Examen de quelques situations Ce texte est un document de travail

Inspection régionale de mathématiques Examen de quelques situations
Novembre 2008 Page 1 sur 6
Examen de quelques situations
Ce texte est un document de travail distribué lors des journées de novembre 2008 organisées par
l’Inspection régionale de Mathématiques de l’académie de Dijon. Son but n’est pas de proposer un
« prêt à servir » directement utilisable dans les classes, mais de soumettre à la réflexion et à l’analyse
critique des professeurs un certain nombre de situations mathématiques utilisant l’expérimentation et
les TIC. Il s’agit au cours du stage d’analyser chaque situation au regard d’une grille proposée.
En classe, chaque professeur garde toute liberté pédagogique dans l’exploitation des exercices
qui l’intéressent, quant au niveau requis, au degré d’approfondissement voulu, à l’adaptation des
énoncés ou à la forme du travail proposé.
Plusieurs situations sont inspirées d’une banque intitulée « Activités pour la formation des
élèves » qui est disponible sur le site de l’Inspection générale de mathématiques : http://igmaths.net.
Problème 1 – Lieu du pied d’une bissectrice
Soit c un cercle du plan, de centre O, et A un point quelconque du plan. Pour tout point M de c, on
considère le point U, pied de la bissectrice issue de O dans le triangle AOM. Quel est le lieu géométrique
du point U lorsque M décrit c ?
Problème 2 – Comportement asymptotiques comparés
Comparer le comportement asymptotique en des courbes d’équation
yx
( fixé,
0
) et
exp( )yx
, ce qui est une question du programme de Terminale S.
Problème 3 – Fractions tournantes
1. On pose :
2
3
a
et
1
7
b
. Calculer
b
ca
,
c
db
,
d
ec
,
e
fd
,
f
ge
,
g
hf
. Remarque ?
2. Recommencer les calculs de c, d, e, f, g, h avec d’autres valeurs fractionnaires de a et b.
3. Etant donné deux rationnels a, b, on considère la suite définie par :
01
,u a u b
, et
1
2n nn
u
uu
.
Montrer que la suite
()
n
u
ne prend qu’un petit nombre de valeurs.
Problème 4 – Une parabole au hasard
A tout nombre b choisi au hasard dans [0 ; 1] suivant la loi uniforme sur ce segment, on associe la
parabole d’équation
231y x bx  
.
Quelle est la probabilité qu’une parabole ainsi choisie au hasard coupe l’axe des abscisses ?
Problème 5 – Une formule explicite
On considère la suite définie par
02u
et, pour tout entier naturel n :
11
2
nn
uu
. (On admet que tous
les termes sont ainsi bien définis.)
À l’aide d’un tableur calculer les premiers termes de la suite, que l’on mettra sous forme fractionnaire,
puis conjecturer une formule explicite de
n
u
.
Démontrer ensuite la formule conjecturée.

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Problème 6 – Points de contact d’un cercle et d’une parabole (d’après Banque IGEN)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’origine O, on considère la parabole p d’équation
23yx
et le cercle c de centre O et de rayon r.
Etudier en fonction de r le nombre de points d’intersection de p et de c, et le fait que p et c soient
tangents (c’est-à-dire se coupent en un point où leurs tangentes respectives sont les mêmes).
Problème 7 – Moyenne arithmético-géométrique
Etudier les suites
()
n
a
et
()
n
b
définies par :
00
0ab
et les relations de récurrence
1
12
n n n
nn
n
a a b
ab
b
?
Préciser cela dans le cas où
01a
et
02b
. Illustrer par une construction géométrique sur l’axe réel de
1n
a
et
1n
b
à partir de
n
a
et
n
b
.
Problème 8 – Le paravent chinois (d’après banque IGEN)
Un paravent chinois se compose de 3 panneaux rectangulaires de même
dimension. Les petits côtés, qui sont en contact avec le sol, mesurent 1 mètre.
Ce paravent découpe sur le sol un trapèze isocèle ABCD, de bases (AD) et
(BC), appelé polygone de sustentation.
Pour quelle valeur de l’angle
ABC
ce polygone a-t-il une aire maximale ?
Problème 9 – Lieux de points particuliers d’un triangle (d’après Banque 2007)
Dans le plan rapporté à une repère orthonormal, on considère les points
( 1,1)A
et
(1,1)B
, et un point C
variable sur l’axe des abscisses. On note respectivement G, F, H le centre de gravité, le centre du cercle
circonscrit et l’orthocentre du triangle ABC.
1. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer les lieux des points G, F, H lorsque le
point C décrit l’axe des abscisses.
2. Démontrer les résultats conjecturés. (Pour H, on déterminera une équation cartésienne du lieu
cherché.)
Problème10 – Approximation d’une intégrale par une méthode de Monte Carlo (1)
On définit une fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] par :
(0) 1f
et, si
0t
,
sin
() t ft t
.
Vérifier que f est continue sur [0 1], et tracer sa courbe représentative C dans un repère orthonormal à
l’aide d’un logiciel ou de la calculatrice.
Soit O, I, K, J les points d’abscisses respectives (0 ; 0), (1 ; 0), (1 ; 1), (0 ; 1). On note d le domaine plan
défini par les conditions
01x
et
0 ( )y f x
, et on admet que, lorsqu’on choisit un point au hasard
dans le carré OIKJ, la probabilité que ce point appartienne à d est égale à l’aire de d.
À l’aide d’une simulation, déterminer une valeur approchée de l’intégrale
1
0( )df t t
.
A
B
C
D

