Dérivation de fonction

Dérivation et étude de fonctions
Objectifs :
Etre capable de
 Définir le nombre dérivé et calculer une fonction dérivée
 Etudier une fonction à l’aide de la fonction dérivée
 Construire la tangente en un point de la courbe
Activité 1 :Découverte sur la tangente et le nombre dérivé
Activité 2 :Dérivée de fonction usuelle et tangente
Activité 3 : Signe de la dérivée et sens de variation
Activité 4 : Etude de la fonction f(x)=x3-3x²+2
Activité 5 :Bilan
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Activité 1
Soit la représentation graphique de la fonction f(x)=x²
On trace la tangente en ce point à la courbe .Trouver l’équation des droites et relever la valeur de leur coefficient
directeur (voir feuille rappel)
Remplir le tableau ci dessous
Abscisse du point
Coefficient directeur de la
tangente
F’(x)
Appelons f’(x) la fonction 2x
Comparer pour les différentes valeur de x la valeur de f’(x) et du coefficient directeur de la droite.
On dit que f’(x)=2x est la dérivée de f(x)=x²
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RAPPEL
1. RAPPEL
Trouver l'équation de la droite (AB) du type y = ax + b
passant par les points A(3 ; -5) et B(-2 ; 5).
y
y
B
4
1.1. Par le calcul.
 Calcul du coefficient directeur a de la droite (AB) :
a = Error! =
 Calcul du coefficient b (ordonnée à l'origine) :
b = y – ax =
3
2
b
y
1
1.2. Graphiquement.
a = Error! =
x
5

j
-3
-2
-1
0
b=
-1
d'où l'équation de la droite (AB) est y =
-2

i
1
2
3
-3
-4
-5
-6
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A
x
Activité 2
 Définition :
On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable pour tout nombre réel x0 de I
 Tableau de dérivée de fonction usuelle
Fonctions
Dérivée
a
x
ax
0
1
a
x²
2x
x3
3x²
1
x
-
1
x²
Opération
Dérivée
Somme : u+v
Produit par un réel k : ku
u’+v’
ku’
 Equation de la tangente à une courbe
La tangente à une courbe a pour équation
Y= f’(x0).(x-x0)+f(x0)
Exemple :
Soit la fonction définie par f(x)=x²-2x+1
Trouver et tracer f(x) ;f’(x) ;l’équation de la tangente au point x=2
Quel est la position de la tangente par rapport a la courbe ?
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Activité 3
Reprendre la fonction précédente.
Faite une étude du signe de la fonction dérivée.(cela revient a étudier l’équation f’(x)=0)
Remplir le tableau de variation suivant
x
f’(x)
f(x)
Que peut on dire entre le signe de la dérivé et le sens de variation de la fonction ?
Essayer de voir si ce résultat est valable quelle que soit la fonction ?
Ex :essayer avec la fonction f(x)=x3
1
f(x)=
x
Que se passe t’il quand la dérivé est égale à 0 ?
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Activité 5
I.Nombre dérivé
.
1°)Définition
Soit une fonction f, (C) sa courbe représentative et M0 (x0 ; f(x0)) de (C)
On appelle nombre dérivé de f en x0 le coefficient directeur de la tangente à (C) au point M0.
Le nombre dérivé est noté f’(x0) :
f’(x0)=a

M0
2°)Equation de la tangente à la courbe
Pour tout point M(x ; y) de la tangente, à la courbe (C) au point point M0(x0 ; f(x0), on peut écrire :
y  f ( x)
=f’(x0)
SOIT
y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)
xx
II.Fonction dérivée
1°)Définition
La fonction f qui à tout nombre x associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f.
On note f’ la fonction dérivée ou simplement dérivée de f.
2°)Règles de calcul
Soient u et v deux fonctions dont les dérivées sont u’ et v’.
Opération
Dérivée
u’+v’
ku’
Somme : u+v
Produit par un réel k : ku
3°)Dérivées des fonctions usuelles
Fonctions
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Dérivée
a
x
ax
0
1
a
x²
2x
x3
3x²
1
x
-
1
x²
III.Fonction dérivée et sens de variation
1°)Sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction et f’ sa dérivée
Si sur un intervalle I=[a,b],
a) f’(x)=0 alors f est constante f(a)=f(b)=f(x)
b)f’(x)>0 alors f est croissante sur I
x
a
b
f’(x)
+
f
c)f’(x)<0 alors f est décroissante sur I
x
a
b
f’(x)
f
2°)Extremum
Si la dérivée de la fonction s’annule en changeant de signe en x0 alors la fonction f admet un extremum en x0.
Un extremum peut être un minimum ou un maximum.


Minimum
x
f’(x)
f
Maximum
idem
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-
x0
0
+