circuit rc - Maths

date :
DEVOIR DE SCIENCES PHYSIQUES
CIRCUIT RC
Partie A : Equation différentielle
On considère la charge d’un condensateur à travers une résistance, en réponse à une tension constante.
La différence de potentiel u(t) (en volt) aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle ou
u' est la dérivée de la fonction u.
RC u'(t) + u(t) = U0
On donne : R = 10 6 , C = 50 F et U0 = 9 V.
1. Avec les valeurs numériques de R, C et U0, vérifier que l'équation différentielle (E) s'écrit :
u'(t) + 0,02 u(t) = 0,18
(E)
2. Déterminer les fonctions u1 solutions générales de 1'équation différentielle sans second membre (E0)
u'(t) + 0,02 u(t) = 0
(E0)
3. Vérifier que la fonction u2 définie par u2(t) = 9 est une solution particulière de l'équation
différentielle (E)
4. On admet que la solution générale de l'équation différentielle (E) est la somme de la solution
générale de l'équation différentielle sans second membre et d'une solution particulière de l'équation
différentielle.
41. Donner la solution générale de l'équation différentielle avec second membre (E).
42. Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition : u(0) = 0.
Partie B : Lecture graphique
La courbe de décharge d’un condensateur à travers un
résistor de résistance R est donnée ci-contre.
On a : R = 1000 .
La constante de temps  d’un tel circuit est :
 = RC.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier votre réponse.
1. Quelques secondes après le début de la décharge, la tension aux bornes du condensateur est nulle.
2. Le condensateur a été chargé à partir d'un générateur de tension de f.é.m égale à 6 V.
3. La constante de temps du circuit est égale à 1 ms et la capacité du condensateur est égale à 1 F.
4. Pour obtenir la même constante de temps, en doublant la valeur de R, il faut doubler également la
valeur de C.
Ph. Georges
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CORRECTION
Partie A : Équation différentielle
On considère la charge d’un condensateur à travers une résistance, en réponse à une tension
constante.
RC u'(t) + u(t) = U0
On donne : R = 10 6 , C = 50 F et U0 = 9 V.
1. Vérifier que l'équation différentielle (E) s'écrit :
RC u'(t) + u(t) = U0 soit
u'(t) + 0,02 u(t) = 0,18
(E)
10 6  50.10 – 6 u'(t) + u(t) = 9
50 u'(t) + u(t) = 9
u'(t) + Error! u(t) = Error!
2. Équation différentielle sans second membre (E0) :
d’où
u'(t) + 0,02 u(t) = 0,18
u'(t) + 0,02 u(t) = 0
L’équation différentielle est de la forme y’ – ay = 0 avec une solution est de la forme : y = k e ax.
u'(t) + 0,02 u(t) = 0 avec
a = – 0,02
u(t) = k e – 0,03 t.
d’où la solution
3. u2(t) = 9 est une solution particulière de l'équation différentielle (E)
On a donc : u2'(t) = 0
d’où
0 + 0,02  9 = 0,18
C’est bien une solution particulière.
4. On admet que la solution générale de l'équation différentielle (E) est la somme de la solution
générale de l'équation différentielle sans second membre et d'une solution particulière de l'équation
différentielle.
41. La solution générale de l'équation différentielle avec second membre (E) est donc : u(t) = k e – 0,03 t + 9
42. Solution particulière de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition : u(0) = 0.
u(0) = 0
d’où
u(0) = 0 = k e – 0,03

