit x=4
12
443
627
2
6
11k’−10
k’=1 soit x=1
12
146
198
3
9
11k’−13
k’=2 soit x=9
12
949
1353
1. 2. Congruences, Asie, juin 2004
On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a2 où a est un
entier naturel non nul ; par exemple 10 = 9+12 ; 13= 9+22 etc.
On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3
ou 5.
1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 2n où
, , 4ann  
.
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.
2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 3n où
, , 3ann  
.
a. Montrer que si
3n
, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n = 2p où p est un entier naturel,
2p
. Déduire d’une factorisation de 3n − a2, que
l’équation proposée n’a pas de solution.
3. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 5n où
, , 2ann  
.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n est impair.
b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2. c. démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2 + 9
soit une puissance entière de 5.
1. 3. Congruences, Pondicherry, mai 2000 (c)
5 points
1. a. Pour
16n
, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7.
b. Démontrer que, pour tout n,
6
33
nn
est divisible par 7. En déduire que
6
3n
et
3n
ont même reste
dans la division par 7.
c. A l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de
1000
3
par 7.
d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de
3n
par 7, pour
n quelconque ?
e. En déduire que, pour tout entier naturel n,
3n
est premier avec 7.
2. Soit
1
21
0
1 3 3 ... 3 3
n
ni
n
i
u
, n entier supérieur ou égal à 2.
a. Montrer que
131
2n
n
u
.
b. Déterminer les valeurs de n telles que
n
u
soit divisible par 7.
c. Déterminer tous les diviseurs de
6
u
.
Correction
1. a.
0 1 2 3 4 5 6
3 1 1[7], 3 3 3[7], 3 9 2[7], 3 3 2[7] 6[7], 3 4[7], 3 5[7], 3 1[7].           

Tous les 6 termes on retourne au point de départ.
b.
66
3 3 3 3 1
n n n  
or
6
3 1[7]
donc
6
31
est divisible par 7.
c. Divisons 1000 par 6 :
1000 6 166 4  
donc
166
1000 6 4
3 3 3
; comme
6
3 1[7]
et
4
3 4[7]
,on
a
1000
3 4[7]
.
d. En divisant n par 6 on a une partie qui sera congrue à 1 et l’autre tombera dans les restes calculés au
1.a.
e. En aucun cas on ne peut trouver un reste nul donc pour tout entier naturel n,
3n
est premier avec 7.
2. a. On a la somme des termes d’une suite géométrique de raison 3, de premier terme 1 :
131
2n
n
u
.
b.
n
u
est divisible par 7 lorsque
3 1[7]
n
, soit lorsque n est un multiple de 6.
c.
63 3 2
63 1 1 3 1 3 1 2 7 13
22
u
; tous les diviseurs sont donc
1, 13, 7, 91, 2, 26, 14, 182, 4, 52, 28, 364.