Examen de quelques situations Ce texte est un document de travail

Examen de quelques situations
Ce texte est un document de travail distribué lors des journées de novembre 2008 organisées par
l’Inspection régionale de Mathématiques de l’académie de Dijon. Son but n’est pas de proposer un
« prêt à servir » directement utilisable dans les classes, mais de soumettre à la réflexion et à l’analyse
critique des professeurs un certain nombre de situations mathématiques utilisant l’expérimentation et
les TIC. Il s’agit au cours du stage d’analyser chaque situation au regard d’une grille proposée.
En classe, chaque professeur garde toute liberté pédagogique dans l’exploitation des exercices
qui l’intéressent, quant au niveau requis, au degré d’approfondissement voulu, à l’adaptation des
énoncés ou à la forme du travail proposé.
Plusieurs situations sont inspirées d’une banque intitulée « Activités pour la formation des
élèves » qui est disponible sur le site de l’Inspection générale de mathématiques : http://igmaths.net.
Problème 1 – Lieu du pied d’une bissectrice
Soit c un cercle du plan, de centre O, et A un point quelconque du plan. Pour tout point M de c, on
considère le point U, pied de la bissectrice issue de O dans le triangle AOM. Quel est le lieu géométrique
du point U lorsque M décrit c ?
Problème 2 – Comportement asymptotiques comparés
Comparer le comportement asymptotique en  des courbes d’équation y  x (  fixé,   0 ) et
y  exp( x) , ce qui est une question du programme de Terminale S.
Problème 3 – Fractions tournantes
2
1
b
c
d
e
f
g
1. On pose : a  et b  . Calculer c  , d  , e  , f  , g  , h  . Remarque ?
3
7
a
b
c
d
e
f
2. Recommencer les calculs de c, d, e, f, g, h avec d’autres valeurs fractionnaires de a et b.
3. Etant donné deux rationnels a, b, on considère la suite définie par : u0  a , u1  b , et u n 2 
un1
.
un
Montrer que la suite (u n ) ne prend qu’un petit nombre de valeurs.
Problème 4 – Une parabole au hasard
A tout nombre b choisi au hasard dans [0 ; 1] suivant la loi uniforme sur ce segment, on associe la
parabole d’équation y  x 2  3bx  1 .
Quelle est la probabilité qu’une parabole ainsi choisie au hasard coupe l’axe des abscisses ?
Problème 5 – Une formule explicite
On considère la suite définie par u0  2 et, pour tout entier naturel n : un 1  2 
1
. (On admet que tous
un
les termes sont ainsi bien définis.)
À l’aide d’un tableur calculer les premiers termes de la suite, que l’on mettra sous forme fractionnaire,
puis conjecturer une formule explicite de un .
Démontrer ensuite la formule conjecturée.
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Problème 6 – Points de contact d’un cercle et d’une parabole (d’après Banque IGEN)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’origine O, on considère la parabole p d’équation
y  x 2  3 et le cercle c de centre O et de rayon r.
Etudier en fonction de r le nombre de points d’intersection de p et de c, et le fait que p et c soient
tangents (c’est-à-dire se coupent en un point où leurs tangentes respectives sont les mêmes).
Problème 7 – Moyenne arithmético-géométrique
an 1  anbn

Etudier les suites ( an ) et (bn ) définies par : 0  a0  b0 et les relations de récurrence 
an  bn ?
bn 1 

2
Préciser cela dans le cas où a0  1 et b0  2 . Illustrer par une construction géométrique sur l’axe réel de
an 1 et bn1 à partir de an et bn .
Problème 8 – Le paravent chinois (d’après banque IGEN)
Un paravent chinois se compose de 3 panneaux rectangulaires de même
dimension. Les petits côtés, qui sont en contact avec le sol, mesurent 1 mètre.
Ce paravent découpe sur le sol un trapèze isocèle ABCD, de bases (AD) et
(BC), appelé polygone de sustentation.
D
A
Pour quelle valeur de l’angle ABC ce polygone a-t-il une aire maximale ?