0
+9
La solution particulière est donc : u(t) = – 9 e
soit
– 0,03 t
+9
0=k1+9
soit
k=–9
et
u(t) = 9 (1 – e
– 0,03 t
)
Partie B : Lecture graphique
La courbe de décharge d’un condensateur à travers un
résistor de résistance R est donnée ci-contre.
On a : R = 1000 .
La constante de temps  d’un tel circuit est :
 = RC.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier votre réponse.
1. Quelques secondes après le début de la décharge, la tension aux bornes du condensateur est nulle.
VRAIE
La durée de la décharge est de l'ordre de 5 fois la constante de temps du dipôle RC soit
au delà de 5 ms.
2. Le condensateur a été chargé à partir d'un générateur de tension de f.é.m égale à 6 V.
VRAIE
Au tout début de la décharge, la tension aux bornes du condensateur est égale à la
f.é.m du générateur de tension utilisé pour la charge soit 6V.
Ph. Georges
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date :
3. La constante de temps du circuit est égale à 1 ms et la capacité du condensateur est égale à 1 F.
VRAIE
La tangente à la date t = 0 à la courbe coupe l'axe des abscisses à une date
égale
à la constante de temps du dipôle RC.
4. Pour obtenir la même constante de temps, en doublant la valeur de R, il faut doubler
également la valeur de C.
FAUX
En doublant R il faut diviser la capacité par deux pour avoir la même constante
de temps .
Ph. Georges
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date :
Partie C : Écriture vectorielle - Fresnel
Règle 1 : on ne peut pas appliquer les lois du courant continu ni aux tensions efficaces, ni aux
intensités efficaces, ni aux normes des impédances complexes.
Règle 2 : À chaque grandeur physique, tension, intensité et impédance on associe un nombre
complexe : on peut appliquer à ces nombres complexes, les lois du courant continu.
On utilise toutes les propriétés des nombres complexes vues en maths.
Rappel :
impédance complexe d'une self pure : Z L = jL;
impédance complexe d'un condensateur : Z C = Error!Error!
Relation entre grandeur efficace avec Z, norme de l'impédance complexe : U = Z I
Pulsation : 2f
La tension d’entrée ue(t) est sinusoïdale de valeur efficace 10 V,de
fréquence 1000 Hz.
La tension aux bornes du condensateur est uC(t).
1. La tension d’entrée a un déphasage nul par rapport à l’intensité du
courant dans le circuit.
11. Déterminer la période T.
12. En déduire la pulsation .
13. Donner l’expression trigonométrique de la tension d’entrée.
2. Aux bornes du condensateur la tension est en retard de /2 par rapport à l'intensité du
courant. La représentation de Fresnel est représentée ci-contre.

I

UR

Ue

UC
Partie D : Écriture complexe
circuit RC
u1(t) sinusoïdale de valeur efficace 10 V,de fréquence 1000 Hz ; C = 50 nF
; u2(t) est aux bornes du condensateur.
1. Quelle est la valeur de R telle que la valeur efficace de u2 soit 7,5 V .
2. Determiner le déphasage u2 par rapport u1.
3. Que peut-on dire de U2 eff si la fréquence du générateur devient très grande d'une part et très
petite d'autre part.
4. R et C sont réglables : ils sont ajustés de telle sorte qu'en module, leur impédance totale série
reste égale à 5 k.
Ph. Georges
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date :
f = 800Hz. Calculer R et C si l'on veut un déphasage de /6 entre u1 et u2.
- u2 est elle-en avance ou en retard sur u1?
1.Aux bornes du condensateur la tension est en retard de /2 par rapport à l'intensité.
appliquer pythagore : (RIeff)² +7,5² = 100 d'où (RIeff)² = 43,75
RIeff = 6,6 V
trouver l'intensité Ieff : impédance du condensateur : 1/ C avec = 2*3,14*1000 = 6,28 103 rad/s.
et C= 50 10-9 F soit 1/ C = 3185 .
7,5 = 3185 Ieff doù Ieff = 2,35 mA
par suite R= 6,6 / 2,35 10-3 = 2810 .
u2 en retard sur u1 ::
La phase de la tension u1 est choisie comme origine des phases
tan  | = 6,6 / 7,5 = 0,88
 | = 41,3°
u2 en retard de 41,3 ° ou 0,72 rad sur u1.
si la fréquence f du générateur augmente, la pulsation  augmente :
l'impédance du condensateur diminue et va tendre vers zéro : donc u2 tend vers zéro
si la fréquence f du générateur diminue, la pulsation  diminue :
l'impédance du condensateur augmente et va tendre vers l'infini : donc U2eff tend vers 10 V et l'intensité
vers zéro.
une lettre soulignée correspond à un nombre complexe
impédance complexe de l'ensemble résistor et condensateur en série : z = R -j / (C)
avec = 2*3,14*800 = 5024 rad/s.
Ph. Georges
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date :
module de z : Z² =R² + (1/(C))² = 25 106 (1)
u1 = z i .
arg u1 = 0 pris comme origine
0 = arg z + arg i .
arg z = tan-1 (-1 /(RC) d'où arg i = tan-1 (1 /(RC))
d'après le schéma ci-dessus u2 est en retard sur u1.
est l'angle complémentaire de la phase de i par rapport à u1.
soit RC = tan/6 = 0,577 (2)
1 /(C = R/0,577 = 1,732 R repport dans (1) :
R² + (1,732 R)² = 25 106
4 R² = 25 106
R = 2500 .
C = 0,577/(2500*5024)= 46 nF.
Ph. Georges
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