1) Que deux segments ont la même longueur

1) Que deux droites sont parallèles :
 Utiliser une troisième droite parallèle : Si deux droites sont parallèles à une même troisième,
alors elles sont parallèles entre elles .
Utiliser une perpendiculaire commune : Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième, alors elles sont parallèles entre elles .
 Utiliser des angles avec une sécante : Si les angles correspondants définis par deux droites et une
sécante sont égaux, alors ces deux droites sont parallèles . ( même propriété pour des angles
alternes-internes)
 Utiliser un parallélogramme : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés
sont parallèles .
 Utiliser la réciproque du théorème de Thalès
 Utiliser le théorème de la droite des milieux : Si une droite passe par les milieux de deux côtés
d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté. .
Utiliser une transformation : Une droite et son image par une translation ou par une symétrie
centrale sont parallèles .
2) Que deux droites sont perpendiculaires :
Utiliser deux droites parallèles et une perpendiculaire : Si deux droites sont parallèles, toute
perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre .
Utiliser une médiatrice : La médiatrice d’un segment est perpendiculaire à ce segment .
 Utiliser un triangle isocèle : Si un triangle est isocèle, alors la médiane ( ou la bissectrice ) issue
du sommet principal est perpendiculaire à la base.
Utiliser un rectangle : Dans un rectangle, les côtés consécutifs sont perpendiculaires .
 Utiliser un losange : Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires .
 Utiliser une tangente : Si une droite est tangente à un cercle en M, alors elle est perpendiculaire
au rayon d’extrémité M .
Utiliser l’orthocentre : Si une droite passe par l’orthocentre d’un triangle et par un de ses
sommets, alors elle est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet .
Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore

3) Qu’une droite est la médiatrice d’un segment :
Utiliser la définition : Si une droite est perpendiculaire à un segment et qu’elle passe par le milieu
de ce segment, alors c’est la médiatrice de ce segment .
Utiliser une symétrie axiale : Si deux points A et B sont symétriques par rapport à une droite d,
alors d est la médiatrice de [AB] .
Utiliser des distances : Si deux points sont équidistants des extrémités d’un segment, alors la droite
passant par ces deux points est la médiatrice de ce segment
4) Que trois droites sont concourantes :
 Utiliser des droites remarquables : Dans un triangle, les médianes sont concourantes ( il en est
de même pour les médiatrices ou les hauteurs ou les bissectrices).
5) Que trois points sont alignés :
Utiliser un angle plat : Si l’angle ABC est plat, alors les points A, B et C sont alignés.
 Utiliser le parallélisme : Si deux droites parallèles ont un point commun, alors elles sont
confondues .
 Utiliser un milieu : Si un point est le milieu d’un segment, alors il est aligné avec les extrémités
de ce segment .
 Utiliser des distances : Si trois points A, B et C vérifient : AB+ BC = AC, alors ils sont alignés
( B C [AC] )
 Utiliser une droite remarquable : Si trois points possèdent une propriété qui caractérise une
droite remarquable ( médiane, bissectrice, médiatrice, hauteur ) alors ils sont alignés .
Utiliser une transformation : Si trois points sont les images de trois points alignés par une
symétrie, une translation ou une rotation, alors ils sont alignés .
6) Qu’un point est le milieu d’un segment :
Utiliser la définition : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment et s’il appartient à
ce segment, alors c’est le milieu de ce segment .
Utiliser une symétrie centrale : Si A et B sont symétriques par rapport à O alors O est le milieu de
[AB] .

