Formation Continue

Institut Universitaire Professionnalisé de Sceaux
Licence
1
Année 1997-1998
Michelle LAUTON
PROBABILITES
Exemples corrigés
1) Dans une épreuve, deux événements A et B se réalisent avec les probabilités
respectives 0,6 et 0,45.
i) Si AB se réalise avec la probabilité 0,90, quelle est la probabilité de réalisation de
l’événement AB ?
Réponse et justification
On va utiliser l’égalité P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB), appelée formule de Poincarré
En effet, il vient
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
d’où
= 0,6 + 0,45 - 0,90 = 0,15
ii) Si AB se réalise avec la probabilité 0,35, quelle est la probabilité de l’événement
AB ?
Réponse et justification
En utilisant la même égalité, il vient
P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,35 = 0,7
iii) Dans le cas i), calculer PA(B) et PB(A)
Réponse et justification
D’après la définition de la probabilité conditionnelle,
PA(B) = P(A B) /P(A)
= 0,15/0,6 = 15/60 = 1/4 = 0,25
PB(A) = P(A B) /P(B)
= 0,15 /0,45 = 1/3 = 0,33
2) Examen IUP Septembre 1996
Une usine comporte deux unités de production qui fabriquent toutes deux les mêmes
pièces en acier. L’unité Alpha a une cadence de production journalière deux fois plus
rapide que celle de l’unité Béta. Le pourcentage de pièces défectueuses est de 3%
pour l’unité Alpha et de 4% pour l’unité Béta.
Nous allons désigner certains événements:
A: la pièce provient de l’unité Alpha
B : la pièce provient de l’unité Béta
D : la pièce présente un défaut
C : la pièce provient de l’unité Alpha sachant qu’elle est défectueuse
i) Quelle est la probabilité P(A) qu’une pièce provienne de l’unité Alpha ?:
Quelle est la probabilité P(B) qu’une pièce provienne de l’unité Béta ?
Réponse et justification
Puisque la cadence de production de l’unité Alpha est deux fois plus rapide que celle
de l’unité Béta, on a:
P(A) = 2/3
et
P(B) = 1/3
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ii) Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse?
Réponse et justification
Il s’agit de calculer P(D). Une pièce peut être défectueuse en provenant de Alpha ou
en provenant de Béta.
c
D = (A  D)  (B  D) avec A = B
P(D) = P[(A  D)  (B  D)]
P(D) = P(A  D) + P(B  D)
P(D) = PA(D) P(A) + PB(D) P(B)
P(D) = 0,03 * 2/3 + 0,04 * 1/3
P(D) = 10/300 = 1/30
iii) Calculer P(C).
Réponse et justification
P(C) est une autre notation pour la probabilité conditionnelle P D(A).
Nous allons appliquer la formule de Bayes.
P(C) = P(AD) / P(D)
P(C) = (0,03 * 2/3) / (1/30) = 0,6 soit 60 %.
3) Deux événements A et B sont indépendants. On sait que P(A) = 0,8 et P(B) = 0,5.
Quelle est la probabilité de A  B ?
Réponse et justification
Puisque A et B sont indépendants:
P(A  B) = P(A) P(B)
d’où P(A  B) = 0,8 * 0,5 = 0,4
En utilisant la relation P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) , il vient:
P(A  B) = 0,8 + 0,5 - 0,4 = 0,9
4) On considère dans l’ensemble des familles de 2 enfants les événements:
A: la famille a des enfants des deux sexes
B: la famille a au plus une fille
On suppose dans une famille l’indépendance des sexes entre naissances
successives.
i) Calculer P(A) et P(B), sachant qu’en France les fréquences des naissances de
filles et de garçons sont respectivement 0,49 et 0,51.
Réponse et justification
Si nous désignons par F = « avoir une fille » et G = « avoir un garçon », nous
pouvons écrire l’ensemble des résultats possibles {FF, FG, GF, GG}.
