PLANCHE-MATH12-Puissances et racines carrées

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PLANCHE-MATH12- Puissances et racines
carrées
LES OBJECTIFS
Les objectifs majeurs de ce chapitre sont les suivants :
 Savoir calculer une puissance avec une calculatrice.
 Savoir calculer une racine carrée avec une calculatrice.
 Savoir mettre un nombre en écriture scientifique.
I. Définitions des puissances
Soit a un nombre quelconque et m un entier naturel non nul. On note
m
a
le
nombre défini par :
foism
maaaa 
 Le nombre
m
a
est le produit du nombre a par lui-même et m fois.
 Le nombre
m
a
se lit « a puissance m » ou « a exposant m ».
 Par convention on admet que
1
0a
(tout nombre élevé à la puissance 0
donne 1).
REMARQUES :  Le nombre
2
a
se lit aussi « a au carré » ; et le nombre
3
a
se lit aussi « a au cube ».
 On a toujours
aa 
1
(donc si un nombre est écrit sans puissance, on
considère qu’il est à la puissance 1).
EXEMPLES :
22223
(Ecriture sous forme de produit)
 On a
   facteurs7
733333333 
.
 On a aussi
10
55555555555 
(le nombre de 5 qui se
multiplient est 10).
MISE EN GARDE
Il ne faudra pas confondre le nombre
m
a
avec le nombre
ma
.
Par exemple
822223
; alors que
632 
(on voit bien que les
résultats sont différents).

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EXERCICE DE COMPREHENSION : APPLICATION ET
EXECUTION DES TÂCHES N°1 :
 Ecrire les nombre
5
3a
et
8
7b
sous forme de produit (le calcul n’est
pas demandé).
 Ecrire les deux nombres suivants
5555 c
et
3332333222332232 d
sous forme de puissances.
RAPPEL :
La puissance affectée à chaque nombre correspond au nombre de fois que
ce nombre figure dans le produit.
 On a donc
3333335a
et de même
7777777778b
.
 Nous avons
4
4
55555   fois c
et de la même façon, en groupant les
facteurs identiques (les 2 et les 3) on obtient :
97
9
7
323333333332222222    
   facteurs
facteurs
d
.
II. Calcul d’une puissance à l’aide d’une
calculatrice
Un des objectifs de ce chapitre est de savoir calculer une puissance à
l’aide d’une calculatrice. Il faut donc s’assurer de disposer d’une
calculatrice munie des fonctions adéquates.
 Pour calculer le nombre
m
a
(c’est-à-dire « a puissance m ») il faut taper
(selon votre calculatrice) la combinaison des touches suivante :
osantldeValeurpuissancedeTouche
y
adeValeur
mxa
exp'
ou selon la calculatrice
osantldeValeurpuissancedeToucheadeValeur
ma
exp'
^
Ou encore
adeValeur
a
y
osantldeValeur
m
exp'
suivie de la touche = (EGAL).
EXEMPLES :  Calculer le nombre
7
2
à l’aide de votre calculatrice.
On tape par exemple la combinaison 2
y
x
7 puis = ; on trouve alors
12827
.
 Calculer le nombre
4
5,3
à l’aide de votre calculatrice.
Touche de puissance

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On tape par exemple la combinaison 3,5
y
x
4 puis = ; qui nous donne alors
0625,1505,3 4
.
EXERCICE DE COMPREHENSION : APPLICATION ET
EXECUTION DES TÂCHES N°2 :
A VOS CALCULATRICES !
Calculer les nombres suivants en arrondissant le résultat au dixième.
4
5,4a
;
3
8,1b
;
5
6,3c
.
NOTE : Il est important que cet exercice soit fait pour contrôler les
fonctionnalités de votre calculatrice et se familiariser avec les touches.
 Avec les techniques qui viennent d’être expliquées on trouve :
0625,4105,4 4a
, et par suite
1,410a
(en arrondissant au dixième comme
l’énoncé le précise).
 Nous avons facilement
832,58,1 3b
, et par suite
8,5b
(en arrondissant au
dixième).
 On a
66176,6046,3 5c
, et par suite
7,604c
(en arrondissant au dixième).
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°3 :
On donne les nombres
6,8R
et
14,3
.
 Calculer alors
3
23 R
V
(on donnera le résultat avec 6 chiffres dans la
partie décimale).
 Arrondissez le résultat de V au centième.
NOTE : Il s’agit d’un exercice d’application de formule ; on doit remplacer dans la
formule chaque grandeur par sa valeur puis taper l’opération à la calculatrice.
 On obtient sans difficulté
477227,1331
36,814,32 3
V
.
 On a l’arrondi
48,1331V
.

