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Dans le chapitre ARITHMETIQUE, je dois :
1. CONNAITRE LE VOCABULAIRE « DIVISEUR », « MULTIPLE », « DIVISIBLE PAR »
Exemple : 35 est dans la table de 7 (35 = 5 × 7). On dit que :
35 est un multiple de 7.
35 est divisible par 7.
7 est un diviseur de 35.
2. SAVOIR ETABLIR LA LISTE DES DIVISEURS D’UN NOMBRE
Exemple : Liste des diviseurs de 42
On cherche toutes les façons d’écrire 42 comme produit de deux entiers
42 = 1 × 42
42 = 2 × 21
42 = 3 × 14
42 = 4 × …
42 = 5 × …
42 = 6 × 7
Au final, les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 et 42.
Remarque : Un nombre qui a exactement deux diviseurs (1 et lui-même) est un
nombre premier.
3. SAVOIR DETERMINER LE PGCD DE 2 NOMBRES PAR LISTE DES DIVISEURS
Exemple : PGCD(18 ; 45) = ?
On établit, selon la méthode ci-dessus, la liste des diviseurs de 18, puis la liste
des diviseurs de 45.
Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6 = 4 × … = 5 × …
Diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 45 = 1 × 45 = 2 × … = 3 × 15 = 4 × … = = 5 × 9
45 = 6 × … = 7 × … = 8 × …
Diviseurs communs de 18 et 45 : 1 ; 3 ; 9
PGCD(18 ; 45) = 9
4. SAVOIR DET. LE PGCD DE 2 NOMBRES PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES
Exemple : PGCD(112 ; 152) = ?
Dans cette méthode, on effectue des soustractions successives, jusqu’à ce que
les deux nombres à soustraire soient égaux. On commence par soustraire 152 et
112 (le plus grand nombre moins le plus petit)
152 – 112 = 40 Les deux plus petits sont 112 et 40. On les soustrait.
112 – 40 = 72 Les deux plus petits sont 72 et 40. On les soustrait.
72 – 40 = 32 Les deux plus petits sont 40 et 32. On les soustrait.
40 – 32 = 8 Les deux plus petits sont 32 et 8. On les soustrait.
32 – 8 = 24 Les deux plus petits sont 24 et 8. On les soustrait.
24 – 8 = 16 Les deux plus petits sont 16 et 8. On les soustrait.
16 – 8 = 8 Les deux plus petits sont 8 et 8. On arrête. On a trouvé le PGCD.
PGCD(152 ; 112) = 8
5. SAVOIR DETERMINER LE PGCD DE 2 NOMBRES PAR ALGORITHME D’EUCLIDE
Méthode :
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit. On
obtient une égalité de la forme : Dividende = Quotient × Diviseur + Reste
Si le reste est 0, le diviseur est le PGCD recherché.
Sinon on prend le diviseur et le reste de la division précédente et on effectue une
nouvelle division euclidienne.
On continue ainsi jusqu’à ce qu’on trouve un reste égal à 0 : le PGCD cherché est
le dernier reste différent de zéro.
Exemple 1 : PGCD(126 ; 21) = ?
On effectue la division euclidienne de 126 par 21. (Le quotient est 6, le reste 0).
On obtient l’égalité 126 = 6 × 21 + 0.
Le 1er reste est 0 donc le diviseur 21 est le PGCD cherché : PGCD(126 ; 21) = 21
Exemple 2 : PGCD(1 128 ; 540) = ?
On effectue la division euclidienne de 1 128 par 540. (Le quotient est 2, le reste 48).
On obtient l’égalité
1 128 = 2 × 540 + 48.
540 = 11 × 48 + 12
48 = 4 × 12 + 0
Le dernier reste différent de zéro est 12. C’est le PGCD de 1 128 et 540.
PGCD(1 128 ; 540) = 12
On essaie, dans l’ordre, 1 puis 2, puis 3, etc… On
s’arrête à 6 × 7 car on a déjà trouvé les diviseurs plus
grands que 7.
On cherche ensuite les nombres qui
figurent dans les deux listes. Ce sont
les diviseurs communs de 18 et 45.
Le plus grand nombre de la liste ci-dessus est le PGCD
recherché.
Le reste est différent de 0. On effectue la division
euclidienne de 540 par 48. Le quotient est 11, le reste est 12.
Le reste est différent de 0. On effectue la division
euclidienne de 48 par 12. Le quotient est 4, le reste est 0.
Le reste est 0. On arrête.