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A. Définition de la racine carrée d'un nombre positif
ACTIVITE 1 dessiner un carré dont l'aire vaut 2
Voici un carré dont l'aire vaut 1 cm2.
Dessine maintenant un carré dont l'aire vaut 2 cm2 , c'est-à-dire un carré qui renferme deux fois la
surface du carré 1.
Le carré dont l’aire vaut 2 existe ! Si je désigne par x la longueur de son côté, quelle condition
vérifie le nombre x ?
x est tel que x2 = 2.
La longueur de son côté est donc un nombre positif dont le carré vaut 2.
Or, aucun nombre entier positif élevé au carré ne donne 2!
Que vaut ce nombre dont le carré vaut 2?
en effet,
en effet,
en effet,
0164,242,1et9881,141,1 22
Le nombre recherché n’est donc pas un entier!
Il n’est pas non plus un décimal limité. En effet, s’il était un
décimal limité, sa dernière décimale non nulle serait soit 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 et son carré se terminerait
respectivement ou par 1, ou par 4, ou par 9, ou par 6 ou par
5 et ne serait dès lors pas le nombre 2!.
Ce nombre est donc un décimal illimité. On le note
Est-il périodique? Si oui, il peut alors s’écrire sous la forme d’une fraction à termes entiers. Or,
aucune fraction
à termes entiers n’est égale à
(Nous l’admettrons sans démonstration).
La calculette donne, comme valeur,
est donc un DECIMAL ILLIMITE NON PERIODIQUE.
Un tel nombre réel est appelé IRRATIONNEL.
est le nombre positif tel que