B
C
Problème 9 – Lieux de points particuliers d’un triangle (d’après Banque 2007)
Dans le plan rapporté à une repère orthonormal, on considère les points A(1,1) et B (1,1) , et un point C
variable sur l’axe des abscisses. On note respectivement G, F, H le centre de gravité, le centre du cercle
circonscrit et l’orthocentre du triangle ABC.
1. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer les lieux des points G, F, H lorsque le
point C décrit l’axe des abscisses.
2. Démontrer les résultats conjecturés. (Pour H, on déterminera une équation cartésienne du lieu
cherché.)
Problème10 – Approximation d’une intégrale par une méthode de Monte Carlo (1)
sin t
On définit une fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] par : f (0)  1 et, si t  0 , f (t ) 
.
t
Vérifier que f est continue sur [0 1], et tracer sa courbe représentative C dans un repère orthonormal à
l’aide d’un logiciel ou de la calculatrice.
Soit O, I, K, J les points d’abscisses respectives (0 ; 0), (1 ; 0), (1 ; 1), (0 ; 1). On note d le domaine plan
défini par les conditions 0  x  1 et 0  y  f ( x) , et on admet que, lorsqu’on choisit un point au hasard
dans le carré OIKJ, la probabilité que ce point appartienne à d est égale à l’aire de d.
À l’aide d’une simulation, déterminer une valeur approchée de l’intégrale
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
1
0
f (t ) dt .
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Problème 11 – Approximation d’une intégrale par une méthode de Monte Carlo (2)
Même problème que le précédent avec la fonction f définie sur [0 ; 1] par f ( x)  x(1  x) e2 x . (Banque
IGEN).
Problème 12 – Une transformation du plan complexe
À tout point M d’affixe z du plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v ) , on
associe le point M ' d’affixe z '  z 2 .
Quel est le lieu de M ' lorsque M décrit :
- un cercle de centre O ?
- une droite passant par O ?
- un cercle centré sur l’axe réel ?
- etc.
Problème 13 – Investigations autour d’une équation différentielle (Banque IGEN)
On considère l’équation différentielle (E) : y '  2 xy .
1. Soit h un pas strictement positif. On se donne une suite de points ( M n ) de coordonnées ( xn , yn ) où :
 x0  0 , xn1  xn  h

. Calculer avec le pas h  0,1 et pour 0  n  20 les valeurs approchées
 y 'n  2 xn yn
 y  1 et y  y  h y '
n 1
n
n
 0
de xn et yn , puis représenter les points M n correspondants.
e x est une solution de (E) puis résoudre (E). (On posera h( x)  e x g ( x) .)
3. Montrer qu’il existe une unique solution de (E), notée f, telle que f (1)  0 . Tracer sa représentation
graphique sur l’intervalle [0 ; 2] et comparer avec la question 1.
(Les termes yn sont des approximations de f ( xn ) par la méthode d’Euler.)
2. Vérifier que g : x
2
2
Problème 14 – Jeu avec un dessous de plat (Banque IGEN)
Un dessous de plat articulé est constitué de six barres métalliques
(supposées d’épaisseur nulle) constituant deux losanges accolés de côté
1. On suppose que le point A est fixe.
Lorsque le dessous de plat passe de la position de repli complet (où D et
G sont supposés coïncider avec A) à l’extension complète, déterminer et
construire les lieux géométriques :
- des points D et G ;
- des points B et C ;
- des points E et F.
B
A
E
D
C
G
F
Problème 15 - Les nombres repus (d’après Banque IGEN)
On appelle nombre repu tout entier naturel dont un multiple a une écriture décimale ne comportant que
le chiffre 1. Par exemple, 13 est un nombre repu puisque 13 8547  111111 .
Pour tout entier naturel k, on note uk l’entier naturel dont l’écriture décimale comprend exactement k fois
k 1
le chiffre 1 : uk  111...1  10k 1  ...  10  1   10i .
i 0
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1. Soit un entier, n  2 ; pour 1  k  n , on note rk le reste de la division euclidienne de uk par n.
Montrer que si aucun des rk n’est nul, il existe p et q tels que 1  p  q  n et rp  rq et qu’alors n
n’est pas un nombre repu. En déduire que si n est un nombre repu, il existe p tel que l’écriture
décimale de np ne comporte que le chiffre 1 répété au plus n fois.