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III. Propriétés des puissances
Les puissances possèdent des propriétés très spécifiques permettant des
calculs rapides.
 REGLE N°1 (PRODUIT DE DEUX PUISSANCES)
   puissanceslesadditionneOn
pm
anombremêmeleestC
pm aaa 
'
.
EXEMPLE : Calculons les nombres
2324 7733  yetx
en donnant les
résultats sous forme de puissances.
La règle nous donne directement
62424 3333  
   puissanceslesadditionneOn
x
et de même
52323 7777  
y
.
 REGLE N°2 (QUOTIENT DE DEUX PUISSANCES)
 puissanceslessoustraitOn
pm
anombremêmeleestC
p
ma
a
a
'
.
EXEMPLE : Calculons les nombres
8
14
6
8
3
3
5
5 yetx
en donnant les
résultats sous forme de puissances.
On applique directement la règle qui nous donne
268
6
855
5
5 
   puissanceslessoustraitOn
x
et de même
6814
8
14 33
3
3 
y
.
 REGLE N°3 (PUISSANCE D’UNE PUISSANCE)
     puissanceslesmultiplieOn
pm
puissanceautreuneàpuissanceuneélèveOn
p
maa 
.
EXEMPLE : Calculons les nombres
3
2
4
352  yetx
en donnant les
résultats sous forme de puissances.
La règle conduit à :
1243
4
3222  
   puissanceslesmultiplieOn
x
et de même
632
3
2555  
y
.
 REGLE N°4 (PUISSANCE D’UN PRODUIT)
     puissanceslesdistribueOn
mm
puissanceuneàproduitunélèveOn
mbaba 
.
EXEMPLE : On peut écrire
   règlelaappliquantEncar
44
326
4
432326 
.

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 REGLE N°5 (PUISSANCE D’UN QUOTIENT)
   puissanceslesdistribueOn
m
m
puissanceuneàquotientunélèveOn
m
b
a
b
a
.
EXEMPLE : On peut écrire
 règlelaappliquantEn
5
5
5
3
2
3
2
.
APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N°4 :
Calculer chacun des nombres suivants sous forme de puissances :
52 33 x
;
226y
;
7
9
5
5
z
;
22 22 15
5
4
3
t
.
 Nous avons avec la règle n°1 :
75252 3333  
x
.
 La même règle nous donne :
716
22
166 222222
1
car
y
.
 En appliquant le règle n°2, on obtient facilement :
279
7
955
5
5 
z
.
 En appliquant les trois premières règles, on obtient successivement :
222
2
2
2
2
222 22 22 22 22 11617
16
17
16
512
115
512
115
543
15
5
4
3
t
.
IV. Les puissances de 10 et écriture
scientifique d’un nombre décimal
1. Propriétés des puissances de 10
Les puissances de 10 possèdent des propriétés particulières que nous
récapitulons dans le tableau ci-dessous.
Soit m un entier naturel non nul.
 REGLE N°1 (ECRITURE DECIMALE DE
m
10
)
zérosm
m0000110 
.
NOTE : Cette règle permet de calculer instantanément le nombre
m
10
.
Par exemple
zéros2
200110 
;
zéros3
3000110 
;
zéros6
6000000110 