Les polynômes

Mathématiques 10
2
3.9 – Factorisation d’expression quadratique de la forme ax  bx  c ,
où a  1
A) Factoriser en appliquant la stratégie « essaie-erreur avec vérification »
2
- Pour factoriser un trinôme de la forme ax  bx  c , où a  1 , on peut se servir de la
méthode d’essaie-erreur avec vérification.
Par exemple
3x 2  5 x  2
Factorise l’expression
i)
Puisque a  1 , les premiers termes possibles des facteurs binomiaux sont
et
ii)
.
On sait que le produit des deuxièmes termes des binômes doit être –2, ce qui
signifie que les termes possibles sont
et
iii)
et
, ou
.
On devine que les facteurs sont :
et
, ce qui donne le produit des
binômes suivants :
3x 2  5 x  2 
* Après une vérification, on constate qu’on a bien deviné.
B) Factoriser à l’aide de la méthode du produit et de la somme
2
- Pour factoriser un trinôme de la forme ax  bx  c , où a  1 , on utilise plus fréquemment la
méthode du produit et de la somme.
2
• Examinons un trinôme de la forme ax  bx  c , où a  1 .
Produit =
ac
 2x 1 4x  3  8x2  2x  3
Somme =
b
Sec. 3.6 – p. 1 de 4
Mathématiques 10
• Alors on doit trouver deux nombres dont,
est équivalent à a  c .
* Le
- Pour le trinôme ci-dessus, le produit est __ __  ____
est équivalente à b.
* La
- Pour le trinôme ci-dessus, la somme est _____
- Les facteurs sont donc :
Facteurs de –24
Somme
3 et –8
–5
–3 et 8
5
4 et –6
–2
–4 et 6
2
2 et –12
–10
8x  2 x  3
–2 et 12
10
 8x  4 x  6 x  3
1 et –24
–23
–1 et 24
23
* Ces nombres séparent le terme
du milieu du trinôme. La factorisation
procède comme suit,
2
2


 8 x 2  4 x   6 x  3
 4 x  2 x  1  3  2 x  1
  2 x  1 4 x  3
Exemple B1 : Factoriser un trinôme de la forme ax 2  bx  c , où a  1 .
Factorise.
Avant de commencer, trouvez :
a=
b=
c=
2 x  x  15
2
DÉMARCHE
Facteurs de ____
et
Questions à poser :
1 - Quels sont les facteurs du
produit a  c = –30 ?
×
2 - Lesquels de ces facteurs
ont une somme de +1 ?
+
3 - Divise b en deux termes,
soit :
6x
et
–5x
et
et
et
et
et
et
4 - Factorise à l’aide de la
méthode de mise en évidence
double.
Sec. 3.6 – p. 2 de 4
et
Somme
Mathématiques 10
Exemple B2 : Factoriser un trinôme de la forme ax 2  bx  c , où a  1 .
Factorise.
Avant de commencer, trouvez :
a=
b=
c=
6 y  19 y  15
2
DÉMARCHE
Facteurs de
Questions à poser :
ac
et
1 - Quels sont les facteurs du
produit a  c ?
×
2 - Lesquels de ces facteurs
ont une somme de b ?
+
3 - Divise b en deux termes,
soit :
Somme
et
et
et
et
et
et
4 - Factorise à l’aide de la
et
méthode de mise en évidence
double.
et
Exemple B3 : Factoriser un trinôme de la forme ax 2  bx  c , où a  1 .
Factorise.
Avant de commencer, trouvez :
a=
b=
c=
2 x  7 x  15
2
DÉMARCHE
Questions à poser :
1 - Quels sont les facteurs du
produit a  c ?
×
2 - Lesquels de ces facteurs
ont une somme de b ?
+
3 - Divise b en deux termes,
soit :
et
Facteurs de
ac
et
et
et
et
et
et
4 - Factorise à l’aide de la
et
méthode de mise en évidence
double.
et
Sec. 3.6 – p. 3 de 4
Somme
Mathématiques 10
C) Factorisation – Le facteur commun avant tout
• Pour factoriser une expression telle que celle-ci-dessous, la première étape est toujours la
mise en évidence simple. Ensuite, on utilise la méthode du produit et de la somme pour
factoriser le trinôme.
Exemple C1 : La mise en évidence simple suivie de la méthode du produit et de la somme.
Factorise l’expression 10 x 2  22 x  4 .
D) Factorisation - Trinômes à deux variables
• Pour factoriser dans ce cas, procède avec la méthode du produit et de la somme. Ensuite,
ajoute la deuxième variable aux facteurs. Il est fortement recommandé de vérifier vos
réponses.
Exemple D1 : La mise en évidence simple suivie de la méthode du produit et de la somme.
Factorise l’expression 4 x 2  5xy  6 y 2
N’oubliez jamais !


• Il existe un grand nombres de trinômes de la forme ax 2  bx  c , a  1 qui ne peuvent pas
être décomposés en facteurs entiers(p. ex. 2 x  3x  6 ). Il n’y a pas deux nombres dont le
produit est 12 et la somme, 3.
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