Alors, on a A = {FG, GF}
P(A) = P(FG) + P(GF)= P(F) P(G) + P(G) P(F) = 0,49 * 0,51 + 0,51*0,49 =0,4998
B = {GG, FG, GF}
d’où P(B) = P(GG) + P(FG) + P(GF) = P(G) P(G) + P(F) P(G) + P(G) P(F)
P(B) = 0,51* 0,51 + 0,49*0,51 + 0,51*0,49 = 0,7599
ii) Les événements A et B sont-ils indépendants?
Réponse et justification
Non, les événements ne sont pas indépendants, car A  B = {FG, GF} = A
d’où P(A  B) = P(A) = 0,4998, alors que P(A) P(B) = 0,3798 (arrondi usuel)
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Exercices
1) Soit un ensemble  = {a, b, c, d} et P une probabilité sur .
i) Calculer P({a}) et P({b}) sachant que P({c}) = P({d}) = 1/4 et P({a}) = 2 P({b}).
ii) On suppose maintenant que P({b, c}) = 2/3, P({b, d}) = 1/4 et P({b}) = 1/6. Peut-on
calculer P({a})?
2) On lance deux dés. Une épreuve est identifiée à un couple (x, y) où x est le
nombre de points amenés par le premier dé et y par le second.
i) Quel est l’ensemble  des épreuves?
ii) Soient les événements
A = {la somme des points est paire}
B = {les deux dés amènent le même nombre}.
C = {un des dés au moins amène un 2}
Calculer P(A), P(B), P(C) et P(A et C).
3) Soit A et B deux événements aléatoires tels que P(A) = 1/2 et P(B) = 1/4.
i) Donner un encadrement de P(A et B) et P(A ou B)
ii) Déterminer P(A ou B) lorsque A et B sont incompatibles.
iii) Déterminer P(A ou B) lorsque P(A et B) = 1/5.
iv) Déterminer P(A et B) lorsque P(A ou B) = 3/5
4) Les probabilités de deux événements aléatoires A et B peuvent-elles être solution
de l’équation
10 x2 - 9 x + 2 = 0
12 x2 + x - 1 = 0
5) Soit l’ensemble  = {0, 1, 2, ..., 9, 10} .
Partie A: Soit P une probabilité sur  telle que les nombres pi =P({i}) soient
proportionnels à i.
i) Déterminer la loi P.
ii) Calculer P( est pair) et P( est multiple de 3)
Partie B: i) Déterminer une loi P' telle que les nombres p' i = P'{i} vérifient les deux
conditions suivantes:
a) p'10 = 2 p'0
b) il existe 2 constantes a et b telles que p'i = a + b i pour tout i.
ii) Calculer P'( est pair) et P'( est un carré parfait)
6) On jette trois fois un dé non pipé. Calculer la probabilité d’obtenir
i) au moins un deux
ii) un deux exactement
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7) On tire au hasard trois cartes dans un jeu de 52 cartes.
i) Si on ne replace pas les cartes enlevées, quelle est la probabilité d’obtenir trois
rois?
ii) Si on replace les cartes enlevées, quelle est la probabilité d’obtenir trois rois?
8) Soient A et B deux événements tels que P(A) = 0.3, P(B) = 0,4 et P(A ou B) = 0,5.
Calculer chacune des probabilités suivantes:
i) P(A et B)
ii) PA(B)
iii) PB(A)
C
C
C
iv) P (A ou B )
v) P(A ou B )
9) Dans un jeu de 52 cartes, on tire successivement 5 cartes en remettant à chaque
fois la carte tirée
Calculer
i) la probabilité d’obtenir 5 trèfles
ii) la probabilité d’obtenir les 5 fois une dame ou un trèfle
10) Combien de fois faut-il jeter 2 dés pour avoir la probabilité p de voir apparaître au
moins une fois le total 9 ?
