On appelle matrice de type (n, p) - state-space

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Document de synthèse sur les matrices, réalisé par Laurent Gerbaud
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Notations
La matrice de type (n, p) est un tableau à n lignes et p colonnes, le terme situé à la ième ligne et la
jème colonne d'une matrice A est noté a ij.
A = ( a ij ) avec 1 i  n et 1  j  p
Produit de matrice
Définition : Le produite des deux matrices A = (a ik) de type (n, p) et B = (b kj) de type (p, q) donne
une matrice C = (c ij) de type (n, q), où l'élément c ij de C est obtenu en sommant les produits des
éléments de la ième ligne de A par les éléments de la jème colonne de B, suivant la formule :
Propriétés :
- Le produit matriciel n'est pas, en général, commutatif : AB  BA
- Le produit matriciel est associatif : A (BC) = (AB) C
- Le produit matriciel est distributif par rapport à l'addition :
A (B + C) = AB + AC (A prémultiplie (B + C))
(B + C) A = BA + CA (A postmultiplie (B + C))
- Le produit matriciel est nul si l'une des matrices est nulle
(A = 0 ou B = 0)  AB = 0
mais AB = 0 n'implique pas (A = 0 ou B = 0)
- L'égalité AB = AC n'implique pas B = C
Transposée d’une matrice
Définition : On appelle transposée d'une matrice A de type (n, p) et de terme général a ij, la
matrice notée tA obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de même indice i de A:
A = (a ij)  tA = t(a ij) = a ji

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Propriétés :
t (tA) = A
t ( A) =  tA
t (A + B) = tA + tB
t (A B) = tB tA
Exemples : Cas des matrices non carrées (ou rectangulaires)
Cas des matrices carrées : la transposition s'effectue par une symétrie des éléments par rapport à la
diagonale principale.
Cas particuliers : Pour les matrices carrées symétriques ou diagonales, nous avons l'égalité A = tA.
Déterminant d’une matrice
Soit la matrice carrée A = (a ij) 1  i, j  n  M n (K).

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Définition : On appelle déterminant de la matrice A, d'ordre n, le tableau carré contenant les
éléments de la matrice limité par deux traits verticaux.
Notation :
Définition : On appelle mineur |M ij| de l'élément a ij du déterminant d'ordre n, le déterminant
d'ordre (n-1) obtenu en supprimant la ième ligne et la jème colonne de |A|.
Exemple :
|M11| = a22 , |M12| = a21 ...
Définition : On appelle cofacteur  ij de l'élément a ij, le mineur |Mij| affecté du signe + ou - suivant
la relation :
Exemples :
Méthode de calcul : La valeur d'un déterminant |A| d'ordre n est donnée par un développement
suivant :
une ligne i :
ou

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une colonne j :
Pour n = 2 :
Soit la matrice d'ordre 2 :
Si on effectue un développement suivant la 1ère ligne, nous avons :
Exemple : le calcul du déterminant de donne
Pour n = 3 :
Soit la matrice d'ordre 3 :
Un développement suivant la 2ème colonne, par exemple, conduit à :
Exemple : calcul du déterminant de
- Développement suivant la 2ème colonne :

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- Développement suivant la 3ème ligne :
Pour n  4 : Un calcul semblable au précédent amènera des mineurs d'ordre 3. Le calcul d'un
déterminant est d'autant plus long que l'ordre de la matrice A est élevé. Les propriétés des
déterminants vont nous permettre de faire apparaître le plus de zéros sur une ligne ou une colonne et
ainsi réduire les calculs.
Exemple : calcul du déterminant de :
On choisira la ligne ou la colonne comprenant le plus de zéros pour effectuer le calcul de ce
déterminant. C'est donc suivant la 3ème ligne que nous effectuerons le développement :
Propriétés
- Si tous les éléments d'une ligne (ou colonne) d'un déterminant |A| sont nuls alors |A| = 0
- Si deux lignes (ou deux colonnes) d'un déterminant |A| sont proportionnelles (ou
identiques) alors |A| = 0
Exemple :
, ( la 3ème colonne est proportionnelle à la 1ère)
- Si l'on permute les lignes et les colonnes d'un déterminant, la valeur reste inchangée : |tA| =
|A|.
- Si l'on permute deux lignes (ou deux colonnes) d'un déterminant, le signe du déterminant
est changé