2. Programmer un test pour reconnaître si un nombre n  100 est un nombre repu. Pour cela, on divise
les nombres 11, 111, 1111, … par n en remarquant que tant que le reste n’est pas nul, il suffit à
l’étape suivante de rajouter 1 à droite du reste précédent (dans la division posée, on « abaisse » le 1).
En observant la liste obtenue des nombres repus inférieurs à 100, conjecturer une propriété (P)
permettant de définir ces nombres.
3. Démontrer que la propriété (P) conjecturée est vraie pour tous les entiers.
Problème 16 – Restes d’une progression arithmétique
Soit a, b, p des entiers naturels fixés, avec a  0 et p  2 . Pour tout entier naturel n, on pose
un  an  b , et on désigne par rn le reste de la division euclidienne de un par p.
1. A l’aide d’une expérimentation comportant plusieurs valeurs de a et b, déterminer les premières
valeurs des restes rn . Quelle(s) conjecture(s) peut-on émettre ?
2. On note d le pgcd de a et p, et on pose : a  da ' et p  dp ' . Démontrer que rn  p '  rn . Que signifie ce
résultat ?
Problème 17 - Théorème de Jean de Ceva
Soit ABC un triangle. Trois droites issues respectivement de A, B, C coupent respectivement les droites
(BC), (CA), (AB) en P, Q, R. On considère les réels a, b, c, définis par les égalités :
PB  a PC , QC  b QA , RA  c RB .
1. On suppose que les trois droites (AP), (BQ), (CR) sont parallèles. À l’aide d’un logiciel de géométrie
dynamique, conjecturer une relation entre a, b, c. (On pourra construire les droites parallèles à une
direction fixe et faire varier cette direction, puis comparer c au produit ab .)
2. On suppose que les trois droites sont concourantes. Conjecturer de même une relation entre a, b, c.
(Il y a plusieurs stratégies de construction.)
1
3. On fixe P et Q tels que les droites (AP) et (CQ) sont parallèles. Que constate-t-on lorsque c   ,
ab
et dans ce cas seulement ?
4. Même question en fixant P et Q de telle sorte que les droites (AP) et (CQ) soient concourantes.
5. Enoncer l’ensemble des propriétés conjecturées sous forme d’une équivalence. Il reste à rédiger un
questionnement permettant les démonstrations (les théorèmes de Thalès, Menelaüs, ou les
barycentres peuvent être employés).
Problème 18 – Aires sous une parabole (d’après Irem de Lyon)
On considère dans un repère orthonormal la parabole d’équation y  x 2 . En deux points distincts A et B
de la parabole, d’abscisses respectives a et b, les tangentes à la parabole se coupent en C.
1. À l’aide d’une expérimentation, conjecturer une expression des coordonnées du point C en fonction
des réels a et b. Démontrer ensuite le résultat.
2. On note d le domaine plan limité par les droites d’équation x  a et x  b , la droite (AB) et la
parabole, et on désigne par d son aire (en unité d’aire). Conjecturer une expression du quotient
aire (ABC )
, puis démontrer cette conjecture.
d
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Problème 19 - Diffusion de substances à travers une membrane
A – Un modèle discret
Deux récipients A et B sont séparés par une membrane perméable. On place dans A une solution
contenant a0 molécules et dans B une autre solution contenant b0 molécules.
On suppose que, toutes les heures, 20 % des molécules de A diffusent dans B et que 10 % des molécules
de B diffusent dans A.
On note respectivement an et bn les nombres respectifs de molécules présentes dans A et dans B au bout
de n heures.
1. Conjecturer l’évolution des suites de terme général an et bn .
2. Démontrer les résultats conjecturés. (On pourra poser un  a n  bn et vn  2an  bn , et étudier les
suites (un ) et (vn ) .
