ANAL08CCC Solutions Fonctions trigonométriques – Nombres

ANAL08CCC Solutions
Fonctions trigonométriques – Nombres complexes
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Gérard Hirsch maths 54

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Fonctions trigonométriques – Nombres complexes
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La translation de vecteur  d' affixe 13i s' écrit
analytiquement z' z13i
L' image du po int A d' affixe zA2i est le point B
d' affixe zB(2 i) (1 3i) 32i
L' hom othétie de centre  de coordonnées (3;2) s' écrit
analytiquement z'   2(z w) avec   32i
soit z' (3 2i)  2 z (3 2i) 
ou z'  2z 96i
L' image du po int A d' affixe zA2i par l' hom othétie (,2) est le point C
d' affixe zC 2(2 i) (9 6i) 54i
La rotation de centre  de coordonnées (3;2) et
d' angle 
2 s' écrit analytiquement
z'   ei
2(z w) avec   32i
puisque ei
2cos 
2isin  2i
soit z' (3 2i) i z (3 2i)
ou z' iz 3i 232i iz 5i
L' image du po int A d' affixe zA2i par la rot (,
2) est
le point D d' affixe zDi(2 i) (5 i) 4i

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SolutionANAL 08CCC02
Soit f l' application qui à tout point M du plan associe
le point M ' d' affixe z ' telle que
(I) z ' 3z 23i
1) f admet un unique po int in var iant  ssi M M '  
son affixe  vérifie z ' z  soit
(II)   3  23i
et 2  23i
ou   13
2i et donc  
1
3
2
2) En effectuant la différence membre des équations (I) (II)
on obtient
z '   3(z )
La transformation f est l' hom othétie de centre  et de rapport 3
ou encore M'
3M

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Solution ANAL08CCC03
Soit f l' application qui à tout point M du plan associe
le point M ' d' affixe z ' telle que
(I) z ' iz 2i
1) f admet un unique po int in var iant  ssi M M'  
son affixe  vérifie z ' z 
(II)   i  2i
et (1 i)  2i
ou   2i
1i2i(1i) (1 i)(1i) 2i 2 21i
et donc   1
1
2) En effectuant la différence membre à membre des équations (I) (II)
on obtient
z '   i(z  )
puisque i e
i
2cos 
2isin  2 ou encore
mod( i) 1
arg(i) 
2 2 
La transformation f est la rotation de centre  et d' angle 
2
ou encore
M M'
(M,
M' )
2 2