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Problème 11 – Approximation d’une intégrale par une méthode de Monte Carlo (2)
Même problème que le précédent avec la fonction f définie sur [0 ; 1] par
2
( ) (1 )e x f x x x
. (Banque
IGEN).
Problème 12 – Une transformation du plan complexe
À tout point M d’affixe z du plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
( ; , )O u v
, on
associe le point
'M
d’affixe
2
'zz
.
Quel est le lieu de
'M
lorsque M décrit :
- un cercle de centre O ?
- une droite passant par O ?
- un cercle centré sur l’axe réel ?
- etc.
Problème 13 – Investigations autour d’une équation différentielle (Banque IGEN)
On considère l’équation différentielle (E) :
'2y xy
.
1. Soit h un pas strictement positif. On se donne une suite de points
()
n
M
de coordonnées
( , )
nn
xy
où :
01
01
0,
'2
1 et '
nn
n n n
n n n
x x x h
y x y
y y y h y
. Calculer avec le pas
0,1h
et pour
0 20n
les valeurs approchées
de
n
x
et
n
y
, puis représenter les points
n
M
correspondants.
2. Vérifier que
2
:e
x
gx 
est une solution de (E) puis résoudre (E). (On posera
2
( ) e ( )
x
h x g x
.)
3. Montrer qu’il existe une unique solution de (E), notée f, telle que
(1) 0f
. Tracer sa représentation
graphique sur l’intervalle [0 ; 2] et comparer avec la question 1.
(Les termes
n
y
sont des approximations de
()
n
fx
par la méthode d’Euler.)
Problème 14 – Jeu avec un dessous de plat (Banque IGEN)
Un dessous de plat articulé est constitué de six barres métalliques
(supposées d’épaisseur nulle) constituant deux losanges accolés de côté
1. On suppose que le point A est fixe.
Lorsque le dessous de plat passe de la position de repli complet (où D et
G sont supposés coïncider avec A) à l’extension complète, déterminer et
construire les lieux géométriques :
- des points D et G ;
- des points B et C ;
- des points E et F.
Problème 15 - Les nombres repus (d’après Banque IGEN)
On appelle nombre repu tout entier naturel dont un multiple a une écriture décimale ne comportant que
le chiffre 1. Par exemple, 13 est un nombre repu puisque
13 8547 111111
.
Pour tout entier naturel k, on note
k
u
l’entier naturel dont l’écriture décimale comprend exactement k fois
le chiffre 1 :
1
1
0
111...1 10 ... 10 1 10
k
ki
ki
u
.
A
B
C
E
F
G
D