B – Un modèle continu
On étudie le même système en prenant pour nombres respectifs de molécules à l’instant t (supposé
continu) les nombres a(t ) et b(t ) , avec a(t )  b(t )  N . (Les fonctions a et b sont supposées
a '(t )  0, 2a(t )  0,1b(t )
dérivables.) Alors les fonctions a et b vérifient le système : 
.
b '(t )  0, 2a(t )  0,1b(t )
1. Déterminer une représentation graphique approchée des fonctions a et b par la méthode d’Euler.
2. Vérifier que a '  0,3a  0,1N , b '  0,3b  0, 2 N , puis exprimer a(t ) et b(t ) en fonction de t et N,
et étudier l’évolution du système à la longue.
Problème 20 – L’algorithme de Kaprekar (mathématicien indien – 1905-1988) – (Voir une autre
formulation de ce problème dans la banque IGEN)
On considère tous les entiers dont l’écriture décimale comporte au plus trois chiffres dont deux au moins
sont distincts. On convient de les écrire systématiquement avec trois chiffres, quitte à rajouter des zéros
à gauche : ainsi, on écrit 023 ; 007 ; etc.
À partir d’un tel entier N 0 , on considère les deux entiers D0 et C0 obtenus en rangeant les chiffres de
N 0 respectivement dans l’ordre décroissant et dans l’ordre croissant, puis l’entier N1  D0  C0 .
Puis on recommence l’opération avec N1 , ainsi de suite.
Ainsi, avec N 0  656 , on obtient D0  665 ; C0  566 ; N1  099 ; puis N2  891 ; N3  792 ; etc.
1. Programmer sur un tableur l’algorithme permettant d’obtenir à partir d’un entier N 0 la suite des
entiers N1 , N 2 ,... , puis émettre une conjecture.
2. Démontrer la conjecture obtenue.
Problème 21 – Avec trois droites de l’espace
On coupe un tétraèdre OABC par un plan p parallèle au plan (ABC) et ne passant pas par O. On note
P, Q, R les points d’intersection respectifs du plan p avec les droites (OA), (OB) et (OC), puis I, J, K
les milieux respectifs des segments [QR], [RP] et [PQ].
1. Réaliser la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique en faisant varier le plan p.
Conjecturer alors les positions relatives des droites (AI), (BJ) et (CK).
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2. Résolution mathématique, à l’aide des barycentres
a) Justifier l’existence d’un réel  tel que P est barycentre de (O,  ) et ( A,1   ) ; exprimer
alors en Q comme barycentre des points O et B, puis R comme barycentre des points O et C,
les coefficients étant donnés en fonction de  .
b) On suppose que   3 . Montrer que le système (O, 2 ),( A,1   ),( B,1   ),(C,1   ) admet
un barycentre S, et que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes en S.
c) On suppose que   3 . Prouver que AI  BJ  CK . Que peut-on en déduire pour les droites
(AI), (BJ) et (CK) ?
3. Résolution mathématique par la géométrie analytique
On pourra se placer dans le repère (O, OA, OB, OC ) ; alors il existe a  0 tel que P ait pour
coordonnées P (a, 0, 0) . Montrer alors que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes ou
parallèles selon que a  2 ou a  2 .
Problème 22 – Une promenade aléatoire
Une fourmi se déplace sur les arêtes d’un tétraèdre SABC. Au départ, elle est en
S, et chaque déplacement l’amène au hasard du sommet où elle est sur l’un des
trois sommets voisins. Depuis S, elle effectue ainsi une « promenade »
constituée de n déplacements aléatoires. On note pn la probabilité qu’elle se
retrouve en S à la fin de la promenade. Ainsi p0  1 .
S
C
A
1. On suppose que n  3 . En simulant 1000 promenades aléatoires, conjecturer
la valeur de p3 . Calculer ensuite la valeur exacte de p3 à l’aide d’un arbre.
B
2. On suppose que n est un entier quelconque, n  2 . Simuler 1000 promenades aléatoires
correspondant à n  100 , puis conjecturer l’existence et la valeur éventuelle de lim pn .
n 
1
1  pn  .
3
1
b) Prouver que la suite de terme général qn  pn  est géométrique ; en déduire une expression de
4
pn en fonction de n, puis étudier la convergence de la suite ( pn ) .
3. a) Démontrer que, pour tout entier n : pn 1 
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