 Utiliser une médiatrice : Si un point est à l’intersection d’un segment et de sa médiatrice, alors il
est le milieu de ce segment .
 Utiliser un triangle rectangle : Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit
est le milieu de l’hypoténuse .
Utiliser le centre de gravité d’un triangle : Si une droite passe par le centre de gravité d’un
triangle et par un de ses sommets, alors elle coupe le côté opposé en son milieu .
Utiliser la réciproque du théorème de la droite des milieux : Dans un triangle, si une droite passe
par le milieu d’un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté
en son milieu .
 Utiliser une transformation : Le milieu est conservé par translation, par symétrie ou par rotation.
7) Que des points sont sur un cercle :
 Utiliser la définition : Si la distance entre un point et le centre d’un cercle est égale au rayon,
alors ce point est situé sur ce cercle .
 Utiliser un triangle rectangle : Si un cercle a pour diamètre l’hypoténuse d’un triangle rectangle,
alors ce cercle passe par le sommet de l’angle droit .
8) Que deux segments ont la même longueur
 Utiliser un milieu
 Utiliser un cercle : Si deux points appartiennent à un même cercle, alors ils sont à la même
distance du centre .
 Utiliser un triangle isocèle : Si un triangle est isocèle, alors il a deux côtés de même longueur .
 Utiliser un losange : Si un quadrilatère est un losange, alors ses 4 côtés ont la même longueur .
 Utiliser un parallélogramme : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés
ont la même longueur .
 Utiliser les diagonales d’un parallélogramme : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors
ses diagonales se coupent en leur milieu .
 Utiliser un rectangle : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même
longueur .
 Utiliser une médiatrice : Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant
des extrémités de ce segment .
 Utiliser une bissectrice : Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des
côtés de cet angle .

 Utiliser un triangle rectangle : Si un point est le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle,
alors il est équidistant des trois sommets du triangle .
 Utiliser une transformation : Un segment et son image par une symétrie, une rotation ou une
translation ont la même longueur .
 Utiliser des triangles isométriques : Si deux triangles sont isométriques, alors leurs côtés sont
respectivement égaux .
9) Que des angles ont la même mesure :
 Calculer leur mesure : en utilisant par exemple que la somme des angles d’un triangle vaut 180° .
 Utiliser une bissectrice : Si une demi-droite est la bissectrice d’un angle, alors elle partage cet
angle en deux angles de même mesure .
 Utiliser un triangle isocèle : Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux .
 Utiliser un parallélogramme : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles
opposés sont égaux .
Utiliser des angles opposés : Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même
mesure .
 Utiliser des angles et une sécante : Si une droite coupe deux droites parallèles, alors elle forme
des angles correspondants de même mesure . ( même propriété pour des angles alternes-internes ).
Utiliser une transformation : Un angle et son image par une symétrie, une rotation ou une
translation ont la même mesure .
Utiliser des angles inscrits : Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc, alors
ils sont égaux .
Utiliser des triangles isométriques : Si deux triangles sont isométriques, alors leurs angles sont
respectivement égaux .
Utiliser des triangles semblables : Si deux triangles sont semblables, alors leurs angles sont
respectivement égaux.
10) Qu’une droite est la bissectrice d’un angle :
 Utiliser la définition : Si une droite partage un angle en deux angles de même mesure, alors c’est
la bissectrice de cet angle .

Utiliser un point équidistant des côtés : Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il
appartient à la bissectrice de cet angle .
 Utiliser un triangle isocèle : Si un triangle est isocèle, alors la hauteur, la médiane issues du
sommet principal ainsi que la médiatrice de la base sont aussi bissectrice de l’angle principal .
 Utiliser le cercle inscrit dans un triangle : Si une droite passe par un sommet d’un triangle et le
centre de son cercle inscrit, alors elle est bissectrice de l’angle défini par ce sommet .
11) Qu’un triangle est rectangle :
Utiliser les angles : Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle .
 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore
 Utiliser le milieu d’un côté : Dans un triangle, si le milieu d’un côté est équidistant des trois
sommets, alors le triangle est rectangle .
 Utiliser un cercle : Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un de ses diamètres, alors le
triangle obtenu est rectangle en ce point .
12) Qu’un triangle est isocèle :
 Utiliser la définition : Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors il est isocèle .
 Utiliser les angles : Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle .
Utiliser une droite remarquable : Si une médiane est aussi hauteur, ( ou médiatrice ou bissectrice)
alors le triangle est isocèle .
13) Qu’un triangle est équilatéral :
Utiliser la définition : Si un triangle a ses trois côtés de même longueur, alors il est équilatéral .
Utiliser des angles : Si les trois angles d’un triangle ont la même mesure, alors il est équilatéral .
Utiliser un triangle isocèle : Si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors il est équilatéral .