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1. Soit un entier,
2n
; pour
1kn
, on note
k
r
le reste de la division euclidienne de
k
u
par n.
Montrer que si aucun des
k
r
n’est nul, il existe p et q tels que
1pqn  
et
pq
rr
et qu’alors n
n’est pas un nombre repu. En déduire que si n est un nombre repu, il existe p tel que l’écriture
décimale de
np
ne comporte que le chiffre 1 répété au plus n fois.
2. Programmer un test pour reconnaître si un nombre
100n
est un nombre repu. Pour cela, on divise
les nombres 11, 111, 1111, … par n en remarquant que tant que le reste n’est pas nul, il suffit à
l’étape suivante de rajouter 1 à droite du reste précédent (dans la division posée, on « abaisse » le 1).
En observant la liste obtenue des nombres repus inférieurs à 100, conjecturer une propriété (P)
permettant de définir ces nombres.
3. Démontrer que la propriété (P) conjecturée est vraie pour tous les entiers.
Problème 16 – Restes d’une progression arithmétique
Soit a, b, p des entiers naturels fixés, avec
0a
et
2p
. Pour tout entier naturel n, on pose
n
u an b
, et on désigne par
n
r
le reste de la division euclidienne de
n
u
par p.
1. A l’aide d’une expérimentation comportant plusieurs valeurs de a et b, déterminer les premières
valeurs des restes
n
r
. Quelle(s) conjecture(s) peut-on émettre ?
2. On note d le pgcd de a et p, et on pose :
'a da
et
'p dp
. Démontrer que
'n p n
rr
. Que signifie ce
résultat ?
Problème 17 - Théorème de Jean de Ceva
Soit ABC un triangle. Trois droites issues respectivement de A, B, C coupent respectivement les droites
(BC), (CA), (AB) en P, Q, R. On considère les réels a, b, c, définis par les égalités :
PB aPC
,
QC bQA
,
RA c RB
.
1. On suppose que les trois droites (AP), (BQ), (CR) sont parallèles. À l’aide d’un logiciel de géométrie
dynamique, conjecturer une relation entre a, b, c. (On pourra construire les droites parallèles à une
direction fixe et faire varier cette direction, puis comparer c au produit
ab
.)
2. On suppose que les trois droites sont concourantes. Conjecturer de même une relation entre a, b, c.
(Il y a plusieurs stratégies de construction.)
3. On fixe P et Q tels que les droites (AP) et (CQ) sont parallèles. Que constate-t-on lorsque
1
cab
,
et dans ce cas seulement ?
4. Même question en fixant P et Q de telle sorte que les droites (AP) et (CQ) soient concourantes.
5. Enoncer l’ensemble des propriétés conjecturées sous forme d’une équivalence. Il reste à rédiger un
questionnement permettant les démonstrations (les théorèmes de Thalès, Menelaüs, ou les
barycentres peuvent être employés).
Problème 18 – Aires sous une parabole (d’après Irem de Lyon)
On considère dans un repère orthonormal la parabole d’équation
2
yx
. En deux points distincts A et B
de la parabole, d’abscisses respectives a et b, les tangentes à la parabole se coupent en C.
1. À l’aide d’une expérimentation, conjecturer une expression des coordonnées du point C en fonction
des réels a et b. Démontrer ensuite le résultat.
2. On note d le domaine plan limité par les droites d’équation
xa
et
xb
, la droite (AB) et la
parabole, et on désigne par d son aire (en unité d’aire). Conjecturer une expression du quotient
aire ( )ABC
d
, puis démontrer cette conjecture.

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Problème 19 - Diffusion de substances à travers une membrane
A – Un modèle discret
Deux récipients A et B sont séparés par une membrane perméable. On place dans A une solution
contenant
0
a
molécules et dans B une autre solution contenant
0
b
molécules.
On suppose que, toutes les heures, 20 % des molécules de A diffusent dans B et que 10 % des molécules
de B diffusent dans A.
On note respectivement
n
a
et
n
b
les nombres respectifs de molécules présentes dans A et dans B au bout
de n heures.
1. Conjecturer l’évolution des suites de terme général
n
a
et
n
b
.
2. Démontrer les résultats conjecturés. (On pourra poser
n n n
u a b
et
2
n n n
v a b
, et étudier les
suites
()
n
u
et
()
n
v
.
B – Un modèle continu
On étudie le même système en prenant pour nombres respectifs de molécules à l’instant t (supposé
continu) les nombres
()at
et
()bt
, avec
( ) ( )a t b t N
. (Les fonctions a et b sont supposées
dérivables.) Alors les fonctions a et b vérifient le système :
'( ) 0,2 ( ) 0,1 ( )
'( ) 0,2 ( ) 0,1 ( )
a t a t b t
b t a t b t
.
1. Déterminer une représentation graphique approchée des fonctions a et b par la méthode d’Euler.
2. Vérifier que
' 0,3 0,1a a N  
,
' 0,3 0,2b b N  
, puis exprimer
()at
et
()bt
en fonction de t et N,
et étudier l’évolution du système à la longue.
Problème 20 – L’algorithme de Kaprekar (mathématicien indien – 1905-1988) – (Voir une autre
formulation de ce problème dans la banque IGEN)
On considère tous les entiers dont l’écriture décimale comporte au plus trois chiffres dont deux au moins
sont distincts. On convient de les écrire systématiquement avec trois chiffres, quitte à rajouter des zéros
à gauche : ainsi, on écrit 023 ; 007 ; etc.
À partir d’un tel entier
0
N
, on considère les deux entiers
0
D
et
0
C
obtenus en rangeant les chiffres de
0
N
respectivement dans l’ordre décroissant et dans l’ordre croissant, puis l’entier
1 0 0
N D C
.
Puis on recommence l’opération avec
1
N
, ainsi de suite.
Ainsi, avec
0656N
, on obtient
0665D
;
0566C
;
1099N
; puis
2891N
;
3792N
; etc.
1. Programmer sur un tableur l’algorithme permettant d’obtenir à partir d’un entier
0
N
la suite des
entiers
12
, ,...NN
, puis émettre une conjecture.
2. Démontrer la conjecture obtenue.
Problème 21 – Avec trois droites de l’espace
On coupe un tétraèdre OABC par un plan p parallèle au plan (ABC) et ne passant pas par O. On note
P, Q, R les points d’intersection respectifs du plan p avec les droites (OA), (OB) et (OC), puis I, J, K
les milieux respectifs des segments [QR], [RP] et [PQ].
1. Réaliser la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique en faisant varier le plan p.
Conjecturer alors les positions relatives des droites (AI), (BJ) et (CK).