Application numérique: p = 0,5; p = 0,8
11) Un industriel s’approvisionne auprès de deux usines qui fabriquent les mêmes
pièces. La première en fournit 99 % de bonnes et la deuxième 98 %. La première
usine fournit 75% des besoins de l’industriel.
i) Quel est le pourcentage de pièces bonnes sur l’ensemble du marché, supposé
alimenté par les deux usines, sans qu’un service de contrôle-qualité intervienne?
ii) L’industriel choisit au hasard dans son stock une pièce qui s’avère bonne. Quelle
est la probabilité qu’elle provienne de la première usine?
iii) Dans le cas où la pièce s’avère défectueuse, quelle est la probabilité pour qu’elle
provienne de la seconde usine?
iv) L’industriel constatant qu’une pièce est défectueuse fait la remarque suivante:
« Elle doit provenir de la deuxième usine ». Que pensez-vous de cette réflexion ?
12) Deux bureaux d’études fournissent des données sur un certain marché qui peut
se trouver dans deux états S1 et S2, en passant d’une manière aléatoire de l’un à
l’autre. De longues observations ont permis d’établir que durant environ 30% du
temps le marché se trouve dans l’état S1 et 70% dans l’état S2. Le bureau d’études
n°1 fournit des données erronées dans environ 2% des cas et le bureau d’études
n°2 dans 8%. A un certain moment , le bureau d’études n°1 a communiqué que le
système se trouve dans l’état S1 et le bureau d’études n°2 qu’il se trouve dans l’état
S2. Laquelle des deux informations devrait-on supposer exacte?
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13) Sur 100 personnes qui ont posé leur candidature à un emploi de chef des
ventes, vacant dans l’entreprise « Industries des Univers Primitifs », 40 ont une
expérience professionnelle antérieure, 30 un DUT de Commerce et 20 ont à la fois le
diplôme et l’expérience.
i) Quelle est la probabilité pour que l’un des 100 candidats tirés au hasard ait soit
l’expérience, soit le diplôme, soit les deux?
ii) Quelle est la probabilité pour qu’un tel candidat ait soit l’expérience, soit le
diplôme, mais pas les deux?
iii) Calculer la probabilité pour qu’un candidat choisi au hasard parmi ceux qui
possèdent une expérience professionnelle ait aussi un DUT.
14) Supposons que la naissance d’un garçon soit aussi probable que celle d’une fille
et que les sexes lors des naissances successives soient indépendants.
i) Un couple a une fille et attend une seconde naissance. Quelle est la probabilité
pour qu’il ait une seconde fille?
ii) Une famille de 2 enfants comporte au moins un garçon. Quelle est la probabilité
pour qu’elle comporte au moins une fille?
15) On classe les gérants de portefeuille en deux catégories: ceux qui sont bien
informés et ceux qui ne le sont pas. Lorsqu’un gérant bien informé achète une valeur
boursière pour son client, la probabilité pour que le cours de celle-ci monte est de
0,8; dans le cas d’un gérant mal informé, cette probabilité ne vaut que 0,5. Si on
choisit au hasard un gérant dans un annuaire professionnel, la probabilité qu’il soit
bien informé est de 0,2. Calculer la probabilité que le gérant ainsi choisi soit mal
informé, sachant que la valeur qu’il a acheté a monté.
16) Pour un certain type d’affaires, une entreprise a remarqué qu’un client avec qui
un vendeur a pris un contact effectue un achat avec une probabilité de 0,4.
i) Si un vendeur choisit au hasard, dans une liste de nouveaux clients possibles, trois
personnes avec lesquelles il prend contact, quelle est la probabilité pour que les trois
se portent acquéreurs?
ii) On envisage des prises de contact successives avec les trois clients. A chaque
contact, il y a vente V ou non vente Vc. Représenter la situation à l’aide d’un arbre.
iii) Quelles sont les probabilités que le vendeur fasse respectivement 0, 1, 2 ou 3
ventes?
iv) Quelle est la probabilité que le vendeur fasse au moins deux ventes?
v) Quelle est la probabilité que le vendeur fasse au moins une vente?